Ecuaciones diferenciales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Ecuaciones diferenciales

Crecimiento/decrecimiento exponencial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Periodo de semidesintegración: k = ln 2 / t_½
Ley de enfriamiento de Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Factor integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Depósito de mezcla: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrales

Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrales habituales: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescribe el integrando como suma de términos sencillos siempre que puedas.
Aplica la regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), y las integrales inmediatas de e^x, 1/x, sin y cos.
Usa un cambio de variable cuando veas una función junto con su derivada.
En una integral definida, calcula F(b) − F(a).

Derivadas

Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′
Regla del cociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regla de la cadena: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas habituales: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Método

Identifica la estructura: suma, producto, cociente o composición.
Aplica la regla de la potencia a cada potencia de x.
Usa la regla del producto, del cociente o de la cadena donde haga falta.
Simplifica y, si se pide, evalúa en el punto.

Métodos numéricos

Bisección: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolación lineal: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Regla del trapecio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regla de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Cota del error del trapecio: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Método

Para una raíz: comprueba el cambio de signo en la bisección, o calcula f y f′ en Newton, y conserva seis o más cifras en una tabla de iteraciones.
Para un valor de una tabla: interpola linealmente entre los dos puntos vecinos.
Para una integral: halla h = (b − a)/n, lista f en cada nodo, aplica los pesos (1, 2, …, 2, 1 para el trapecio; 1, 4, 2, …, 4, 1 para Simpson con n par) y multiplica por h/2 o h/3.
Para una EDO: avanza desde t₀ con yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) o con la pendiente promediada (Heun), una fila por paso, hasta llegar al t pedido.

2Problemas de práctica

1.Ecuaciones diferencialesMedia

Una pieza de acero forjado a 320 °C se deja enfriar en un taller a 24 °C. Al cabo de 41 min su temperatura es 220 °C. Sigue la ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). ¿Cuánto tiempo después del inicio, t, tarda en alcanzar 122 °C?

T₀ = 320 °CT_a = 24 °CT(41) = 220 °CT = 122 °C

t = min

2.Ecuaciones diferencialesDifícil

Un depósito contiene 400 L de agua pura. Entra salmuera con 0,25 kg de sal por litro a 5 L/min, y la disolución bien mezclada sale al mismo caudal. ¿Al cabo de cuántos minutos t contiene el depósito 70 kg de sal?

V = 400 Lm₀ = 0 kgc = 0,25 kg/Lr = 5 L/min

t = min

3.IntegralesMedia

Calcula I = ∫₀^π/3 x·sin x dx (x en radianes).

∫₀^π/3 x·sin x dx

I =

4.IntegralesDifícil

Calcula I = ∫₀¹ x²·eˣ dx.

∫₀¹ x²eˣ dx

I =

5.DerivadasMedia

Sea f(x) = x²·e^0,5x. Calcula f′(2).

f(x) = x²·e^0,5xx = 2

f′(2) =

6.DerivadasDifícil

La recta tangente a f(x) = 0,5x² − 3x − 1 en x = −1 corta el eje y en y = b. Calcula b.

f(x) = 0,5x² − 3x − 1x = −1

b =

7.Métodos numéricosMedia

Aproxima ∫₀^1,5 √(1 + x³) dx con la regla de Simpson usando n = 4 franjas. Da S.

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 4

S =

8.Métodos numéricosDifícil

Da un paso del método clásico de Runge–Kutta (RK4) con h = 0,5 para y′ = e^−ty, y(0) = 0. Halla y₁ ≈ y(0,5).

y′ = e^−tyy(0) = 0h = 0,5

y₁ =

3Disoluciones

1.Ecuaciones diferenciales

Respuesta: t = 109,9 min

Ecuaciones diferenciales de primer orden: dy/dt = k·y tiene la solución y = y₀·e^kt (crecimiento para k > 0, decrecimiento para k < 0); un periodo de semidesintegración T da k = ln 2/T. La ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), da T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Una ecuación lineal y′ + p(x)·y = q(x) se resuelve con el factor integrante μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, así que μy = ∫μq dx + C.

Constante de enfriamiento

k = ln(296/196)/41 = 0,01005 min⁻¹

Tiempo hasta alcanzar el objetivo

t = ln(296/98)/0,01005 = 109,9 min

Respuesta

t = 109,9 min

2.Ecuaciones diferenciales

Respuesta: t = 96,32 min

Resultado

m(t) = 100 + (−100)·e^−t/80

Despeja t

e^−t/80 = (100 − 70)/(100 − 0) = 0,3

t = 80·ln(3,333) = 96,32 min

Respuesta

t = 96,32 min

3.Integrales

Respuesta: I = 0,3424

Integración por partes: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, a partir de la regla del producto. Elige como u el factor que se simplifica al derivarlo (una potencia de x, o ln x), y como dv el factor que sabes integrar (eˣ, sin x, cos x, o x cuando u = ln x). En una integral definida, evalúa u·v en ambos límites: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Un factor x² necesita dos vueltas.

Elige u y dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Primitiva

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Límites

(−π/3·cos π/3 + sin π/3) − (0 + 0) = 0,3424

Respuesta

I = 0,3424

4.Integrales

Respuesta: I = 0,7183

Primera vuelta

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Segunda vuelta

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Límites

2,718·(1) − 1·2 = 0,7183

Respuesta

I = 0,7183

5.Derivadas

Respuesta: f′(2) = 16,31

Derivación: la derivada f′(x) es la pendiente de la gráfica en x. Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′. Regla de la cadena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Donde f′(x) = 0 la gráfica tiene tangente horizontal: un máximo, un mínimo o un punto de silla.

Regla del producto

f′(x) = u′v + uv′ = e^0,5x·(2x + 0,5·x²)

Sustituir

f′(2) = 2,718·(4 + 2) = 16,31

Respuesta

f′(2) = 16,31

6.Derivadas

Respuesta: b = −1,5

Punto y pendiente

f(−1) = 2,5

f′(x) = x − 3 → f′(−1) = −4

Recta tangente en x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 2,5 − (−4)·(−1) = −1,5

Respuesta

b = −1,5

7.Métodos numéricos

Respuesta: S = 1,976

Integración numérica: divide [a, b] en n franjas de anchura h = (b − a)/n con nodos x₀ … xₙ. Regla del trapecio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regla de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. El error del trapecio disminuye como h² (cota (b − a)h²·M/12 con M = max|f″|) y el de Simpson como h⁴, así que Simpson suele ser mucho más preciso con los mismos nodos.

Nodos y valores

h = 0,375

Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·1,026028 + 2·1,192424 + 4·1,556865 + 2,09165 = 15,808071

Regla de Simpson

S = (0,375/3)·15,808071 = 1,976

Respuesta

S = 1,976

Esta integral no tiene primitiva elemental, que es justo cuando hace falta una regla numérica.

8.Métodos numéricos

Respuesta: y₁ = 0,4629

Solución numérica de y′ = f(t, y): el método de Euler avanza según la pendiente al inicio de cada paso: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). El método de Heun (Euler mejorado) promedia la pendiente al inicio y en una predicción de Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). El método clásico de Runge–Kutta (RK4) combina cuatro pendientes: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). El error global de Euler es proporcional a h, el de Heun a h² y el de RK4 a h⁴.

Cuatro pendientes

k₁ = f(0, 0) = 1

k₂ = f(0,25, 0,25) = 0,939413

k₃ = f(0,25, 0,234853) = 0,942977

k₄ = f(0,5, 0,471489) = 0,789983

Combina

y₁ = 0 + (0,5/6)(1 + 2·0,939413 + 2·0,942977 + 0,789983) = 0,4629

Respuesta

y₁ = 0,4629

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