Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

La búsqueda en anchura (BFS) en un grafo no ponderado encuentra:

  1. AUn orden topológico en todos los grafos
  2. BLos caminos más cortos en número de aristas desde el nodo inicial
  3. CEl árbol de expansión mínima
  4. DLos caminos más cortos en grafos que contienen aristas con pesos negativos
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cuál de estos problemas de satisfacibilidad se sabe que es resoluble en tiempo polinómico?

  1. A2-SAT, donde cada cláusula tiene como mucho dos literales
  2. BLa satisfacibilidad de circuitos
  3. C3-SAT, donde cada cláusula tiene exactamente tres literales
  4. DSAT general sobre fórmulas en forma normal conjuntiva
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué tipo abstracto de datos usa el algoritmo de Dijkstra para elegir el siguiente vértice que procesar?

  1. AUna cola de prioridad de mínimos
  2. BUna pila
  3. CUna cola FIFO
  4. DUn conjunto sin orden
4.Estructuras de datosDifícil

¿Cuáles son los costes en tiempo y en espacio adicional de invertir en el sitio una lista simplemente enlazada?

  1. ATiempo O(n) y espacio adicional O(1)
  2. BTiempo O(n) y espacio adicional O(n)
  3. CTiempo O(1) y espacio adicional O(1)
  4. DTiempo O(n log n) y espacio adicional O(1)
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 7|E| = 7
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
4146211102016ABCDEF

Halla el peso total W de un árbol generador mínimo del grafo ponderado.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Los caminos más cortos en número de aristas desde el nodo inicial

Por qué esta es la respuesta

BFS visita los nodos en orden de distancia (en aristas) desde el origen, así que encuentra los caminos más cortos no ponderados en O(V + E).

Respuesta

B · Los caminos más cortos en número de aristas desde el nodo inicial
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · 2-SAT, donde cada cláusula tiene como mucho dos literales

Por qué esta es la respuesta

2-SAT está en P (tiempo lineal mediante componentes fuertemente conexas), mientras que 3-SAT es NP-completo.

Respuesta

A · 2-SAT, donde cada cláusula tiene como mucho dos literales
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · Una cola de prioridad de mínimos

Por qué esta es la respuesta

Una cola de prioridad de mínimos, normalmente un montículo binario, devuelve de forma eficiente el vértice no visitado con la menor distancia.

Respuesta

A · Una cola de prioridad de mínimos
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Tiempo O(n) y espacio adicional O(1)

Por qué esta es la respuesta

Con tres punteros (anterior, actual, siguiente) se puede invertir cada enlace en una sola pasada sin reservar nodos nuevos.

Respuesta

A · Tiempo O(n) y espacio adicional O(1)
5.Teoría de grafos

Respuesta: ninguna de las dos

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 1, deg(D) = 4, deg(E) = 2, deg(F) = 1, deg(G) = 2

Vértices impares

A, B, C, F → 4
ninguna de las dos

Respuesta

ninguna de las dos
6.Teoría de grafos

Respuesta: W = 42

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

BD (2): tomar
AB (4): tomar
BC (6): tomar
DE (10): tomar
CE (11): descartar, cierra un ciclo
AC (14): descartar, cierra un ciclo
BE (16): descartar, cierra un ciclo
EF (20): tomar

Peso total

W = 2 + 4 + 6 + 10 + 20 = 42

Respuesta

W = 42

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