Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la solución de la recurrencia T(n) = T(n − 1) + O(n)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(2ⁿ)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

La multiplicación de Karatsuba cumple T(n) = 3T(n/2) + O(n). ¿Cuál es la solución?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n3)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(nlog₂ 3), aproximadamente n1,585
3.Estructuras de datosMedia

¿Cómo funciona extract-min en un min-heap binario?

  1. ASe buscan en todas las hojas el nuevo mínimo
  2. BSe mueve el último elemento a la raíz y se hace bajar (sift-down)
  3. CSe elimina la raíz y se desplazan todos los elementos una posición a la izquierda
  4. DSe elimina el último elemento del arreglo
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué afirmación sobre heapsort es correcta?

  1. ASe ejecuta en tiempo O(n) con cualquier entrada
  2. BNecesita un árbol binario de búsqueda como almacenamiento adicional, así que usa O(n) de memoria extra
  3. COrdena en el sitio con un tiempo O(n log n) en el peor caso, pero no es estable
  4. DEs estable y necesita O(n) de memoria adicional
5.Teoría de grafosMedia
ABCDECircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
58111931620ABCDEF

El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo. Haz clic en la arista que añade como arista número 3; las aristas descartadas no cuentan.

k = 3
  1. 1arista AC
  2. 2arista BC
  3. 3arista BD
  4. 4arista CE
  5. 5arista DE
  6. 6arista DF
  7. 7arista EF
  8. 8arista BE

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · O(n²)

Por qué esta es la respuesta

El trabajo suma unos n² / 2; es la recurrencia del ordenamiento por selección o de quicksort con el peor pivote.

Respuesta

A · O(n²)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Θ(nlog₂ 3), aproximadamente n1,585

Por qué esta es la respuesta

Como log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, dominan las hojas según el teorema maestro, lo que supera al método escolar O(n²).

Respuesta

D · Θ(nlog₂ 3), aproximadamente n1,585
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · Se mueve el último elemento a la raíz y se hace bajar (sift-down)

Por qué esta es la respuesta

El último elemento ocupa el hueco de la raíz y se intercambia con su hijo menor hasta que se cumple la propiedad de montículo, lo que cuesta O(log n).

Respuesta

B · Se mueve el último elemento a la raíz y se hace bajar (sift-down)
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · Ordena en el sitio con un tiempo O(n log n) en el peor caso, pero no es estable

Por qué esta es la respuesta

Heapsort construye un max-heap y extrae el máximo n veces dentro del mismo arreglo; los intercambios a larga distancia pueden reordenar claves iguales.

Respuesta

C · Ordena en el sitio con un tiempo O(n log n) en el peor caso, pero no es estable
5.Teoría de grafos

Respuesta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vértices impares

0
Circuito euleriano

Respuesta

Circuito euleriano
6.Teoría de grafos

Respuesta: arista AC

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

1. BD (1)
2. DF (3)
3. AC (5)
4. BC (8)
5. DE (9)

arista número 3

AC

Respuesta

arista AC

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