Ecuaciones diferenciales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Ecuaciones diferenciales

Crecimiento/decrecimiento exponencial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Periodo de semidesintegración: k = ln 2 / t_½
Ley de enfriamiento de Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Factor integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Depósito de mezcla: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrales

Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrales habituales: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescribe el integrando como suma de términos sencillos siempre que puedas.
Aplica la regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), y las integrales inmediatas de e^x, 1/x, sin y cos.
Usa un cambio de variable cuando veas una función junto con su derivada.
En una integral definida, calcula F(b) − F(a).

Derivadas

Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′
Regla del cociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regla de la cadena: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas habituales: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Método

Identifica la estructura: suma, producto, cociente o composición.
Aplica la regla de la potencia a cada potencia de x.
Usa la regla del producto, del cociente o de la cadena donde haga falta.
Simplifica y, si se pide, evalúa en el punto.

Métodos numéricos

Bisección: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolación lineal: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Regla del trapecio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regla de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Cota del error del trapecio: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Método

Para una raíz: comprueba el cambio de signo en la bisección, o calcula f y f′ en Newton, y conserva seis o más cifras en una tabla de iteraciones.
Para un valor de una tabla: interpola linealmente entre los dos puntos vecinos.
Para una integral: halla h = (b − a)/n, lista f en cada nodo, aplica los pesos (1, 2, …, 2, 1 para el trapecio; 1, 4, 2, …, 4, 1 para Simpson con n par) y multiplica por h/2 o h/3.
Para una EDO: avanza desde t₀ con yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) o con la pendiente promediada (Heun), una fila por paso, hasta llegar al t pedido.

2Problemas de práctica

1.Ecuaciones diferencialesMedia

Una lata de refresco a 5 °C se saca del frigorífico a una habitación a 28 °C. Al cabo de 16 min su temperatura es 16 °C. Sigue la ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Halla la constante k en min⁻¹.

T₀ = 5 °CT_a = 28 °CT(16) = 16 °C

k = min⁻¹

2.Ecuaciones diferencialesDifícil

Resuelve el problema de valor inicial y′ + 2y/x = 4x² para x > 0, con y(1) = 1. Halla y(2).

y′ + 2y/x = 4x²y(1) = 1

y(2) =

3.IntegralesMedia

Calcula I = ∫₁^1,5 x·ln x dx.

∫₁^1,5 x ln x dx

I =

4.IntegralesDifícil

Calcula I = ∫₀^1,5 x²·eˣ dx.

∫₀^1,5 x²eˣ dx

I =

5.DerivadasMedia

Sea f(x) = x·sin(2x), con x en radianes. Calcula f′(0,5).

f(x) = x·sin(2x)x = 0,5 rad

f′(0.5) =

6.DerivadasDifícil

La recta tangente a f(x) = x² − 4x − 6 en x = −1 corta el eje y en y = b. Calcula b.

f(x) = x² − 4x − 6x = −1

b =

7.Métodos numéricosMedia

Aproxima ∫₀¹ x³ dx con la regla del trapecio, n = 2, y compárala con el valor exacto. Halla el error absoluto |E| = |T − I|.

f(x) = x³[a, b] = [0, 1]n = 2

|E| =

8.Métodos numéricosDifícil

Resuelve y′ = −2ty, y(0) = 3 con el método de Euler y paso h = 0,2 hasta t = 0,8. La solución exacta es y = y₀e^−t². Halla el error global |E| = |y(0,8) − y₄|.

y′ = −2tyy(0) = 3h = 0,2

|E| =

3Disoluciones

1.Ecuaciones diferenciales

Respuesta: k = 0,04066 min⁻¹

Ecuaciones diferenciales de primer orden: dy/dt = k·y tiene la solución y = y₀·e^kt (crecimiento para k > 0, decrecimiento para k < 0); un periodo de semidesintegración T da k = ln 2/T. La ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), da T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Una ecuación lineal y′ + p(x)·y = q(x) se resuelve con el factor integrante μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, así que μy = ∫μq dx + C.

Cociente de diferencias de temperatura

e^−16k = -12/-23

Despeja k

k = ln(-23/-12)/16 = 0,04066 min⁻¹

Respuesta

k = 0,04066 min⁻¹

2.Ecuaciones diferenciales

Respuesta: y(2) = 6,45

Factor integrante

μ = e^{∫2/x dx} = x²

Integrar

(x²y)′ = 4x⁴ → x²y = 4x⁵/5 + C

Condición inicial

1 = 4/5 + C → C = 0,2

Evalúa

y(2) = (4·2⁵/5 + 0,2)/2² = 6,45

Respuesta

y(2) = 6,45

3.Integrales

Respuesta: I = 0,1436

Integración por partes: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, a partir de la regla del producto. Elige como u el factor que se simplifica al derivarlo (una potencia de x, o ln x), y como dv el factor que sabes integrar (eˣ, sin x, cos x, o x cuando u = ln x). En una integral definida, evalúa u·v en ambos límites: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Un factor x² necesita dos vueltas.

Elige u y dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Primitiva

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Límites

(1,125·ln 1,5 − 0,5625) − (0 − 0,25) = 0,1436

Respuesta

I = 0,1436

4.Integrales

Respuesta: I = 3,602

Primera vuelta

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Segunda vuelta

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Límites

4,482·(1,25) − 1·2 = 3,602

Respuesta

I = 3,602

5.Derivadas

Respuesta: f′(0.5) = 1,382

Derivación: la derivada f′(x) es la pendiente de la gráfica en x. Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′. Regla de la cadena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Donde f′(x) = 0 la gráfica tiene tangente horizontal: un máximo, un mínimo o un punto de silla.

Regla del producto y de la cadena

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Sustituir

f′(0,5) = 0,8415 + 1·0,5403 = 1,382

Respuesta

f′(0,5) = 1,382

6.Derivadas

Respuesta: b = −7

Punto y pendiente

f(−1) = −1

f′(x) = 2x − 4 → f′(−1) = −6

Recta tangente en x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −1 − (−6)·(−1) = −7

Respuesta

b = −7

7.Métodos numéricos

Respuesta: |E| = 0,0625

Integración numérica: divide [a, b] en n franjas de anchura h = (b − a)/n con nodos x₀ … xₙ. Regla del trapecio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regla de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. El error del trapecio disminuye como h² (cota (b − a)h²·M/12 con M = max|f″|) y el de Simpson como h⁴, así que Simpson suele ser mucho más preciso con los mismos nodos.

Valor exacto

I = 0,25

Regla del trapecio

T = (0,5/2)·(0 + 2·0,125 + 1) = 0,3125

Error

|E| = |0,3125 − 0,25| = 0,0625

Respuesta

|E| = 0,0625

Error relativo: 25 %.

8.Métodos numéricos

Respuesta: |E| = 0,1801

Solución numérica de y′ = f(t, y): el método de Euler avanza según la pendiente al inicio de cada paso: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). El método de Heun (Euler mejorado) promedia la pendiente al inicio y en una predicción de Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). El método clásico de Runge–Kutta (RK4) combina cuatro pendientes: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). El error global de Euler es proporcional a h, el de Heun a h² y el de RK4 a h⁴.

Pasos de Euler

y₄ = 1,761984

Valor exacto

y(0,8) = 1,581877

Error global

|E| = |1,581877 − 1,761984| = 0,1801

Gráfico

Respuesta

|E| = 0,1801

Reducir h a la mitad reduce aproximadamente a la mitad el error del método de Euler.

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