Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 20 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
Un avión necesita una velocidad de 240 km/h para despegar y la pista útil mide 1900 m. Partiendo del reposo, ¿qué aceleración constante a necesita?
Un tranvía parte del reposo y acelera a 2,5 m/s² durante 4 s, después circula a velocidad constante durante 17 s y por último frena a 3 m/s² hasta detenerse. Halla la distancia total s entre las dos paradas.
Una caja desliza por un suelo horizontal con una velocidad inicial de 8,5 m/s y se detiene tras 37 m. Usa g = 9,81 m/s². Halla el coeficiente de rozamiento dinámico μ.
Un bloque de 6,5 kg sobre una rampa de 30° está unido mediante un hilo ligero, que pasa por una polea sin rozamiento en lo alto de la rampa, a una masa colgante de 7 kg. La masa colgante baja. El coeficiente de rozamiento dinámico entre el bloque y la rampa es 0,2. Usa g = 9,81 m/s². Halla la tensión T de la cuerda.
Se lanza una pelota a 25° sobre la horizontal desde el suelo llano. Desprecia la resistencia del aire. Halla la distancia horizontal x recorrida antes de que la pelota toque el suelo.
Se lanza una pelota a 45° sobre la horizontal desde lo alto de un acantilado de 25 m. Desprecia la resistencia del aire. Halla el tiempo de vuelo t hasta que la pelota toca el suelo.
Un coche toma una curva plana de 60 m de radio. El coeficiente de rozamiento estático entre los neumáticos y la carretera es 0,7. Usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad máxima vmax a la que el coche puede tomar la curva sin derrapar.
Una vagoneta de 5 kg se suelta desde el reposo a una altura de 41,8 m sobre una pista sin rozamiento y recorre un rizo vertical de radio 9,5 m. Usa g = 9,81 m/s². Halla la fuerza normal Nbottom de la pista sobre la vagoneta en la parte inferior del rizo.
Un coche que circula a 80 km/h por una carretera horizontal frena bruscamente y derrapa hasta detenerse con las ruedas bloqueadas. El coeficiente de rozamiento dinámico entre neumáticos y carretera es 0,5. Halla la distancia de frenado d.
Se suelta desde el reposo un bloque de 10 kg a una altura de 4,5 m en una rampa lisa. Abajo cruza una franja horizontal rugosa de 4 m (μ = 0,25) y después choca contra un muelle (k = 2000 N/m) sobre una superficie lisa. Halla la velocidad v del bloque cuando llega al muelle.
Un deslizador de 1,5 kg que se mueve a 11 m/s choca frontalmente, de forma perfectamente elástica, con un deslizador de 2,5 kg en reposo sobre un carril sin rozamiento. Halla la velocidad v′1 del primer deslizador después del choque (positiva en su sentido inicial).
Un coche de 1000 kg choca con un coche aparcado de 1200 kg. Los restos quedan unidos y derrapan 11 m antes de detenerse. El coeficiente de rozamiento dinámico entre neumáticos y carretera es 0,75. Usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad v1 del primer coche justo antes del choque.
Un volante de inercia con un momento de inercia de 14,5 kg·m² gira a 1700 rpm. Un freno aplica un par de rozamiento constante de 70 N·m. ¿Cuánto tiempo t tarda en detenerse?
Un cuerpo (esfera hueca) parte del reposo y rueda sin deslizar por una pendiente inclinada 25° respecto a la horizontal. Usa g = 9,81 m/s². Halla su velocidad v después de haber rodado 5 m a lo largo de la pendiente.
Un motor de 22 kW que gira a 1440 rpm acciona un piñón de 25 dientes y módulo 3 mm. Halla la fuerza tangencial Ft sobre los dientes del piñón.
En un tren de engranajes compuesto, el engranaje A (45 dientes), en el eje de entrada que gira a 3000 rpm, acciona el engranaje B (48 dientes). El engranaje C (45 dientes) está fijado al mismo eje que B y acciona el engranaje D (72 dientes) del eje de salida. Halla la velocidad de salida nout.
¿Qué longitud debe tener un péndulo simple para que su periodo sea de 1,9 s? Usa g = 9,81 m/s². Halla L.
Una bala de 20 g que se mueve a 350 m/s impacta y se queda incrustada en un bloque de 1 kg que descansa sobre una superficie sin rozamiento. El bloque está unido a un muelle horizontal con k = 600 N/m. Halla la amplitud A de la oscilación resultante en cm.
En un ensayo de vibración libre de un sistema masa–muelle amortiguado, a un pico de desplazamiento de 15 mm le sigue 3 ciclos después un pico de 8,5 mm. Halla el factor de amortiguamiento ζ.
Una masa de 10 kg cuelga de dos muelles unidos uno tras otro (en serie): el muelle superior tiene k₁ = 15 kN/m y el inferior k₂ = 20 kN/m. Desprecia el amortiguamiento y las masas de los muelles. Halla la frecuencia natural fn de vibración vertical en Hz.
Respuesta: a = 1,17 m/s²
Movimiento con aceleración constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² y v² = v₀² + 2·a·s. Elige la ecuación que contiene las tres magnitudes que conoces y la que buscas, y mantén los signos coherentes con un único sentido positivo.
Respuesta: s = 206,7 m
Movimiento con aceleración constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² y v² = v₀² + 2·a·s. Elige la ecuación que contiene las tres magnitudes que conoces y la que buscas, y mantén los signos coherentes con un único sentido positivo.
Respuesta: μ = 0,09953
Segunda ley de Newton: la fuerza neta sobre un cuerpo es igual a su masa por su aceleración, ΣF = m·a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre, elige un sentido positivo a lo largo del movimiento y suma todas las fuerzas en esa dirección: las fuerzas aplicadas, el rozamiento μ·N en contra del movimiento y las componentes del peso.
Respuesta: T = 55,32 N
Segunda ley de Newton: la fuerza neta sobre un cuerpo es igual a su masa por su aceleración, ΣF = m·a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre, elige un sentido positivo a lo largo del movimiento y suma todas las fuerzas en esa dirección: las fuerzas aplicadas, el rozamiento μ·N en contra del movimiento y las componentes del peso.
Respuesta: x = 31,24 m
Tiro parabólico: sin resistencia del aire, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Las dos direcciones son independientes, salvo que comparten el mismo tiempo.
La velocidad horizontal se mantiene constante; el movimiento vertical tiene una aceleración constante g = 9,81 m/s² hacia abajo.
Sale y cae a la misma altura: t = 2vy/g.
Respuesta: t = 3,794 s
Tiro parabólico: sin resistencia del aire, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Las dos direcciones son independientes, salvo que comparten el mismo tiempo.
La velocidad horizontal se mantiene constante; el movimiento vertical tiene una aceleración constante g = 9,81 m/s² hacia abajo.
Resuelve y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 y toma la raíz positiva.
Respuesta: vmax = 20,3 m/s
Movimiento circular uniforme: un objeto que se mueve con velocidad v en una circunferencia de radio r tiene una aceleración dirigida hacia el centro a = v²/r, así que necesita una fuerza neta hacia el centro F = m·v²/r. Esa fuerza la proporciona algo real: el rozamiento, una tensión, la gravedad o una fuerza normal.
Respuesta: Nbottom = 480,7 N
Movimiento circular uniforme: un objeto que se mueve con velocidad v en una circunferencia de radio r tiene una aceleración dirigida hacia el centro a = v²/r, así que necesita una fuerza neta hacia el centro F = m·v²/r. Esa fuerza la proporciona algo real: el rozamiento, una tensión, la gravedad o una fuerza normal.
Hacia el centro es positivo.
Respuesta: d = 50,34 m
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d).
Duplicar la velocidad cuadruplica la distancia de frenado.
Respuesta: v = 8,287 m/s
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d).
La rampa es lisa, así que solo la franja quita energía.
Respuesta: v′1 = −2,75 m/s
Conservación de la cantidad de movimiento: si no actúa ninguna fuerza externa durante un choque, la cantidad de movimiento total Σm·v antes es igual a la total después. Las velocidades tienen sentido, así que elige un sentido positivo y pon un signo menos a las velocidades en sentido contrario. En un choque elástico también se conserva la energía cinética; en uno perfectamente inelástico los cuerpos quedan unidos.
Resolver a la vez la conservación de la cantidad de movimiento y la de la energía da estos dos resultados.
El signo menos significa que el primer deslizador rebota hacia atrás.
Respuesta: v1 = 27,99 m/s
Conservación de la cantidad de movimiento: si no actúa ninguna fuerza externa durante un choque, la cantidad de movimiento total Σm·v antes es igual a la total después. Las velocidades tienen sentido, así que elige un sentido positivo y pon un signo menos a las velocidades en sentido contrario. En un choque elástico también se conserva la energía cinética; en uno perfectamente inelástico los cuerpos quedan unidos.
Respuesta: t = 36,88 s
Rotación alrededor de un eje fijo: la suma de los momentos respecto al eje es igual a I·α (ΣM = I·α), igual que ΣF = m·a en la traslación. En forma de energía, un par T que gira un ángulo θ (en radianes) realiza un trabajo T·θ, que cambia la energía cinética ½·I·ω²; la gravedad suma o resta m·g·Δh del centro de masa. La potencia es P = T·ω.
Respuesta: v = 4,988 m/s
Rodadura y momento angular: un cuerpo que rueda sin deslizar tiene v = ω·r, así que su energía cinética es ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Por una pendiente eso da a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Cuando no actúa ningún momento externo respecto a un eje, el momento angular respecto a ese eje se mantiene constante, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, aunque se pierda energía cinética.
Rodadura sin deslizamiento: ω = v/r, y el rozamiento no realiza trabajo en el punto de contacto.
Respuesta: Ft = 3890 N
Geometría de engranajes: el módulo m fija el tamaño del diente. Una rueda con N dientes tiene un diámetro primitivo d = m·N, dos ruedas que engranan tienen el mismo módulo, y su distancia entre centros es a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. La velocidad en la circunferencia primitiva es v = π·d·n/60, y la fuerza tangencial en el diente se obtiene del par: Ft = 2T/d.
Respuesta: nout = 1758 rpm
Trenes de engranajes: los engranajes que engranan entre sí tienen la misma velocidad en los dientes, así que n₁·N₁ = n₂·N₂: el engranaje con menos dientes gira más rápido. Los engranajes montados en un mismo eje giran a la misma velocidad. La potencia se transmite (menos las pérdidas), así que el par aumenta cuando la velocidad disminuye: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, y P = T·ω con ω = 2π·n/60.
relación total = 1,707 : 1
Respuesta: L = 0,897 m
Movimiento armónico simple: una masa m en un muelle de constante elástica k oscila con frecuencia angular ω = √(k/m) y periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un péndulo simple de longitud L tiene T = 2π·√(L/g). Con amplitud A, la velocidad máxima es A·ω, la aceleración máxima A·ω² y la energía ½·k·A².
Respuesta: A = 28,3 cm
Movimiento armónico simple: una masa m en un muelle de constante elástica k oscila con frecuencia angular ω = √(k/m) y periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un péndulo simple de longitud L tiene T = 2π·√(L/g). Con amplitud A, la velocidad máxima es A·ω, la aceleración máxima A·ω² y la energía ½·k·A².
Respuesta: ζ = 0,03012
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Respuesta: fn = 4,66 Hz
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Los muelles en serie soportan la misma fuerza y suman sus deformaciones, así que se combinan como inversos: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
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