Ecuaciones diferenciales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Ecuaciones diferenciales

Crecimiento/decrecimiento exponencial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Periodo de semidesintegración: k = ln 2 / t_½
Ley de enfriamiento de Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Factor integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Depósito de mezcla: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrales

Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrales habituales: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescribe el integrando como suma de términos sencillos siempre que puedas.
Aplica la regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), y las integrales inmediatas de e^x, 1/x, sin y cos.
Usa un cambio de variable cuando veas una función junto con su derivada.
En una integral definida, calcula F(b) − F(a).

Derivadas

Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′
Regla del cociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regla de la cadena: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas habituales: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Método

Identifica la estructura: suma, producto, cociente o composición.
Aplica la regla de la potencia a cada potencia de x.
Usa la regla del producto, del cociente o de la cadena donde haga falta.
Simplifica y, si se pide, evalúa en el punto.

Métodos numéricos

Bisección: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolación lineal: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Regla del trapecio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regla de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Cota del error del trapecio: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Método

Para una raíz: comprueba el cambio de signo en la bisección, o calcula f y f′ en Newton, y conserva seis o más cifras en una tabla de iteraciones.
Para un valor de una tabla: interpola linealmente entre los dos puntos vecinos.
Para una integral: halla h = (b − a)/n, lista f en cada nodo, aplica los pesos (1, 2, …, 2, 1 para el trapecio; 1, 4, 2, …, 4, 1 para Simpson con n par) y multiplica por h/2 o h/3.
Para una EDO: avanza desde t₀ con yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) o con la pendiente promediada (Heun), una fila por paso, hasta llegar al t pedido.

2Problemas de práctica

1.Ecuaciones diferencialesMedia

Una pieza de acero forjado a 460 °C se deja enfriar en un taller a 30 °C. Sigue la ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Con k = 0,03 min⁻¹, halla su temperatura T al cabo de 56 min.

T₀ = 460 °CT_a = 30 °Ck = 0,03 min⁻¹t = 56 min

T = °C

2.Ecuaciones diferencialesDifícil

Un depósito contiene 100 L de agua pura. Entra salmuera con 0,25 kg de sal por litro a 2 L/min, y la disolución bien mezclada sale al mismo caudal. ¿Cuánta sal m hay en el depósito al cabo de 60 min?

V = 100 Lm₀ = 0 kgc = 0,25 kg/Lr = 2 L/min

m = kg

3.IntegralesMedia

Calcula I = ∫₁² x·ln x dx.

∫₁² x ln x dx

I =

4.IntegralesDifícil

Calcula el área A de la región entre la parábola y = 4 − x² y el eje x.

y = 4 − x²

A =

5.DerivadasMedia

Sea f(x) = ln(x² + 5). Calcula f′(2).

f(x) = ln(x² + 5)x = 2

f′(2) =

6.DerivadasDifícil

La recta tangente a f(x) = 0,5x² − 3x + 5 en x = 1 corta el eje y en y = b. Calcula b.

f(x) = 0,5x² − 3x + 5x = 1

b =

7.Métodos numéricosMedia

Aproxima ∫₀¹ eˣ dx con la regla de Simpson, n = 2, y compárala con el valor exacto. Halla el error absoluto |E| = |S − I|.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]n = 2

|E| =

8.Métodos numéricosDifícil

Da un paso del método clásico de Runge–Kutta (RK4) con h = 0,5 para y′ = cos t − y, y(0) = −1. Halla y₁ ≈ y(0,5).

y′ = cos t − yy(0) = −1h = 0,5

y₁ =

3Disoluciones

1.Ecuaciones diferenciales

Respuesta: T = 110,1 °C

Ecuaciones diferenciales de primer orden: dy/dt = k·y tiene la solución y = y₀·e^kt (crecimiento para k > 0, decrecimiento para k < 0); un periodo de semidesintegración T da k = ln 2/T. La ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), da T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Una ecuación lineal y′ + p(x)·y = q(x) se resuelve con el factor integrante μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, así que μy = ∫μq dx + C.

Solución de la ley de enfriamiento

T(t) = 30 + 430·e^−0,03t

Sustituye t

T(56) = 30 + 430·0,1864 = 110,1 °C

Respuesta

T = 110,1 °C

2.Ecuaciones diferenciales

Respuesta: m = 17,47 kg

Plantea la ecuación

dm/dt = 2·0,25 − (2/100)·m = 0,5 − 0,02·m

Resuelve

El factor integrante es e^rt/V; la solución tiende al equilibrio c·V.

m(t) = 25 + (−25)·e^−t/50

Sustituye t

m(60) = 25 + (−25)·0,3012 = 17,47 kg

Respuesta

m = 17,47 kg

3.Integrales

Respuesta: I = 0,6363

Integración por partes: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, a partir de la regla del producto. Elige como u el factor que se simplifica al derivarlo (una potencia de x, o ln x), y como dv el factor que sabes integrar (eˣ, sin x, cos x, o x cuando u = ln x). En una integral definida, evalúa u·v en ambos límites: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Un factor x² necesita dos vueltas.

Elige u y dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Primitiva

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Límites

(2·ln 2 − 1) − (0 − 0,25) = 0,6363

Respuesta

I = 0,6363

4.Integrales

Respuesta: A = 10,67

Integrales definidas: ∫ₐᵇ f(x) dx es el área con signo entre la gráfica y el eje x de a a b. Busca una primitiva F (con F′ = f) y calcula F(b) − F(a). Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). El área entre dos curvas es ∫(superior − inferior) dx.

Ceros

4 − x² = 0 → x = ±2

Integrar

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Respuesta

A = 10,67

5.Derivadas

Respuesta: f′(2) = 0,4444

Derivación: la derivada f′(x) es la pendiente de la gráfica en x. Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′. Regla de la cadena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Donde f′(x) = 0 la gráfica tiene tangente horizontal: un máximo, un mínimo o un punto de silla.

Regla de la cadena para el logaritmo

f′(x) = 2x/(x² + 5)

Sustituir

f′(2) = 4/9 = 0,4444

Respuesta

f′(2) = 0,4444

6.Derivadas

Respuesta: b = 4,5

Punto y pendiente

f(1) = 2,5

f′(x) = x − 3 → f′(1) = −2

Recta tangente en x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 2,5 − (−2)·1 = 4,5

Respuesta

b = 4,5

7.Métodos numéricos

Respuesta: |E| = 0,0005793

Integración numérica: divide [a, b] en n franjas de anchura h = (b − a)/n con nodos x₀ … xₙ. Regla del trapecio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regla de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. El error del trapecio disminuye como h² (cota (b − a)h²·M/12 con M = max|f″|) y el de Simpson como h⁴, así que Simpson suele ser mucho más preciso con los mismos nodos.

Valor exacto

I = 1,718282

Regla de Simpson

S = (0,5/3)·(1 + 4·1,648721 + 2,718282) = 1,718861

Error

|E| = |1,718861 − 1,718282| = 0,0005793

Respuesta

|E| = 0,0005793

Error relativo: 0,03372 %.

8.Métodos numéricos

Respuesta: y₁ = −0,2318

Solución numérica de y′ = f(t, y): el método de Euler avanza según la pendiente al inicio de cada paso: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). El método de Heun (Euler mejorado) promedia la pendiente al inicio y en una predicción de Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). El método clásico de Runge–Kutta (RK4) combina cuatro pendientes: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). El error global de Euler es proporcional a h, el de Heun a h² y el de RK4 a h⁴.

Cuatro pendientes

k₁ = f(0, −1) = 2

k₂ = f(0,25, −0,5) = 1,468912

k₃ = f(0,25, −0,632772) = 1,601684

k₄ = f(0,5, −0,199158) = 1,07674

Combina

y₁ = −1 + (0,5/6)(2 + 2·1,468912 + 2·1,601684 + 1,07674) = −0,2318

Respuesta

y₁ = −0,2318

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