Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos: Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regular: |E| = n·k/2
Árbol y bosque: |E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en K_n: (n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L: (Mᴸ)_ij

Método

Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la complejidad temporal de: para i = 1 hasta n: (j = 1; mientras j < n: j = j × 2)?

AO(n²)
BO(n)
CO(n log n)
DO(log n)

2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cuáles son los costes de tiempo y espacio de calcular el n-ésimo número de Fibonacci con un bucle que guarda solo los dos últimos valores?

ATiempo O(n) y espacio O(n)
BTiempo O(2ⁿ) y espacio O(1)
CTiempo O(n) y espacio O(1)
DTiempo O(log n) y espacio O(n)

3.Estructuras de datosMedia

Un nodo de un árbol binario de búsqueda tiene subárbol derecho. ¿Dónde está su sucesor en orden?

ASiempre en su hijo derecho
BSiempre en su padre
CEn el nodo situado más a la derecha de su subárbol izquierdo
DEn el nodo situado más a la izquierda de su subárbol derecho

4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué garantía dan las reglas del árbol rojo-negro sobre la altura de un árbol con n claves?

ALa altura es como máximo log₂ n + 1
BLa altura es como máximo n / 2
CLa altura es como máximo 2 log₂(n + 1)
DLa altura es exactamente log₂ n

5.Teoría de grafosMedia

¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K₆? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.

K₆

H =

6.Teoría de grafosDifícil

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F

d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · O(n log n)

Por qué esta es la respuesta

El bucle interior se ejecuta unas log₂ n veces por cada una de las n iteraciones exteriores, lo que da O(n log n).

Respuesta

C · O(n log n)

2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Tiempo O(n) y espacio O(1)

Por qué esta es la respuesta

Cada paso necesita solo los dos valores anteriores, así que la tabla del método ascendente puede sustituirse por dos variables.

Respuesta

C · Tiempo O(n) y espacio O(1)

3.Estructuras de datos

Respuesta: D · En el nodo situado más a la izquierda de su subárbol derecho

Por qué esta es la respuesta

Todas las claves mayores cercanas al nodo están en su subárbol derecho, y la menor de ellas es el nodo situado más a la izquierda de ese subárbol.

Respuesta

D · En el nodo situado más a la izquierda de su subárbol derecho

4.Estructuras de datos

Respuesta: C · La altura es como máximo 2 log₂(n + 1)

Por qué esta es la respuesta

Todos los caminos tienen el mismo número de nodos negros y los nodos rojos no pueden ser adyacentes, así que el camino más largo es como mucho el doble del más corto, lo que da una altura O(log n).

Respuesta

C · La altura es como máximo 2 log₂(n + 1)

5.Teoría de grafos

Respuesta: H = 60

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; K_n tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Contar

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Respuesta

H = 60

6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 24

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 3, C: 15

B (3): C: 8, D: 10

C (8): E: 14

D (10): F: 24

E (14)

F (24)

Camino más corto

A → B → D → F

d(F) = 24

Respuesta

d(F) = 24

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