Ecuaciones diferenciales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

Problemas nuevos Volver a la asignatura

En la ventana de impresión, elige «Guardar como PDF» para conservar una copia en tu dispositivo.

1Fórmulas y métodos

Ecuaciones diferenciales

Crecimiento/decrecimiento exponencial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Periodo de semidesintegración: k = ln 2 / t_½
Ley de enfriamiento de Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Factor integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Depósito de mezcla: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrales

Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrales habituales: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescribe el integrando como suma de términos sencillos siempre que puedas.
Aplica la regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), y las integrales inmediatas de e^x, 1/x, sin y cos.
Usa un cambio de variable cuando veas una función junto con su derivada.
En una integral definida, calcula F(b) − F(a).

Derivadas

Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′
Regla del cociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regla de la cadena: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas habituales: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Método

Identifica la estructura: suma, producto, cociente o composición.
Aplica la regla de la potencia a cada potencia de x.
Usa la regla del producto, del cociente o de la cadena donde haga falta.
Simplifica y, si se pide, evalúa en el punto.

Métodos numéricos

Bisección: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolación lineal: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Regla del trapecio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regla de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Cota del error del trapecio: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Método

Para una raíz: comprueba el cambio de signo en la bisección, o calcula f y f′ en Newton, y conserva seis o más cifras en una tabla de iteraciones.
Para un valor de una tabla: interpola linealmente entre los dos puntos vecinos.
Para una integral: halla h = (b − a)/n, lista f en cada nodo, aplica los pesos (1, 2, …, 2, 1 para el trapecio; 1, 4, 2, …, 4, 1 para Simpson con n par) y multiplica por h/2 o h/3.
Para una EDO: avanza desde t₀ con yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) o con la pendiente promediada (Heun), una fila por paso, hasta llegar al t pedido.

2Problemas de práctica

1.Ecuaciones diferencialesMedia

Una pieza de acero forjado a 400 °C se deja enfriar en un taller a 28 °C. Al cabo de 19 min su temperatura es 336 °C. Sigue la ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Halla la constante k en min⁻¹.

T₀ = 400 °CT_a = 28 °CT(19) = 336 °C

k = min⁻¹

2.Ecuaciones diferencialesDifícil

Un depósito contiene 500 L de agua en la que hay disueltos 20 kg de sal. Entra salmuera con 0,1 kg de sal por litro a 5 L/min, y la disolución bien mezclada sale al mismo caudal. ¿Al cabo de cuántos minutos t contiene el depósito 41 kg de sal?

V = 500 Lm₀ = 20 kgc = 0,1 kg/Lr = 5 L/min

t = min

3.IntegralesMedia

Calcula I = ∫₁³ 1/x dx.

f(x) = 1/x[1, 3]

I =

4.IntegralesDifícil

Calcula I = ∫₀³ x²·eˣ dx.

∫₀³ x²eˣ dx

I =

5.DerivadasMedia

Sea f(x) = (−2x + 3)⁵. Calcula f′(−1).

f(x) = (−2x + 3)⁵x = −1

f′(−1) =

6.DerivadasDifícil

La recta tangente a f(x) = 3x² + 6 en x = 2 corta el eje y en y = b. Calcula b.

f(x) = 3x² + 6x = 2

b =

7.Métodos numéricosMedia

Aproxima ∫₀^1,5 √(1 + x³) dx con la regla del trapecio usando n = 6 franjas. Da T.

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 6

T =

8.Métodos numéricosDifícil

Resuelve y′ = t − y, y(0) = 3 con el método de Euler y paso h = 0,5 hasta t = 1,5. La solución exacta es y = t − 1 + (y₀ + 1)e^−t. Halla el error global |E| = |y(1,5) − y₃|.

y′ = t − yy(0) = 3h = 0,5

|E| =

3Disoluciones

1.Ecuaciones diferenciales

Respuesta: k = 0,009937 min⁻¹

Ecuaciones diferenciales de primer orden: dy/dt = k·y tiene la solución y = y₀·e^kt (crecimiento para k > 0, decrecimiento para k < 0); un periodo de semidesintegración T da k = ln 2/T. La ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), da T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Una ecuación lineal y′ + p(x)·y = q(x) se resuelve con el factor integrante μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, así que μy = ∫μq dx + C.

Cociente de diferencias de temperatura

e^−19k = 308/372

Despeja k

k = ln(372/308)/19 = 0,009937 min⁻¹

Respuesta

k = 0,009937 min⁻¹

2.Ecuaciones diferenciales

Respuesta: t = 120,4 min

Resultado

m(t) = 50 + (−30)·e^−t/100

Despeja t

e^−t/100 = (50 − 41)/(50 − 20) = 0,3

t = 100·ln(3,333) = 120,4 min

Respuesta

t = 120,4 min

3.Integrales

Respuesta: I = 1,099

Integrales definidas: ∫ₐᵇ f(x) dx es el área con signo entre la gráfica y el eje x de a a b. Busca una primitiva F (con F′ = f) y calcula F(b) − F(a). Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). El área entre dos curvas es ∫(superior − inferior) dx.

Primitiva

F(x) = ln x

Evaluar en los límites

I = (ln 3 − ln 1) = ln 3 = 1,099

Respuesta

I = 1,099

4.Integrales

Respuesta: I = 98,43

Integración por partes: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, a partir de la regla del producto. Elige como u el factor que se simplifica al derivarlo (una potencia de x, o ln x), y como dv el factor que sabes integrar (eˣ, sin x, cos x, o x cuando u = ln x). En una integral definida, evalúa u·v en ambos límites: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Un factor x² necesita dos vueltas.

Primera vuelta

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Segunda vuelta

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Límites

20,09·(5) − 1·2 = 98,43

Respuesta

I = 98,43

5.Derivadas

Respuesta: f′(−1) = −6250

Derivación: la derivada f′(x) es la pendiente de la gráfica en x. Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′. Regla de la cadena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Donde f′(x) = 0 la gráfica tiene tangente horizontal: un máximo, un mínimo o un punto de silla.

Regla de la cadena

f′(x) = 5·(−2x + 3)⁴·(−2)

Sustituir

f′(−1) = 5·5⁴·(−2) = −6250

Respuesta

f′(−1) = −6250

6.Derivadas

Respuesta: b = −6

Punto y pendiente

f(2) = 18

f′(x) = 6x → f′(2) = 12

Recta tangente en x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 18 − 12·2 = −6

Respuesta

b = −6

7.Métodos numéricos

Respuesta: T = 1,985

Integración numérica: divide [a, b] en n franjas de anchura h = (b − a)/n con nodos x₀ … xₙ. Regla del trapecio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regla de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. El error del trapecio disminuye como h² (cota (b − a)h²·M/12 con M = max|f″|) y el de Simpson como h⁴, así que Simpson suele ser mucho más preciso con los mismos nodos.

Nodos y valores

h = 0,25

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·1,007782 + 2·1,06066 + 2·1,192424 + 2·1,414214 + 2·1,718466 + 2,09165 = 15,878742

Regla del trapecio

T = (0,25/2)·15,878742 = 1,985

Respuesta

T = 1,985

Esta integral no tiene primitiva elemental, que es justo cuando hace falta una regla numérica.

8.Métodos numéricos

Respuesta: |E| = 0,3925

Solución numérica de y′ = f(t, y): el método de Euler avanza según la pendiente al inicio de cada paso: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). El método de Heun (Euler mejorado) promedia la pendiente al inicio y en una predicción de Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). El método clásico de Runge–Kutta (RK4) combina cuatro pendientes: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). El error global de Euler es proporcional a h, el de Heun a h² y el de RK4 a h⁴.

Pasos de Euler

y₃ = 1

Valor exacto

y(1,5) = 1,392521

Error global

|E| = |1,392521 − 1| = 0,3925

Gráfico

Respuesta

|E| = 0,3925

Reducir h a la mitad reduce aproximadamente a la mitad el error del método de Euler.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations