Electrónica digital: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Sistemas de numeración

Valores posicionales: binario 2^k, octal 8^k, hexadecimal 16^k
A decimal: Σ d_k·b^k
Desde decimal: divide entre la base y lee los restos de abajo arriba
Hexadecimal ↔ binario: un dígito hexadecimal = 4 bits
Complemento a dos: invierte los bits y suma 1

Lógica digital: puertas, mapas K y biestables

Puertas básicas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Reglas de Boole: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Orden del mapa de Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Grupo de 2ᵏ celdas: pierde k variables
Multiplexor de 4 a 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Biestables: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Contadores: n bits: 2ⁿ estados; módulo N: el menor n con 2ⁿ ≥ N; f_sal = f_clk/N
Contador asíncrono: f_max = 1/(n·t_pd)
Contadores en anillo y Johnson: n y 2n estados

Método

En un circuito, trabaja desde las entradas hasta la salida puerta por puerta y escribe el valor en cada hilo, o escribe su expresión y rellena la tabla de verdad.
Para simplificar, coloca los 1 (y las indiferencias como X) en un mapa de Karnaugh con filas y columnas en código Gray: 00, 01, 11, 10.
Cubre los 1 con los menos grupos posibles y lo más grandes posible, de 1, 2, 4, 8 o 16 celdas, envolviendo los bordes; cada grupo es un término producto formado por las variables que permanecen constantes. Agrupa los 0 para la forma POS.
En biestables y contadores, lee las entradas en cada flanco activo del reloj, anota el estado tras cada flanco y recuerda que un contador de n bits da la vuelta tras 2ⁿ estados.

Adquisición de datos y muestreo

Criterio de Nyquist: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Frecuencia de aliasing: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Tamaño del paso: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Error de cuantización (redondeo): ±½ LSB
Código del ADC con truncamiento: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits para una resolución r: 2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, senoide a fondo de escala: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Tasa de datos: canales × f_s × N bit/s
ADC multiplexado: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baudios; 8N1 = 10 bits por byte; bytes/s = baudios/bits por trama
Divisor de la tasa de baudios: baud = f_clk/(16·D)

Método

Anota los datos: frecuencia de muestreo, frecuencias de la señal, número de bits, rango de entrada, tasa de baudios.
En las preguntas de muestreo, compara cada frecuencia con f_s/2; una frecuencia mayor aparece en f_a = |f − k·f_s|, con el múltiplo de f_s más cercano.
En las preguntas de resolución, halla 1 LSB = V_FSR/2ᴺ, o el menor N con 2ᴺ ≥ rango/resolución.
En las tasas de datos y los enlaces UART, cuenta todo lo que se envía: canales, muestras por segundo, bits o bytes completos por muestra, y los bits de inicio, paridad y parada de cada trama.

2Problemas de práctica

1.Sistemas de numeraciónMedia

El patrón de 8 bits 1111 1011 guarda un entero con signo en complemento a dos. ¿Cuál es su valor N en decimal?

1111 10118 bit

N =

2.Sistemas de numeraciónDifícil

Pon los bits al resultado de 8 bits de 0001 0111 AND 0111 0110. ¿Cuál es el valor R del resultado en decimal?

0001 0111AND0111 0110

R =

3.Lógica digital: puertas, mapas K y biestablesMedia

Un multiplexor de 4 a 1 tiene sus entradas de selección S₁ = A y S₀ = B, y sus entradas de datos conectadas a I₀ = C′, I₁ = 0, I₂ = 0, I₃ = C′. ¿Para cuántas de las 8 combinaciones de A, B y C la salida es F = 1? Halla N.

I₀ = C′I₁ = 0I₂ = 0I₃ = C′

N =

4.Lógica digital: puertas, mapas K y biestablesDifícil

Un contador módulo 13 tiene que recorrer 13 estados distintos. ¿Cuál es el número mínimo de biestables, n, que necesita?

N = 13

n =

5.Adquisición de datos y muestreoMedia

Halla la relación señal/ruido de cuantización ideal SQNR de un ADC de 6 bits para una onda senoidal a fondo de escala.

N = 6

SQNR = dB

6.Adquisición de datos y muestreoDifícil

Un sensor de temperatura da 1 mV/°C (0 V a 0 °C). Su señal se amplifica 20 veces y se aplica a un ADC de 8 bits con un rango de 0 a 3,3 V (1 LSB = V_FSR/2ᴺ). Halla la variación de temperatura ΔT_LSB que corresponde a un LSB.

S = 1 mV/°CG = 20N = 8V_FSR = 3,3 V

ΔT_LSB = °C

3Disoluciones

1.Sistemas de numeración

Respuesta: N = −5

Sistemas de numeración posicionales: cada dígito vale su valor por una potencia de la base. En binario las posiciones valen 1, 2, 4, 8, 16, …; en hexadecimal 1, 16, 256, …, con A–F para 10–15. En complemento a dos de 8 bits, el bit de la izquierda vale −128 en vez de +128; así se guardan los números negativos.

Sumar los valores posicionales

Los demás bits conservan sus valores positivos normales.

−128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = −5

Respuesta

N = −5

2.Sistemas de numeración

Respuesta: R = 22

Poner bits: cada bit vale una potencia de dos (128, 64, …, 1). Un dígito hexadecimal son exactamente cuatro bits, y en complemento a dos de 8 bits el bit de más a la izquierda vale −128. Las operaciones bit a bit actúan sobre cada posición de bit por separado.

Bit a bit

AND da 1 solo donde ambos bits son 1.

0001 0111

AND 0111 0110

= 0001 0110

Valor del resultado

0001 0110₂ = 22

Respuesta

R = 22

3.Lógica digital: puertas, mapas K y biestables

Respuesta: N = 2

Multiplexor: un multiplexor de 2ⁿ a 1 pasa una de sus entradas de datos a la salida; las líneas de selección, leídas como un número binario, eligen cuál. En un MUX de 4 a 1 con selecciones S₁S₀ = AB, F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃. Conectar las entradas de datos a 0, 1, C o C′ hace que el MUX produzca cualquier función de A, B y C, lo que es una forma habitual de construir lógica con un solo chip.

Expresión de la salida

F = A′B′C′ + ABC′

Filas con F = 1

ABC = 000, 110

N = 2

Respuesta

N = 2

4.Lógica digital: puertas, mapas K y biestables

Respuesta: n = 4

Biestables y contadores: un biestable cambia solo en el flanco activo del reloj. D copia su entrada (Q⁺ = D); T conmuta cuando T = 1; JK mantiene con 00, pone a 0 con 01, pone a 1 con 10 y conmuta con 11. Un contador binario de n bits tiene 2ⁿ estados y cuenta módulo 2ⁿ; un contador módulo N cuenta 0, 1, …, N − 1 y vuelve a 0, y necesita el menor n con 2ⁿ ≥ N biestables. Cada etapa de un contador asíncrono divide la frecuencia a la mitad, así que la última salida de un contador módulo N funciona a f_clk/N. Un contador Johnson de n biestables tiene 2n estados y un contador en anillo, n.

Número de biestables

2ⁿ ≥ 13 → n = 4 (2⁴ = 16)

Respuesta

n = 4

5.Adquisición de datos y muestreo

Respuesta: SQNR = 37,88 dB

Resolución del ADC: un convertidor de N bits divide su rango de fondo de escala V_FSR en 2ᴺ códigos, de 0 a 2ᴺ − 1. Un paso es 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: el cambio más pequeño que puede mostrar el convertidor. Un ADC con truncamiento da el código ⌊V_in/LSB⌋; un ADC con redondeo nunca se aparta más de ½ LSB del valor real, que es su error de cuantización. Cada bit adicional reduce a la mitad el LSB y suma unos 6 dB a la relación señal/ruido de cuantización ideal SQNR = 6,02·N + 1,76 dB para una senoide a fondo de escala. Para alcanzar una resolución r en un rango, elige el menor N con 2ᴺ ≥ rango/r.

SQNR ideal

SQNR = 6,02·6 + 1,76 = 37,88 dB

Respuesta

SQNR = 37,88 dB

6.Adquisición de datos y muestreo

Respuesta: ΔT_LSB = 0,6445 °C

Tamaño del paso

1 LSB = 3300/256 = 12,89 mV

Sensibilidad en el ADC

1·20 = 20 mV/°C

Resolución de temperatura

ΔT_LSB = 12,89/20 = 0,6445 °C

Respuesta

ΔT_LSB = 0,6445 °C

El ADC alcanza el fondo de escala a 165 °C.

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