Electrónica digital: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Sistemas de numeración

Valores posicionales: binario 2^k, octal 8^k, hexadecimal 16^k
A decimal: Σ d_k·b^k
Desde decimal: divide entre la base y lee los restos de abajo arriba
Hexadecimal ↔ binario: un dígito hexadecimal = 4 bits
Complemento a dos: invierte los bits y suma 1

Lógica digital: puertas, mapas K y biestables

Puertas básicas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Reglas de Boole: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Orden del mapa de Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Grupo de 2ᵏ celdas: pierde k variables
Multiplexor de 4 a 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Biestables: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Contadores: n bits: 2ⁿ estados; módulo N: el menor n con 2ⁿ ≥ N; f_sal = f_clk/N
Contador asíncrono: f_max = 1/(n·t_pd)
Contadores en anillo y Johnson: n y 2n estados

Método

En un circuito, trabaja desde las entradas hasta la salida puerta por puerta y escribe el valor en cada hilo, o escribe su expresión y rellena la tabla de verdad.
Para simplificar, coloca los 1 (y las indiferencias como X) en un mapa de Karnaugh con filas y columnas en código Gray: 00, 01, 11, 10.
Cubre los 1 con los menos grupos posibles y lo más grandes posible, de 1, 2, 4, 8 o 16 celdas, envolviendo los bordes; cada grupo es un término producto formado por las variables que permanecen constantes. Agrupa los 0 para la forma POS.
En biestables y contadores, lee las entradas en cada flanco activo del reloj, anota el estado tras cada flanco y recuerda que un contador de n bits da la vuelta tras 2ⁿ estados.

Adquisición de datos y muestreo

Criterio de Nyquist: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Frecuencia de aliasing: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Tamaño del paso: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Error de cuantización (redondeo): ±½ LSB
Código del ADC con truncamiento: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits para una resolución r: 2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, senoide a fondo de escala: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Tasa de datos: canales × f_s × N bit/s
ADC multiplexado: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baudios; 8N1 = 10 bits por byte; bytes/s = baudios/bits por trama
Divisor de la tasa de baudios: baud = f_clk/(16·D)

Método

Anota los datos: frecuencia de muestreo, frecuencias de la señal, número de bits, rango de entrada, tasa de baudios.
En las preguntas de muestreo, compara cada frecuencia con f_s/2; una frecuencia mayor aparece en f_a = |f − k·f_s|, con el múltiplo de f_s más cercano.
En las preguntas de resolución, halla 1 LSB = V_FSR/2ᴺ, o el menor N con 2ᴺ ≥ rango/resolución.
En las tasas de datos y los enlaces UART, cuenta todo lo que se envía: canales, muestras por segundo, bits o bytes completos por muestra, y los bits de inicio, paridad y parada de cada trama.

2Problemas de práctica

1.Sistemas de numeraciónMedia

Pon los bits para que almacenen −112 en complemento a dos de 8 bits. Leído como un número sin signo, ¿cuál es el valor U del patrón?

N = −1128 bit

U =

2.Sistemas de numeraciónDifícil

Un sistema debe dar a cada uno de 927 elementos su propio código binario de la misma longitud. ¿Cuál es el menor número de bits b necesario?

927

b = bit

3.Lógica digital: puertas, mapas K y biestablesMedia

Usa el mapa de Karnaugh para hallar la forma mínima de producto de sumas (POS) de F(A, B, C) = Σm(0, 3, 5). ¿Cuántos términos suma (factores), N, tiene?

F(A, B, C) = Σm(0, 3, 5)

N =

4.Lógica digital: puertas, mapas K y biestablesDifícil

Halla la forma SOP mínima de F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 3, 5, 7, 10, 12) + d(2, 6, 8), donde d marca las condiciones indiferentes. ¿Cuántos literales, L, contiene?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 3, 5, 7, 10, 12) + d(2, 6, 8)

L =

5.Adquisición de datos y muestreoMedia

Una onda senoidal de 5,5 kHz se muestrea a 5 kHz sin filtro antialiasing. ¿En qué frecuencia f_a aparece en las muestras? Dala en Hz.

f = 5,5 kHzf_s = 5 kHz

f_a = Hz

6.Adquisición de datos y muestreoDifícil

Una medición de audio necesita una relación señal/ruido de cuantización ideal de al menos 60 dB para una onda senoidal a fondo de escala. Halla el menor número de bits N del ADC.

SQNR ≥ 60 dB

N =

3Disoluciones

1.Sistemas de numeración

Respuesta: U = 144

Poner bits: cada bit vale una potencia de dos (128, 64, …, 1). Un dígito hexadecimal son exactamente cuatro bits, y en complemento a dos de 8 bits el bit de más a la izquierda vale −128. Las operaciones bit a bit actúan sobre cada posición de bit por separado.

Invertir y sumar uno

112 = 0111 0000

invertido: 1000 1111

+1 → 1001 0000

Leerlo sin signo

1001 0000₂ = 256 − 112 = 144

Respuesta

U = 144

2.Sistemas de numeración

Respuesta: b = 10 bit

Sistemas de numeración posicionales: cada dígito vale su valor por una potencia de la base. En binario las posiciones valen 1, 2, 4, 8, 16, …; en hexadecimal 1, 16, 256, …, con A–F para 10–15. En complemento a dos de 8 bits, el bit de la izquierda vale −128 en vez de +128; así se guardan los números negativos.

Potencias de dos

2⁹ = 512 < 927

2¹⁰ = 1024 ≥ 927

Respuesta

b = 10

3.Lógica digital: puertas, mapas K y biestables

Respuesta: N = 4

Mapas de Karnaugh: las celdas están ordenadas en código Gray (00, 01, 11, 10), por lo que las celdas vecinas, incluidas las que están a través de los bordes, difieren en exactamente una variable. Agrupa los 1 en rectángulos de 1, 2, 4, 8 o 16 celdas, lo más grandes y los menos posibles, hasta cubrir todos los 1. Cada grupo es un término producto: las variables que permanecen constantes dentro de él. Un grupo de 2ᵏ celdas pierde k variables. Las indiferencias (X) pueden usarse para agrandar grupos, pero nunca hace falta cubrirlas. Agrupar los 0 en su lugar da la forma POS mínima.

Agrupa los 0

Todo grupo es un rectángulo de 2ᵏ celdas; las celdas del borde son vecinas de las celdas del borde opuesto.

(B′ + C)

(A′ + C)

(A′ + B′)

(A + B + C′)

Forma POS mínima

F = (B′ + C)(A′ + C)(A′ + B′)(A + B + C′)

N = 4

Respuesta

N = 4

4.Lógica digital: puertas, mapas K y biestables

Respuesta: L = 7

Implicantes primos

Los grupos más grandes que se pueden formar con 1 y X.

B′D′, A′D, A′C, AC′D′, A′B′

Cobertura mínima

F = B′D′ + A′D + AC′D′

L = 7

Respuesta

L = 7

5.Adquisición de datos y muestreo

Respuesta: f_a = 500 Hz

Muestreo: un ADC mide la señal f_s veces por segundo. Según el teorema de Nyquist–Shannon, una frecuencia f se capta correctamente solo mientras f < f_s/2, la frecuencia de Nyquist (de plegamiento), por lo que la frecuencia de muestreo debe superar el doble de la frecuencia más alta de la señal. Una frecuencia mayor no se pierde: aparece como un alias en f_a = |f − k·f_s|, con el número entero k que lleva el resultado entre 0 y f_s/2. Las muestras no permiten distinguir ambas, así que un filtro antialiasing analógico debe eliminar todo lo que supera f_s/2 antes del ADC.

Frecuencia de Nyquist

f_s/2 = 2,5 kHz < f = 5,5 kHz

Múltiplo más cercano de la frecuencia de muestreo

k = round(5500/5000) = 1

Frecuencia de aliasing

f_a = |5500 − 1·5000| = 500 Hz

Respuesta

f_a = 500 Hz

La curva discontinua de la figura es el alias: pasa exactamente por las mismas muestras.

6.Adquisición de datos y muestreo

Respuesta: N = 10

Resolución del ADC: un convertidor de N bits divide su rango de fondo de escala V_FSR en 2ᴺ códigos, de 0 a 2ᴺ − 1. Un paso es 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: el cambio más pequeño que puede mostrar el convertidor. Un ADC con truncamiento da el código ⌊V_in/LSB⌋; un ADC con redondeo nunca se aparta más de ½ LSB del valor real, que es su error de cuantización. Cada bit adicional reduce a la mitad el LSB y suma unos 6 dB a la relación señal/ruido de cuantización ideal SQNR = 6,02·N + 1,76 dB para una senoide a fondo de escala. Para alcanzar una resolución r en un rango, elige el menor N con 2ᴺ ≥ rango/r.

Despeja N

N ≥ (60 − 1,76)/6,02 = 9,674

Redondear hacia arriba

N = 10

comprobación: 6,02·10 + 1,76 = 61,96 dB ≥ 60 dB

Respuesta

N = 10

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