Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 20 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
Una conductora que circula a 72 km/h ve un obstáculo. Su tiempo de reacción es 1,4 s, tras el cual el coche frena con una deceleración constante de 7 m/s². Halla la distancia total de detención d desde el momento en que ve el obstáculo.
Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba a 8 m/s desde el borde de un tejado situado a 25 m sobre el suelo. Desprecia la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². ¿Cuánto tiempo después del lanzamiento llega al suelo? Halla t.
Se empuja una caja de 35 kg rampa arriba, con una inclinación de 30° respecto a la horizontal, a velocidad constante, mediante una fuerza paralela a la rampa. El coeficiente de rozamiento dinámico es 0,4. Usa g = 9,81 m/s². Halla la fuerza de empuje F.
Se da un empujón a un bloque de modo que empieza a subir por una rampa de 30° con una velocidad de 11,5 m/s. El coeficiente de rozamiento dinámico es 0,1. Usa g = 9,81 m/s². ¿Qué distancia d recorre por la rampa antes de detenerse?
Se lanza una pelota a 65° sobre la horizontal desde el suelo llano. Desprecia la resistencia del aire. Halla la distancia horizontal x recorrida antes de que la pelota toque el suelo.
Se lanza una pelota a 35° sobre la horizontal desde lo alto de un acantilado de 45 m. Desprecia la resistencia del aire. Halla el tiempo de vuelo t hasta que la pelota toca el suelo.
Un coche toma una curva plana de 130 m de radio. El coeficiente de rozamiento estático entre los neumáticos y la carretera es 0,3. Usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad máxima vmax a la que el coche puede tomar la curva sin derrapar.
Una curva de radio 50 m tiene un peralte de 10°, y el coeficiente de rozamiento estático entre neumáticos y carretera es 0,1. Usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad máxima vmax a la que un coche puede tomar la curva sin deslizar hacia arriba y hacia fuera.
Un bloque baja desde el reposo por una rampa inclinada 35° respecto a la horizontal. El coeficiente de rozamiento dinámico es 0,4. Halla su velocidad v tras deslizar 6 m por la rampa.
Un muelle de rigidez 2000 N/m situado al pie de una pendiente de 40° se comprime 20 cm contra un bloque de 5 kg y se suelta. El coeficiente de rozamiento dinámico entre el bloque y la pendiente es 0,1. ¿Qué distancia d recorre el bloque pendiente arriba desde el punto de suelta hasta detenerse? (Desprecia el corto tramo en el que empuja el muelle, es decir, aplica el rozamiento y la gravedad a toda la distancia d.)
Un coche de 1400 kg que se mueve a 23 m/s choca con un coche parado de 1300 kg y ambos quedan unidos. ¿Cuánta energía cinética ΔK se pierde en el choque?
Una bala de 15 g se dispara horizontalmente contra un bloque de 4 kg que cuelga de hilos ligeros de 1,8 m de longitud, y se queda incrustada en él. Los hilos oscilan hasta un ángulo máximo de 10° con la vertical. Usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad v de la bala antes del impacto.
Una barra esbelta uniforme de masa 11,5 kg y longitud 0,5 m está articulada por un extremo y se mantiene horizontal. Se suelta desde el reposo. Usa g = 9,81 m/s². Halla la aceleración atip del extremo libre justo después de soltarla.
Un cuerpo (esfera hueca) de masa 6 kg rueda sin deslizar a 3,5 m/s. Halla su energía cinética de rotación Erot.
Una correa pasa por una polea motriz de 200 mm a 1450 rpm. La tensión es de 1000 N en el ramal tenso y de 250 N en el ramal flojo. Halla la potencia P transmitida, en kW.
Un motor de 7,5 kW a 1440 rpm acciona la rueda A (20 dientes), que engrana con la rueda B (30 dientes). La rueda C (18 dientes), en el mismo eje que B, acciona la rueda D (60 dientes) en el eje de salida. Cada engrane tiene un rendimiento del 97 %. Halla el par de salida Tout.
Una masa de 2,2 kg unida a un muelle con k = 90 N/m oscila sobre una superficie sin rozamiento con una amplitud de 12 cm. Halla su velocidad v cuando está a 6 cm del equilibrio.
Una bala de 10 g que se mueve a 350 m/s impacta y se queda incrustada en un bloque de 3 kg que descansa sobre una superficie sin rozamiento. El bloque está unido a un muelle horizontal con k = 700 N/m. Halla la amplitud A de la oscilación resultante en cm.
Una masa de 80 kg sobre un muelle con una rigidez de 15 kN/m tiene un amortiguador viscoso que da un factor de amortiguamiento de 0,35. Halla la frecuencia natural amortiguada fd de su vibración libre en Hz.
Una masa de 100 kg cuelga del muelle k₃ = 12 kN/m. El extremo superior de k₃ está unido a una barra rígida que cuelga de dos muelles uno al lado del otro, k₁ = 80 kN/m y k₂ = 10 kN/m; la barra se mantiene horizontal. Desprecia el amortiguamiento y las masas de los muelles y de la barra. Halla la frecuencia natural fn de vibración vertical en Hz.
Respuesta: d = 56,57 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Respuesta: t = 3,216 s
Movimiento con aceleración constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² y v² = v₀² + 2·a·s. Elige la ecuación que contiene las tres magnitudes que conoces y la que buscas, y mantén los signos coherentes con un único sentido positivo.
Hacia arriba es positivo y el suelo está h₀ por debajo del punto de partida.
Solo la raíz positiva tiene sentido físico.
Respuesta: F = 290,6 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Velocidad constante: las fuerzas se equilibran.
Respuesta: d = 11,49 m
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Ambas fuerzas apuntan rampa abajo; la masa se simplifica.
Respuesta: x = 61,22 m
Tiro parabólico: sin resistencia del aire, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Las dos direcciones son independientes, salvo que comparten el mismo tiempo.
La velocidad horizontal se mantiene constante; el movimiento vertical tiene una aceleración constante g = 9,81 m/s² hacia abajo.
Sale y cae a la misma altura: t = 2vy/g.
Respuesta: t = 5,08 s
Tiro parabólico: sin resistencia del aire, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Las dos direcciones son independientes, salvo que comparten el mismo tiempo.
La velocidad horizontal se mantiene constante; el movimiento vertical tiene una aceleración constante g = 9,81 m/s² hacia abajo.
Resuelve y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 y toma la raíz positiva.
Respuesta: vmax = 19,56 m/s
Movimiento circular uniforme: un objeto que se mueve con velocidad v en una circunferencia de radio r tiene una aceleración dirigida hacia el centro a = v²/r, así que necesita una fuerza neta hacia el centro F = m·v²/r. Esa fuerza la proporciona algo real: el rozamiento, una tensión, la gravedad o una fuerza normal.
Respuesta: vmax = 11,75 m/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
El rozamiento apunta pendiente abajo.
Respuesta: v = 5,38 m/s
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d).
El bloque baja una altura d·sin θ mientras el rozamiento le quita μmg·cos θ·d. La masa se cancela.
Respuesta: d = 1,134 m
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d).
Respuesta: ΔK = 178293 J
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
La energía perdida se convierte en deformación, calor y sonido.
Respuesta: v = 196,1 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Respuesta: atip = 14,71 m/s²
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
En el instante de soltarla ω = 0, así que no hay aceleración centrípeta y el centro acelera directamente hacia abajo.
atip = 1,5·g para cualquier longitud: el extremo libre cae más rápido que una piedra soltada.
Respuesta: Erot = 24,5 J
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Respuesta: P = 11,39 kW
Transmisiones por correa: sin deslizamiento, ambas poleas tienen la misma velocidad periférica v = π·d·n/60, así que n₁·d₁ = n₂·d₂ y la relación de velocidades es d₂/d₁. El deslizamiento s hace que la polea conducida gire un poco más despacio: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La potencia transmitida es P = (T₁ − T₂)·v, con T₁ la tensión del ramal tenso y T₂ la del ramal flojo. El rozamiento limita la relación de tensiones: T₁/T₂ = eμθ, donde θ es el ángulo de contacto en radianes sobre la polea menor; para una correa abierta θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) con distancia entre centros C.
Respuesta: Tout = 234 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Respuesta: v = 0,6647 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Respuesta: A = 7,625 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Respuesta: fd = 2,041 Hz
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Respuesta: fn = 1,638 Hz
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Solo k1 y k2 están en paralelo. Ese par está en serie con k3, así que combínalos como inversos.
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