Ecuaciones diferenciales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Ecuaciones diferenciales

Crecimiento/decrecimiento exponencial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Periodo de semidesintegración: k = ln 2 / t_½
Ley de enfriamiento de Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Factor integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Depósito de mezcla: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrales

Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrales habituales: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescribe el integrando como suma de términos sencillos siempre que puedas.
Aplica la regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), y las integrales inmediatas de e^x, 1/x, sin y cos.
Usa un cambio de variable cuando veas una función junto con su derivada.
En una integral definida, calcula F(b) − F(a).

Derivadas

Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′
Regla del cociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regla de la cadena: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas habituales: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Método

Identifica la estructura: suma, producto, cociente o composición.
Aplica la regla de la potencia a cada potencia de x.
Usa la regla del producto, del cociente o de la cadena donde haga falta.
Simplifica y, si se pide, evalúa en el punto.

Métodos numéricos

Bisección: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolación lineal: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Regla del trapecio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regla de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Cota del error del trapecio: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Método

Para una raíz: comprueba el cambio de signo en la bisección, o calcula f y f′ en Newton, y conserva seis o más cifras en una tabla de iteraciones.
Para un valor de una tabla: interpola linealmente entre los dos puntos vecinos.
Para una integral: halla h = (b − a)/n, lista f en cada nodo, aplica los pesos (1, 2, …, 2, 1 para el trapecio; 1, 4, 2, …, 4, 1 para Simpson con n par) y multiplica por h/2 o h/3.
Para una EDO: avanza desde t₀ con yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) o con la pendiente promediada (Heun), una fila por paso, hasta llegar al t pedido.

2Problemas de práctica

1.Ecuaciones diferencialesMedia

Una lata de refresco a 6 °C se saca del frigorífico a una habitación a 23 °C. Al cabo de 27 min su temperatura es 17 °C. Sigue la ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Halla la constante k en min⁻¹.

T₀ = 6 °CT_a = 23 °CT(27) = 17 °C

k = min⁻¹

2.Ecuaciones diferencialesDifícil

Resuelve el problema de valor inicial y′ + 2y/x = 4x² para x > 0, con y(1) = 0. Halla y(3).

y′ + 2y/x = 4x²y(1) = 0

y(3) =

3.IntegralesMedia

La región bajo y = 2x desde x = 0 hasta x = 2 gira alrededor del eje x. Halla el volumen V del sólido (un cono).

y = 2x0 ≤ x ≤ 2

V =

4.IntegralesDifícil

Calcula el área A de la región entre la parábola y = 4 − x² y el eje x.

y = 4 − x²

A =

5.DerivadasMedia

Sea f(x) = x·sin(2x), con x en radianes. Calcula f′(1).

f(x) = x·sin(2x)x = 1 rad

f′(1) =

6.DerivadasDifícil

La recta tangente a f(x) = x² − 4x − 2 en x = 1 corta el eje y en y = b. Calcula b.

f(x) = x² − 4x − 2x = 1

b =

7.Métodos numéricosMedia

Se usa la regla del trapecio para ∫₀¹ eˣ dx. El error es como máximo (b − a)³·M/(12n²) con M = max|f″| en [0, 1]. Halla el menor número de franjas n que garantiza un error inferior a 1 × 10⁻⁵.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]ε = 1 × 10⁻⁵

n =

8.Métodos numéricosDifícil

Da un paso del método clásico de Runge–Kutta (RK4) con h = 0,2 para y′ = cos t − y, y(0) = 1. Halla y₁ ≈ y(0,2).

y′ = cos t − yy(0) = 1h = 0,2

y₁ =

3Disoluciones

1.Ecuaciones diferenciales

Respuesta: k = 0,03857 min⁻¹

Ecuaciones diferenciales de primer orden: dy/dt = k·y tiene la solución y = y₀·e^kt (crecimiento para k > 0, decrecimiento para k < 0); un periodo de semidesintegración T da k = ln 2/T. La ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), da T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Una ecuación lineal y′ + p(x)·y = q(x) se resuelve con el factor integrante μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, así que μy = ∫μq dx + C.

Cociente de diferencias de temperatura

e^−27k = -6/-17

Despeja k

k = ln(-17/-6)/27 = 0,03857 min⁻¹

Respuesta

k = 0,03857 min⁻¹

2.Ecuaciones diferenciales

Respuesta: y(3) = 21,51

Factor integrante

μ = e^{∫2/x dx} = x²

Integrar

(x²y)′ = 4x⁴ → x²y = 4x⁵/5 + C

Condición inicial

0 = 4/5 + C → C = −0,8

Evalúa

y(3) = (4·3⁵/5 + (−0,8))/3² = 21,51

Respuesta

y(3) = 21,51

3.Integrales

Respuesta: V = 33,51

Volúmenes de revolución: al girar alrededor del eje x la región bajo y = f(x) desde x = a hasta x = b se obtiene un sólido cuya sección transversal en x es un disco de radio f(x). Sumando los discos se obtiene V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Cuando la región está entre una curva exterior R(x) y una curva interior r(x), cada rebanada es una arandela: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Eleva los radios al cuadrado antes de restarlos.

Método de los discos

V = π∫₀² 4x² dx

Integrar

V = π·4·2³/3 = 33,51

Respuesta

V = 33,51

Comprobación: un cono de radio 4 y altura 2 tiene (1/3)πr²h = 33,51.

4.Integrales

Respuesta: A = 10,67

Integrales definidas: ∫ₐᵇ f(x) dx es el área con signo entre la gráfica y el eje x de a a b. Busca una primitiva F (con F′ = f) y calcula F(b) − F(a). Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). El área entre dos curvas es ∫(superior − inferior) dx.

Ceros

4 − x² = 0 → x = ±2

Integrar

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Respuesta

A = 10,67

5.Derivadas

Respuesta: f′(1) = 0,077

Derivación: la derivada f′(x) es la pendiente de la gráfica en x. Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′. Regla de la cadena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Donde f′(x) = 0 la gráfica tiene tangente horizontal: un máximo, un mínimo o un punto de silla.

Regla del producto y de la cadena

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Sustituir

f′(1) = 0,9093 + 2·(−0,4161) = 0,077

Respuesta

f′(1) = 0,077

6.Derivadas

Respuesta: b = −3

Punto y pendiente

f(1) = −5

f′(x) = 2x − 4 → f′(1) = −2

Recta tangente en x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −5 − (−2)·1 = −3

Respuesta

b = −3

7.Métodos numéricos

Respuesta: n = 151

Integración numérica: divide [a, b] en n franjas de anchura h = (b − a)/n con nodos x₀ … xₙ. Regla del trapecio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regla de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. El error del trapecio disminuye como h² (cota (b − a)h²·M/12 con M = max|f″|) y el de Simpson como h⁴, así que Simpson suele ser mucho más preciso con los mismos nodos.

Cota de la segunda derivada

M = e¹ = 2,718

Despejar n

n² > 1·2,718/(12·1 × 10⁻⁵) = 22652

n > 150,5 → n = 151

Respuesta

n = 151

8.Métodos numéricos

Respuesta: y₁ = 0,9987

Solución numérica de y′ = f(t, y): el método de Euler avanza según la pendiente al inicio de cada paso: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). El método de Heun (Euler mejorado) promedia la pendiente al inicio y en una predicción de Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). El método clásico de Runge–Kutta (RK4) combina cuatro pendientes: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). El error global de Euler es proporcional a h, el de Heun a h² y el de RK4 a h⁴.

Cuatro pendientes

k₁ = f(0, 1) = 0

k₂ = f(0,1, 1) = −0,00499583

k₃ = f(0,1, 0,9995) = −0,00449625

k₄ = f(0,2, 0,999101) = −0,0190342

Combina

y₁ = 1 + (0,2/6)(0 + 2·−0,00499583 + 2·−0,00449625 − 0,0190342) = 0,9987

Respuesta

y₁ = 0,9987

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