Ecuaciones diferenciales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Ecuaciones diferenciales

Crecimiento/decrecimiento exponencial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Periodo de semidesintegración: k = ln 2 / t_½
Ley de enfriamiento de Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Factor integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Depósito de mezcla: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrales

Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrales habituales: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescribe el integrando como suma de términos sencillos siempre que puedas.
Aplica la regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), y las integrales inmediatas de e^x, 1/x, sin y cos.
Usa un cambio de variable cuando veas una función junto con su derivada.
En una integral definida, calcula F(b) − F(a).

Derivadas

Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′
Regla del cociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regla de la cadena: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas habituales: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Método

Identifica la estructura: suma, producto, cociente o composición.
Aplica la regla de la potencia a cada potencia de x.
Usa la regla del producto, del cociente o de la cadena donde haga falta.
Simplifica y, si se pide, evalúa en el punto.

Métodos numéricos

Bisección: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolación lineal: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Regla del trapecio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regla de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Cota del error del trapecio: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Método

Para una raíz: comprueba el cambio de signo en la bisección, o calcula f y f′ en Newton, y conserva seis o más cifras en una tabla de iteraciones.
Para un valor de una tabla: interpola linealmente entre los dos puntos vecinos.
Para una integral: halla h = (b − a)/n, lista f en cada nodo, aplica los pesos (1, 2, …, 2, 1 para el trapecio; 1, 4, 2, …, 4, 1 para Simpson con n par) y multiplica por h/2 o h/3.
Para una EDO: avanza desde t₀ con yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) o con la pendiente promediada (Heun), una fila por paso, hasta llegar al t pedido.

2Problemas de práctica

1.Ecuaciones diferencialesMedia

Una pieza de acero forjado a 340 °C se deja enfriar en un taller a 20 °C. Al cabo de 29 min su temperatura es 199 °C. Sigue la ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). ¿Cuánto tiempo después del inicio, t, tarda en alcanzar 83 °C?

T₀ = 340 °CT_a = 20 °CT(29) = 199 °CT = 83 °C

t = min

2.Ecuaciones diferencialesDifícil

Resuelve el problema de valor inicial y′ + y/x = 1 para x > 0, con y(1) = 0. Halla y(3).

y′ + y/x = 1y(1) = 0

y(3) =

3.IntegralesMedia

Calcula I = ∫₀^π x·cos x dx (x en radianes).

∫₀^π x·cos x dx

I =

4.IntegralesDifícil

Calcula el área A de la región entre la parábola y = 9 − x² y el eje x.

y = 9 − x²

A =

5.DerivadasMedia

Sea f(x) = (2x + 3)³. Calcula f′(2).

f(x) = (2x + 3)³x = 2

f′(2) =

6.DerivadasDifícil

Sea f(x) = x³ + 6x² + 9x − 2. Calcula la coordenada x x del mínimo local.

f(x) = x³ + 6x² + 9x − 2

x =

7.Métodos numéricosMedia

Aproxima ∫₀^1,5 √(1 + x³) dx con la regla de Simpson usando n = 6 franjas. Da S.

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 6

S =

8.Métodos numéricosDifícil

Resuelve y′ = y − t², y(0) = 0,5 con el método de Euler y paso h = 0,25 hasta t = 0,75. La solución exacta es y = t² + 2t + 2 + (y₀ − 2)eᵗ. Halla el error global |E| = |y(0,75) − y₃|.

y′ = y − t²y(0) = 0,5h = 0,25

|E| =

3Disoluciones

1.Ecuaciones diferenciales

Respuesta: t = 81,13 min

Ecuaciones diferenciales de primer orden: dy/dt = k·y tiene la solución y = y₀·e^kt (crecimiento para k > 0, decrecimiento para k < 0); un periodo de semidesintegración T da k = ln 2/T. La ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), da T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Una ecuación lineal y′ + p(x)·y = q(x) se resuelve con el factor integrante μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, así que μy = ∫μq dx + C.

Constante de enfriamiento

k = ln(320/179)/29 = 0,02003 min⁻¹

Tiempo hasta alcanzar el objetivo

t = ln(320/63)/0,02003 = 81,13 min

Respuesta

t = 81,13 min

2.Ecuaciones diferenciales

Respuesta: y(3) = 1,333

Factor integrante

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

Integrar

(x¹y)′ = x → x¹y = 1x²/2 + C

Condición inicial

0 = 1/2 + C → C = −0,5

Evalúa

y(3) = (1·3²/2 + (−0,5))/3¹ = 1,333

Respuesta

y(3) = 1,333

3.Integrales

Respuesta: I = −2

Integración por partes: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, a partir de la regla del producto. Elige como u el factor que se simplifica al derivarlo (una potencia de x, o ln x), y como dv el factor que sabes integrar (eˣ, sin x, cos x, o x cuando u = ln x). En una integral definida, evalúa u·v en ambos límites: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Un factor x² necesita dos vueltas.

Elige u y dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Primitiva

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Límites

(π·sin π + cos π) − (0 + 1) = −2

Respuesta

I = −2

4.Integrales

Respuesta: A = 36

Integrales definidas: ∫ₐᵇ f(x) dx es el área con signo entre la gráfica y el eje x de a a b. Busca una primitiva F (con F′ = f) y calcula F(b) − F(a). Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). El área entre dos curvas es ∫(superior − inferior) dx.

Ceros

9 − x² = 0 → x = ±3

Integrar

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Respuesta

A = 36

5.Derivadas

Respuesta: f′(2) = 294

Derivación: la derivada f′(x) es la pendiente de la gráfica en x. Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′. Regla de la cadena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Donde f′(x) = 0 la gráfica tiene tangente horizontal: un máximo, un mínimo o un punto de silla.

Regla de la cadena

f′(x) = 3·(2x + 3)²·2

Sustituir

f′(2) = 3·7²·2 = 294

Respuesta

f′(2) = 294

6.Derivadas

Respuesta: x = −1

Derivada

f′(x) = 3x² + 12x + 9 = 3·(x² + 4x + 3)

Resolver f′(x) = 0

x = −3 o x = −1

Cuál es cuál

f″(x) = 6x + 12: negativa en un máximo, positiva en un mínimo.

f″(−3) = −6, f″(−1) = 6

x = −1

Respuesta

x = −1

7.Métodos numéricos

Respuesta: S = 1,976

Integración numérica: divide [a, b] en n franjas de anchura h = (b − a)/n con nodos x₀ … xₙ. Regla del trapecio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regla de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. El error del trapecio disminuye como h² (cota (b − a)h²·M/12 con M = max|f″|) y el de Simpson como h⁴, así que Simpson suele ser mucho más preciso con los mismos nodos.

Nodos y valores

h = 0,25

Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·1,007782 + 2·1,06066 + 4·1,192424 + 2·1,414214 + 4·1,718466 + 2,09165 = 23,716086

Regla de Simpson

S = (0,25/3)·23,716086 = 1,976

Respuesta

S = 1,976

Esta integral no tiene primitiva elemental, que es justo cuando hace falta una regla numérica.

8.Métodos numéricos

Respuesta: |E| = 0,007531

Solución numérica de y′ = f(t, y): el método de Euler avanza según la pendiente al inicio de cada paso: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). El método de Heun (Euler mejorado) promedia la pendiente al inicio y en una predicción de Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). El método clásico de Runge–Kutta (RK4) combina cuatro pendientes: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). El error global de Euler es proporcional a h, el de Heun a h² y el de RK4 a h⁴.

Pasos de Euler

y₃ = 0,894531

Valor exacto

y(0,75) = 0,887

Error global

|E| = |0,887 − 0,894531| = 0,007531

Gráfico

Respuesta

|E| = 0,007531

Reducir h a la mitad reduce aproximadamente a la mitad el error del método de Euler.

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