Ecuaciones diferenciales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Ecuaciones diferenciales

Crecimiento/decrecimiento exponencial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Periodo de semidesintegración: k = ln 2 / t_½
Ley de enfriamiento de Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Factor integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Depósito de mezcla: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrales

Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrales habituales: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescribe el integrando como suma de términos sencillos siempre que puedas.
Aplica la regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), y las integrales inmediatas de e^x, 1/x, sin y cos.
Usa un cambio de variable cuando veas una función junto con su derivada.
En una integral definida, calcula F(b) − F(a).

Derivadas

Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′
Regla del cociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regla de la cadena: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas habituales: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Método

Identifica la estructura: suma, producto, cociente o composición.
Aplica la regla de la potencia a cada potencia de x.
Usa la regla del producto, del cociente o de la cadena donde haga falta.
Simplifica y, si se pide, evalúa en el punto.

Métodos numéricos

Bisección: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolación lineal: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Regla del trapecio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regla de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Cota del error del trapecio: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Método

Para una raíz: comprueba el cambio de signo en la bisección, o calcula f y f′ en Newton, y conserva seis o más cifras en una tabla de iteraciones.
Para un valor de una tabla: interpola linealmente entre los dos puntos vecinos.
Para una integral: halla h = (b − a)/n, lista f en cada nodo, aplica los pesos (1, 2, …, 2, 1 para el trapecio; 1, 4, 2, …, 4, 1 para Simpson con n par) y multiplica por h/2 o h/3.
Para una EDO: avanza desde t₀ con yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) o con la pendiente promediada (Heun), una fila por paso, hasta llegar al t pedido.

2Problemas de práctica

1.Ecuaciones diferencialesMedia

Resuelve y″ + 5y′ + 6y = 0 con y(0) = 4 e y′(0) = -4. Halla y(1,5).

y″ + 5y′ + 6y = 0y(0) = 4y′(0) = -4

y(1.5) =

2.Ecuaciones diferencialesDifícil

Un sistema obedece y″ + 3y′ + 11,25y = 56,25 para t ≥ 0, partiendo del reposo: y(0) = 0, y′(0) = 0. Halla y(1,5); ángulos en radianes.

y″ + 3y′ + 11,25y = 56,25y(0) = 0y′(0) = 0

y(1.5) =

3.IntegralesMedia

Calcula I = ∫₁³ 4/x dx.

f(x) = 4/x[1, 3]

I =

4.IntegralesDifícil

Calcula el área A de la región encerrada entre y = 2x² e y = x.

y = 2x²y = x

A =

5.DerivadasMedia

Sea f(x) = ln(x² + 2). Calcula f′(3).

f(x) = ln(x² + 2)x = 3

f′(3) =

6.DerivadasDifícil

La recta tangente a f(x) = x² + 4x − 2 en x = −1 corta el eje y en y = b. Calcula b.

f(x) = x² + 4x − 2x = −1

b =

7.Métodos numéricosMedia

Se usa la regla del trapecio para ∫₀¹ x³ dx. El error es como máximo (b − a)³·M/(12n²) con M = max|f″| en [0, 1]. Halla el menor número de franjas n que garantiza un error inferior a 0,0005.

f(x) = x³[a, b] = [0, 1]ε = 0,0005

n =

8.Métodos numéricosDifícil

Usa el método de Heun (Euler mejorado) con h = 0,2 para y′ = y − t², y(0) = 3 para estimar y₃ ≈ y(0,6).

y′ = y − t²y(0) = 3h = 0,2

y₃ =

3Disoluciones

1.Ecuaciones diferenciales

Respuesta: y(1.5) = 0,3539

Ecuaciones lineales de segundo orden: para y″ + b·y′ + c·y = 0 prueba y = e^rt: esto da la ecuación característica r² + b·r + c = 0. Dos raíces reales r₁ ≠ r₂ dan y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (sobreamortiguado); una raíz doble r da y = (A + Bt)·e^rt (amortiguamiento crítico); las raíces complejas −α ± jω dan y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (subamortiguado, oscilante). Los valores iniciales y(0) e y′(0) fijan A y B. Escrita como y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n es la frecuencia natural y ζ el factor de amortiguamiento: con ζ < 1 hay oscilación. Con una entrada constante, y″ + by′ + cy = c·K, la solución es el valor estacionario K más la respuesta libre.

Raíces características

(r + 2)(r + 3) = 0 → r = −2, −3

Constantes a partir de los valores iniciales

A + B = 4, −2A − 3B = -4

A = 8, B = −4

Evalúa

y(1,5) = 8·e⁻³ + (−4)·e^−4,5 = 0,3539

Respuesta

y(1,5) = 0,3539

2.Ecuaciones diferenciales

Respuesta: y(1.5) = 5,369

Valor estacionario y raíces

y_ss = 5, r = −1,5 ± 3j

Constantes a partir de los valores iniciales

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −1,5A + 3B = 0 → B = −2,5

Evalúa

y(1,5) = 5·(1 − e^−2,25(cos 4,5 + 0,5·sin 4,5)) = 5,369

Respuesta

y(1,5) = 5,369

3.Integrales

Respuesta: I = 4,394

Integrales definidas: ∫ₐᵇ f(x) dx es el área con signo entre la gráfica y el eje x de a a b. Busca una primitiva F (con F′ = f) y calcula F(b) − F(a). Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). El área entre dos curvas es ∫(superior − inferior) dx.

Primitiva

F(x) = 4·ln x

Evaluar en los límites

I = 4·(ln 3 − ln 1) = 4·ln 3 = 4,394

Respuesta

I = 4,394

4.Integrales

Respuesta: A = 0,04167

Puntos de corte

2x² = x → x = 0, x = 0,5

Integrar superior menos inferior

A = [0,5x² − 0,6667x³]₀^0,5 = 0,04167

Respuesta

A = 0,04167

5.Derivadas

Respuesta: f′(3) = 0,5455

Derivación: la derivada f′(x) es la pendiente de la gráfica en x. Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′. Regla de la cadena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Donde f′(x) = 0 la gráfica tiene tangente horizontal: un máximo, un mínimo o un punto de silla.

Regla de la cadena para el logaritmo

f′(x) = 2x/(x² + 2)

Sustituir

f′(3) = 6/11 = 0,5455

Respuesta

f′(3) = 0,5455

6.Derivadas

Respuesta: b = −3

Punto y pendiente

f(−1) = −5

f′(x) = 2x + 4 → f′(−1) = 2

Recta tangente en x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −5 − 2·(−1) = −3

Respuesta

b = −3

7.Métodos numéricos

Respuesta: n = 32

Integración numérica: divide [a, b] en n franjas de anchura h = (b − a)/n con nodos x₀ … xₙ. Regla del trapecio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regla de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. El error del trapecio disminuye como h² (cota (b − a)h²·M/12 con M = max|f″|) y el de Simpson como h⁴, así que Simpson suele ser mucho más preciso con los mismos nodos.

Cota de la segunda derivada

M = 6·1 = 6

Despejar n

n² > 1·6/(12·0,0005) = 1000

n > 31,62 → n = 32

Respuesta

n = 32

8.Métodos numéricos

Respuesta: y₃ = 5,361

Solución numérica de y′ = f(t, y): el método de Euler avanza según la pendiente al inicio de cada paso: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). El método de Heun (Euler mejorado) promedia la pendiente al inicio y en una predicción de Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). El método clásico de Runge–Kutta (RK4) combina cuatro pendientes: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). El error global de Euler es proporcional a h, el de Heun a h² y el de RK4 a h⁴.

Pasos de Heun

y₁ = 3 + (0,2/2)(3 + 3,56) = 3,656

y₂ = 3,656 + (0,2/2)(3,616 + 4,2192) = 4,43952

y₃ = 4,43952 + (0,2/2)(4,27952 + 4,935424) = 5,361014

Gráfico

y₃ = 5,361

Respuesta

y₃ = 5,361

El valor exacto es y(0,6) = 5,382119.

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