Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

La búsqueda en anchura (BFS) en un grafo no ponderado encuentra:

  1. AUn orden topológico en todos los grafos
  2. BLos caminos más cortos en número de aristas desde el nodo inicial
  3. CEl árbol de expansión mínima
  4. DLos caminos más cortos en grafos que contienen aristas con pesos negativos
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cómo se clasifica el problema del viajante?

  1. AEs indecidible
  2. BLa versión de decisión es NP-completa y la de optimización es NP-difícil
  3. CLa versión de decisión está en P, pero la de optimización es NP-completa
  4. DEstá en P porque el algoritmo de Dijkstra lo resuelve visitando cada ciudad una vez
3.Estructuras de datosMedia

Un árbol binario tiene la raíz 1 con hijo izquierdo 2 e hijo derecho 3; el nodo 2 tiene los hijos 4 (izquierdo) y 5 (derecho). ¿Cuál es el recorrido en preorden?

  1. A1 2 4 5 3
  2. B4 5 2 3 1
  3. C1 2 3 4 5
  4. D4 2 5 1 3
4.Estructuras de datosDifícil

Eliminar un nodo con dos hijos de un árbol binario de búsqueda se hace normalmente:

  1. AEliminando todo el subárbol
  2. BIntercambiándolo con la raíz
  3. CReemplazándolo por su sucesor en orden (o predecesor) y eliminando ese nodo
  4. DReconstruyendo desde cero el subárbol que hay debajo y reinsertando todas las claves que contenía
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 7|E| = 7
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
ABCDE

¿Cuántos recorridos de longitud 2 van de D a E? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.

M = matriz de adyacenciaL = 2
N =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Los caminos más cortos en número de aristas desde el nodo inicial

Por qué esta es la respuesta

BFS visita los nodos en orden de distancia (en aristas) desde el origen, así que encuentra los caminos más cortos no ponderados en O(V + E).

Respuesta

B · Los caminos más cortos en número de aristas desde el nodo inicial
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · La versión de decisión es NP-completa y la de optimización es NP-difícil

Por qué esta es la respuesta

«¿Hay un recorrido de longitud como mucho k?» es NP-completo; hallar el recorrido más corto es NP-difícil, porque es al menos igual de difícil.

Respuesta

B · La versión de decisión es NP-completa y la de optimización es NP-difícil
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · 1 2 4 5 3

Por qué esta es la respuesta

El preorden visita 1, luego su subárbol izquierdo (2, 4, 5) y después 3; las demás opciones son el recorrido en orden, el postorden y el recorrido por niveles.

Respuesta

A · 1 2 4 5 3
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · Reemplazándolo por su sucesor en orden (o predecesor) y eliminando ese nodo

Por qué esta es la respuesta

El sucesor en orden tiene como máximo un hijo, por lo que puede eliminarse fácilmente después de copiar su clave en el nodo que se va a eliminar.

Respuesta

C · Reemplazándolo por su sucesor en orden (o predecesor) y eliminando ese nodo
5.Teoría de grafos

Respuesta: Camino euleriano, sin circuito

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 1, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Vértices impares

C, D → 2
Camino euleriano, sin circuito

Respuesta

Camino euleriano, sin circuito

El camino euleriano empieza en un vértice impar y termina en el otro.

6.Teoría de grafos

Respuesta: N = 1

Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.

Matriz de adyacencia

A: 0 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 0 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Vecinos comunes

(M²)DE = 0·0 + 1·1 + 0·1 + 0·1 + 1·0 = 1

Respuesta

N = 1

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