Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué mide el análisis amortizado?

  1. AEl coste medio por operación a lo largo de una secuencia de operaciones del peor caso
  2. BEl coste de la única operación más cara de toda la secuencia
  3. CEl coste esperado con entradas aleatorias
  4. DEl coste de un algoritmo con la mejor entrada
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Por qué el algoritmo de Dijkstra puede dar resultados erróneos cuando algunos pesos de arista son negativos?

  1. ALos números negativos no pueden guardarse en una cola de prioridad
  2. BEntra en un bucle infinito con cada arista negativa
  3. CUn vértice se da por cerrado al extraerlo, pero una arista negativa posterior aún podría darle un camino más corto
  4. DSolo funciona con grafos no dirigidos
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué tipo abstracto de datos usa el algoritmo de Dijkstra para elegir el siguiente vértice que procesar?

  1. AUna cola FIFO
  2. BUna cola de prioridad de mínimos
  3. CUna pila
  4. DUn conjunto sin orden
4.Estructuras de datosDifícil

Un árbol de Fenwick (binary indexed tree) sobre un arreglo de n números permite, ¿qué operaciones en O(log n)?

  1. AEncontrar la mediana en O(1)
  2. BInsertar elementos en cualquier posición
  3. CConsultas de sumas de prefijos y actualizaciones de un solo elemento
  4. DOrdenar el arreglo y la búsqueda binaria
5.Teoría de grafosMedia

¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K6? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.

K6
H =
6.Teoría de grafosDifícil
15511214313ABCDE

El algoritmo de Prim construye un árbol generador mínimo a partir del vértice A. Haz clic en la arista que añade como arista número 4.

inicio: Ak = 4
  1. 1arista AB
  2. 2arista AC
  3. 3arista BC
  4. 4arista BD
  5. 5arista CE
  6. 6arista DE
  7. 7arista BE

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · El coste medio por operación a lo largo de una secuencia de operaciones del peor caso

Por qué esta es la respuesta

El análisis amortizado reparte el coste de las operaciones caras y poco frecuentes entre muchas baratas, lo que da una media garantizada para cualquier secuencia.

Respuesta

A · El coste medio por operación a lo largo de una secuencia de operaciones del peor caso
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Un vértice se da por cerrado al extraerlo, pero una arista negativa posterior aún podría darle un camino más corto

Por qué esta es la respuesta

El paso voraz se basa en pesos no negativos para que las distancias extraídas sean definitivas; cuando los pesos pueden ser negativos se usa Bellman-Ford.

Respuesta

C · Un vértice se da por cerrado al extraerlo, pero una arista negativa posterior aún podría darle un camino más corto
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · Una cola de prioridad de mínimos

Por qué esta es la respuesta

Una cola de prioridad de mínimos, normalmente un montículo binario, devuelve de forma eficiente el vértice no visitado con la menor distancia.

Respuesta

B · Una cola de prioridad de mínimos
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · Consultas de sumas de prefijos y actualizaciones de un solo elemento

Por qué esta es la respuesta

Un árbol de Fenwick almacena sumas parciales sobre rangos determinados por los bits bajos de cada índice, así que tanto las sumas de prefijos como las actualizaciones puntuales cuestan O(log n).

Respuesta

C · Consultas de sumas de prefijos y actualizaciones de un solo elemento
5.Teoría de grafos

Respuesta: H = 60

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Contar

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Respuesta

H = 60
6.Teoría de grafos

Respuesta: arista DE

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Prim

1. AC (5)
2. BC (1)
3. BD (12)
4. DE (3)

arista número 4

DE

Respuesta

arista DE

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