Ecuaciones diferenciales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Ecuaciones diferenciales

Crecimiento/decrecimiento exponencial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Periodo de semidesintegración: k = ln 2 / t_½
Ley de enfriamiento de Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Factor integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Depósito de mezcla: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrales

Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrales habituales: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescribe el integrando como suma de términos sencillos siempre que puedas.
Aplica la regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), y las integrales inmediatas de e^x, 1/x, sin y cos.
Usa un cambio de variable cuando veas una función junto con su derivada.
En una integral definida, calcula F(b) − F(a).

Derivadas

Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′
Regla del cociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regla de la cadena: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas habituales: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Método

Identifica la estructura: suma, producto, cociente o composición.
Aplica la regla de la potencia a cada potencia de x.
Usa la regla del producto, del cociente o de la cadena donde haga falta.
Simplifica y, si se pide, evalúa en el punto.

Métodos numéricos

Bisección: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolación lineal: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Regla del trapecio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regla de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Cota del error del trapecio: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Método

Para una raíz: comprueba el cambio de signo en la bisección, o calcula f y f′ en Newton, y conserva seis o más cifras en una tabla de iteraciones.
Para un valor de una tabla: interpola linealmente entre los dos puntos vecinos.
Para una integral: halla h = (b − a)/n, lista f en cada nodo, aplica los pesos (1, 2, …, 2, 1 para el trapecio; 1, 4, 2, …, 4, 1 para Simpson con n par) y multiplica por h/2 o h/3.
Para una EDO: avanza desde t₀ con yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) o con la pendiente promediada (Heun), una fila por paso, hasta llegar al t pedido.

2Problemas de práctica

1.Ecuaciones diferencialesMedia

Una pieza de acero forjado a 300 °C se deja enfriar en un taller a 30 °C. Al cabo de 55 min su temperatura es 186 °C. Sigue la ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Halla la constante k en min⁻¹.

T₀ = 300 °CT_a = 30 °CT(55) = 186 °C

k = min⁻¹

2.Ecuaciones diferencialesDifícil

Un depósito contiene 200 L de agua en la que hay disueltos 10 kg de sal. Entra salmuera con 0,1 kg de sal por litro a 5 L/min, y la disolución bien mezclada sale al mismo caudal. ¿Cuánta sal m hay en el depósito al cabo de 55 min?

V = 200 Lm₀ = 10 kgc = 0,1 kg/Lr = 5 L/min

m = kg

3.IntegralesMedia

Calcula I = ∫₀^π/2 x·cos x dx (x en radianes).

∫₀^π/2 x·cos x dx

I =

4.IntegralesDifícil

Calcula el área A de la región entre la parábola y = 4 − x² y el eje x.

y = 4 − x²

A =

5.DerivadasMedia

Sea f(x) = x·sin(3x), con x en radianes. Calcula f′(0,5).

f(x) = x·sin(3x)x = 0,5 rad

f′(0.5) =

6.DerivadasDifícil

La recta tangente a f(x) = x² − 3 en x = 1 corta el eje y en y = b. Calcula b.

f(x) = x² − 3x = 1

b =

7.Métodos numéricosMedia

Aproxima ∫₀² sin x dx con la regla del trapecio, n = 2, y compárala con el valor exacto. Halla el error absoluto |E| = |T − I|.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]n = 2

|E| =

8.Métodos numéricosDifícil

Usa el método de Euler con h = 0,1 para y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0 para estimar y₃ ≈ y(0,3).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0h = 0,1

y₃ =

3Disoluciones

1.Ecuaciones diferenciales

Respuesta: k = 0,009974 min⁻¹

Ecuaciones diferenciales de primer orden: dy/dt = k·y tiene la solución y = y₀·e^kt (crecimiento para k > 0, decrecimiento para k < 0); un periodo de semidesintegración T da k = ln 2/T. La ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), da T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Una ecuación lineal y′ + p(x)·y = q(x) se resuelve con el factor integrante μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, así que μy = ∫μq dx + C.

Cociente de diferencias de temperatura

e^−55k = 156/270

Despeja k

k = ln(270/156)/55 = 0,009974 min⁻¹

Respuesta

k = 0,009974 min⁻¹

2.Ecuaciones diferenciales

Respuesta: m = 17,47 kg

Plantea la ecuación

dm/dt = 5·0,1 − (5/200)·m = 0,5 − 0,025·m

Resuelve

El factor integrante es e^rt/V; la solución tiende al equilibrio c·V.

m(t) = 20 + (−10)·e^−t/40

Sustituye t

m(55) = 20 + (−10)·0,2528 = 17,47 kg

Respuesta

m = 17,47 kg

3.Integrales

Respuesta: I = 0,5708

Integración por partes: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, a partir de la regla del producto. Elige como u el factor que se simplifica al derivarlo (una potencia de x, o ln x), y como dv el factor que sabes integrar (eˣ, sin x, cos x, o x cuando u = ln x). En una integral definida, evalúa u·v en ambos límites: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Un factor x² necesita dos vueltas.

Elige u y dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Primitiva

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Límites

(π/2·sin π/2 + cos π/2) − (0 + 1) = 0,5708

Respuesta

I = 0,5708

4.Integrales

Respuesta: A = 10,67

Integrales definidas: ∫ₐᵇ f(x) dx es el área con signo entre la gráfica y el eje x de a a b. Busca una primitiva F (con F′ = f) y calcula F(b) − F(a). Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). El área entre dos curvas es ∫(superior − inferior) dx.

Ceros

4 − x² = 0 → x = ±2

Integrar

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Respuesta

A = 10,67

5.Derivadas

Respuesta: f′(0.5) = 1,104

Derivación: la derivada f′(x) es la pendiente de la gráfica en x. Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′. Regla de la cadena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Donde f′(x) = 0 la gráfica tiene tangente horizontal: un máximo, un mínimo o un punto de silla.

Regla del producto y de la cadena

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Sustituir

f′(0,5) = 0,9975 + 1,5·0,07074 = 1,104

Respuesta

f′(0,5) = 1,104

6.Derivadas

Respuesta: b = −4

Punto y pendiente

f(1) = −2

f′(x) = 2x → f′(1) = 2

Recta tangente en x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −2 − 2·1 = −4

Respuesta

b = −4

7.Métodos numéricos

Respuesta: |E| = 0,12

Integración numérica: divide [a, b] en n franjas de anchura h = (b − a)/n con nodos x₀ … xₙ. Regla del trapecio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regla de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. El error del trapecio disminuye como h² (cota (b − a)h²·M/12 con M = max|f″|) y el de Simpson como h⁴, así que Simpson suele ser mucho más preciso con los mismos nodos.

Valor exacto

I = 1,416147

Regla del trapecio

T = (1/2)·(0 + 2·0,841471 + 0,909297) = 1,29612

Error

|E| = |1,29612 − 1,416147| = 0,12

Respuesta

|E| = 0,12

Error relativo: 8,476 %.

8.Métodos numéricos

Respuesta: y₃ = 0,305

Solución numérica de y′ = f(t, y): el método de Euler avanza según la pendiente al inicio de cada paso: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). El método de Heun (Euler mejorado) promedia la pendiente al inicio y en una predicción de Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). El método clásico de Runge–Kutta (RK4) combina cuatro pendientes: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). El error global de Euler es proporcional a h, el de Heun a h² y el de RK4 a h⁴.

Pasos de Euler

y₁ = 0 + 0,1·(1) = 0,1

y₂ = 0,1 + 0,1·(1,01) = 0,201

y₃ = 0,201 + 0,1·(1,040189) = 0,305019

Gráfico

y₃ = 0,305

Respuesta

y₃ = 0,305

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