Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué algoritmo de ordenación es estable?

  1. AOrdenamiento por selección (versión habitual)
  2. BHeap sort
  3. CQuicksort (versión in situ habitual)
  4. DMerge sort
2.Algoritmos y complejidadDifícil

El ordenamiento por inserción se ejecuta en O(n) con una entrada ordenada. ¿Contradice esto la cota inferior Ω(n log n) de la ordenación por comparaciones?

  1. ASí, pero solo para arrays de menos de 100 elementos
  2. BNo, la cota inferior se aplica al peor caso entre todas las entradas, no a cada entrada
  3. CSí, así que la cota inferior es errónea
  4. DNo, porque el ordenamiento por inserción no es una ordenación por comparaciones
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué tipo abstracto de datos usa el algoritmo de Dijkstra para elegir el siguiente vértice que procesar?

  1. AUna cola FIFO
  2. BUna pila
  3. CUna cola de prioridad de mínimos
  4. DUn conjunto sin orden
4.Estructuras de datosDifícil

Un filtro de Bloom puede responder a «¿está este elemento en el conjunto?» con:

  1. APosibles falsos negativos, pero sin falsos positivos
  2. BRespuestas siempre exactas
  3. CRespuestas solo para números
  4. DPosibles falsos positivos, pero sin falsos negativos
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 7|E| = 7
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
8512162091519ABCDEF

El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo. Haz clic en la arista que añade como arista número 5; las aristas descartadas no cuentan.

k = 5
  1. 1arista AB
  2. 2arista AC
  3. 3arista BC
  4. 4arista BD
  5. 5arista CE
  6. 6arista DE
  7. 7arista EF
  8. 8arista BE

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Merge sort

Por qué esta es la respuesta

Merge sort es estable si, en caso de empate, la mezcla toma primero de la mitad izquierda. Quicksort in situ, heap sort y el ordenamiento por selección no suelen ser estables.

Respuesta

D · Merge sort
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · No, la cota inferior se aplica al peor caso entre todas las entradas, no a cada entrada

Por qué esta es la respuesta

La cota dice que toda ordenación por comparaciones necesita unas n log n comparaciones con alguna entrada de tamaño n; entradas especiales pueden ser mucho más rápidas.

Respuesta

B · No, la cota inferior se aplica al peor caso entre todas las entradas, no a cada entrada
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · Una cola de prioridad de mínimos

Por qué esta es la respuesta

Una cola de prioridad de mínimos, normalmente un montículo binario, devuelve de forma eficiente el vértice no visitado con la menor distancia.

Respuesta

C · Una cola de prioridad de mínimos
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · Posibles falsos positivos, pero sin falsos negativos

Por qué esta es la respuesta

Si algún bit de un elemento es 0, seguro que no está; si todos son 1, probablemente está. Los filtros de Bloom sacrifican precisión a cambio de usar muy poca memoria.

Respuesta

D · Posibles falsos positivos, pero sin falsos negativos
5.Teoría de grafos

Respuesta: ninguna de las dos

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 1, deg(G) = 1

Vértices impares

C, D, F, G → 4
ninguna de las dos

Respuesta

ninguna de las dos
6.Teoría de grafos

Respuesta: arista BD

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

1. AC (5)
2. AB (8)
3. DE (9)
4. EF (15)
5. BD (16)

arista número 5

BD

Respuesta

arista BD

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