Electrónica digital: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Sistemas de numeración

Valores posicionales: binario 2^k, octal 8^k, hexadecimal 16^k
A decimal: Σ d_k·b^k
Desde decimal: divide entre la base y lee los restos de abajo arriba
Hexadecimal ↔ binario: un dígito hexadecimal = 4 bits
Complemento a dos: invierte los bits y suma 1

Lógica digital: puertas, mapas K y biestables

Puertas básicas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Reglas de Boole: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Orden del mapa de Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Grupo de 2ᵏ celdas: pierde k variables
Multiplexor de 4 a 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Biestables: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Contadores: n bits: 2ⁿ estados; módulo N: el menor n con 2ⁿ ≥ N; f_sal = f_clk/N
Contador asíncrono: f_max = 1/(n·t_pd)
Contadores en anillo y Johnson: n y 2n estados

Método

En un circuito, trabaja desde las entradas hasta la salida puerta por puerta y escribe el valor en cada hilo, o escribe su expresión y rellena la tabla de verdad.
Para simplificar, coloca los 1 (y las indiferencias como X) en un mapa de Karnaugh con filas y columnas en código Gray: 00, 01, 11, 10.
Cubre los 1 con los menos grupos posibles y lo más grandes posible, de 1, 2, 4, 8 o 16 celdas, envolviendo los bordes; cada grupo es un término producto formado por las variables que permanecen constantes. Agrupa los 0 para la forma POS.
En biestables y contadores, lee las entradas en cada flanco activo del reloj, anota el estado tras cada flanco y recuerda que un contador de n bits da la vuelta tras 2ⁿ estados.

Adquisición de datos y muestreo

Criterio de Nyquist: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Frecuencia de aliasing: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Tamaño del paso: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Error de cuantización (redondeo): ±½ LSB
Código del ADC con truncamiento: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits para una resolución r: 2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, senoide a fondo de escala: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Tasa de datos: canales × f_s × N bit/s
ADC multiplexado: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baudios; 8N1 = 10 bits por byte; bytes/s = baudios/bits por trama
Divisor de la tasa de baudios: baud = f_clk/(16·D)

Método

Anota los datos: frecuencia de muestreo, frecuencias de la señal, número de bits, rango de entrada, tasa de baudios.
En las preguntas de muestreo, compara cada frecuencia con f_s/2; una frecuencia mayor aparece en f_a = |f − k·f_s|, con el múltiplo de f_s más cercano.
En las preguntas de resolución, halla 1 LSB = V_FSR/2ᴺ, o el menor N con 2ᴺ ≥ rango/resolución.
En las tasas de datos y los enlaces UART, cuenta todo lo que se envía: canales, muestras por segundo, bits o bytes completos por muestra, y los bits de inicio, paridad y parada de cada trama.

2Problemas de práctica

1.Sistemas de numeraciónMedia

Escribe −95 como patrón de 8 bits en complemento a dos. Lee el patrón como un número binario sin signo: ¿cuál es su valor U en decimal?

N = −958 bit

U =

2.Sistemas de numeraciónDifícil

Pon los bits al resultado de 8 bits de 1010 0010 XOR 1110 0100. ¿Cuál es el valor R del resultado en decimal?

1010 0010XOR1110 0100

R =

3.Lógica digital: puertas, mapas K y biestablesMedia

Usa el mapa de Karnaugh para hallar la forma mínima de suma de productos (SOP) de F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 4, 6, 9, 14). ¿Cuántos términos producto, N, tiene?

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 4, 6, 9, 14)

N =

4.Lógica digital: puertas, mapas K y biestablesDifícil

Para F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 8, 10, 15) + d(13, 14), donde d marca las condiciones indiferentes, halla el número N de implicantes primos esenciales.

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 8, 10, 15) + d(13, 14)

N =

5.Adquisición de datos y muestreoMedia

Una onda senoidal de 45 kHz se muestrea a 50 kHz sin filtro antialiasing. ¿En qué frecuencia f_a aparece en las muestras? Dala en kHz.

f = 45 kHzf_s = 50 kHz

f_a = kHz

6.Adquisición de datos y muestreoDifícil

Una onda cuadrada de 4,5 kHz se muestrea a 10 kHz sin filtro antialiasing. Una onda cuadrada contiene los armónicos impares 3f₁, 5f₁, 7f₁, … ¿En qué frecuencia f_a aparece su armónico 7f₁ en los datos muestreados? Dala en kHz.

f₁ = 4,5 kHzf_s = 10 kHzarmónico: 7f₁

f_a = kHz

3Disoluciones

1.Sistemas de numeración

Respuesta: U = 161

Sistemas de numeración posicionales: cada dígito vale su valor por una potencia de la base. En binario las posiciones valen 1, 2, 4, 8, 16, …; en hexadecimal 1, 16, 256, …, con A–F para 10–15. En complemento a dos de 8 bits, el bit de la izquierda vale −128 en vez de +128; así se guardan los números negativos.

Invertir y sumar uno

95 = 0101 1111

invertido: 1010 0000

+1 → 1010 0001

Leerlo sin signo

1010 0001₂ = 256 − 95 = 161

Respuesta

U = 161

2.Sistemas de numeración

Respuesta: R = 70

Poner bits: cada bit vale una potencia de dos (128, 64, …, 1). Un dígito hexadecimal son exactamente cuatro bits, y en complemento a dos de 8 bits el bit de más a la izquierda vale −128. Las operaciones bit a bit actúan sobre cada posición de bit por separado.

Bit a bit

XOR da 1 donde los dos bits son distintos.

1010 0010

XOR 1110 0100

= 0100 0110

Valor del resultado

0100 0110₂ = 70

Respuesta

R = 70

3.Lógica digital: puertas, mapas K y biestables

Respuesta: N = 4

Mapas de Karnaugh: las celdas están ordenadas en código Gray (00, 01, 11, 10), por lo que las celdas vecinas, incluidas las que están a través de los bordes, difieren en exactamente una variable. Agrupa los 1 en rectángulos de 1, 2, 4, 8 o 16 celdas, lo más grandes y los menos posibles, hasta cubrir todos los 1. Cada grupo es un término producto: las variables que permanecen constantes dentro de él. Un grupo de 2ᵏ celdas pierde k variables. Las indiferencias (X) pueden usarse para agrandar grupos, pero nunca hace falta cubrirlas. Agrupar los 0 en su lugar da la forma POS mínima.

Agrupa los 1

Todo grupo es un rectángulo de 2ᵏ celdas; las celdas del borde son vecinas de las celdas del borde opuesto.

B′C′D

BCD′

A′CD′

A′BD′

Forma SOP mínima

F = B′C′D + BCD′ + A′CD′ + A′BD′

N = 4

Respuesta

N = 4

4.Lógica digital: puertas, mapas K y biestables

Respuesta: N = 3

Implicantes primos

Los grupos más grandes que se pueden formar con 1 y X.

B′CD′, ACD′, AB′D′, ABD, ABC, A′B′C′D

Implicantes primos esenciales

B′CD′, AB′D′, A′B′C′D

N = 3

Respuesta

N = 3

5.Adquisición de datos y muestreo

Respuesta: f_a = 5 kHz

Muestreo: un ADC mide la señal f_s veces por segundo. Según el teorema de Nyquist–Shannon, una frecuencia f se capta correctamente solo mientras f < f_s/2, la frecuencia de Nyquist (de plegamiento), por lo que la frecuencia de muestreo debe superar el doble de la frecuencia más alta de la señal. Una frecuencia mayor no se pierde: aparece como un alias en f_a = |f − k·f_s|, con el número entero k que lleva el resultado entre 0 y f_s/2. Las muestras no permiten distinguir ambas, así que un filtro antialiasing analógico debe eliminar todo lo que supera f_s/2 antes del ADC.

Frecuencia de Nyquist

f_s/2 = 25 kHz < f = 45 kHz

Múltiplo más cercano de la frecuencia de muestreo

k = round(45/50) = 1

Frecuencia de aliasing

f_a = |45 − 1·50| = 5 kHz

Respuesta

f_a = 5 kHz

La curva discontinua de la figura es el alias: pasa exactamente por las mismas muestras.

6.Adquisición de datos y muestreo

Respuesta: f_a = 1,5 kHz

Frecuencia del armónico

7f₁ = 7·4,5 kHz = 31,5 kHz

Múltiplo más cercano de la frecuencia de muestreo

m = round(3,15) = 3

Frecuencia de aliasing

f_a = |31,5 − 3·10| = 1,5 kHz

Respuesta

f_a = 1,5 kHz

El alias cae dentro de la banda de la señal, donde ningún filtro digital puede eliminarlo. Solo ayuda un filtro analógico antes del ADC.

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