Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la solución de la recurrencia T(n) = 2T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cuál es la solución de la recurrencia T(n) = 2T(n/2) + n log n?

  1. AΘ(n)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n log² n)
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué tipo abstracto de datos usa el algoritmo de Dijkstra para elegir el siguiente vértice que procesar?

  1. AUna pila
  2. BUn conjunto sin orden
  3. CUna cola FIFO
  4. DUna cola de prioridad de mínimos
4.Estructuras de datosDifícil

¿Por qué podría un servidor elegir su función hash al azar de entre una familia universal?

  1. APara garantizar que dos claves nunca puedan colisionar, sean cuales sean las claves que envíe un atacante
  2. BPara eliminar la necesidad de redimensionar la tabla
  3. CPara que sea muy improbable que un atacante pueda elegir muchas claves que colisionen todas
  4. DPara que la tabla hash quede ordenada
5.Teoría de grafosMedia

¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K4? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.

K4
H =
6.Teoría de grafosDifícil
378132147313ABCDEFG

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(G) del camino más corto de A a G en el grafo ponderado.

inicio: Afin: G
d(G) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · O(2ⁿ)

Por qué esta es la respuesta

El número de llamadas se duplica en cada nivel y hay n niveles, así que el total es de unos 2ⁿ, como en las torres de Hanói.

Respuesta

A · O(2ⁿ)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Θ(n log² n)

Por qué esta es la respuesta

El nivel k hace un trabajo de unos n log(n / 2ᵏ), y sumar sobre los log n niveles da Θ(n log² n), el segundo caso ampliado del teorema maestro.

Respuesta

D · Θ(n log² n)
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · Una cola de prioridad de mínimos

Por qué esta es la respuesta

Una cola de prioridad de mínimos, normalmente un montículo binario, devuelve de forma eficiente el vértice no visitado con la menor distancia.

Respuesta

D · Una cola de prioridad de mínimos
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · Para que sea muy improbable que un atacante pueda elegir muchas claves que colisionen todas

Por qué esta es la respuesta

Con hashing universal, el número esperado de colisiones es pequeño para cualquier conjunto de claves, ya que el atacante no sabe qué función se eligió.

Respuesta

C · Para que sea muy improbable que un atacante pueda elegir muchas claves que colisionen todas
5.Teoría de grafos

Respuesta: H = 3

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Contar

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Respuesta

H = 3
6.Teoría de grafos

Respuesta: d(G) = 10

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 3, C: 7
B (3): D: 16, G: 10
C (7): E: 9
E (9): D: 10
D (10): F: 14
G (10)
F (14)

Camino más corto

A → B → G
d(G) = 10

Respuesta

d(G) = 10

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