Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 20 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
Un coche que circula a 120 km/h frena con una deceleración constante de 3,5 m/s² hasta detenerse. Halla la distancia de frenado s.
La bola A se deja caer desde el reposo desde una altura de 55 m. En el mismo instante, la bola B se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo, justo debajo, a 28 m/s. Desprecia la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². ¿Cuándo se encuentran las bolas? Halla t.
Un bloque de 13 kg baja deslizando por una rampa inclinada 35° respecto a la horizontal. El coeficiente de rozamiento dinámico es 0,25. Usa g = 9,81 m/s². Halla la aceleración a del bloque a lo largo de la rampa.
Dos bloques sobre un suelo horizontal están unidos por un hilo ligero horizontal. Una fuerza horizontal de 55 N tira del bloque delantero de 8 kg; el bloque de 6 kg va remolcado detrás. El coeficiente de rozamiento dinámico es 0,15 para ambos bloques. Usa g = 9,81 m/s². Halla la tensión T del hilo de unión.
Se lanza una pelota desde un terreno horizontal a 34 m/s y debe caer a 100 m. Desprecia la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². Halla el menor de los dos ángulos de lanzamiento posibles θ.
Se lanza una pelota a 33 m/s y 50° por encima de la horizontal desde lo alto de un acantilado de 5 m. Desprecia la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². Halla la altura máxima H sobre el suelo al pie del acantilado.
Un coche de 1600 kg pasa por la cima de un cambio de rasante a 15 m/s. La cima es un arco de circunferencia de radio 85 m. Usa g = 9,81 m/s². Halla la fuerza normal N de la carretera sobre el coche en la cima.
Una curva de radio 110 m tiene un peralte de 30°, y el coeficiente de rozamiento estático entre neumáticos y carretera es 0,25. Usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad máxima vmax a la que un coche puede tomar la curva sin deslizar hacia arriba y hacia fuera.
Un coche de 1200 kg sube por una pendiente de 2° a 36 km/h constantes. La resistencia del aire y la resistencia a la rodadura suman en total 800 N. Halla la potencia P que deben entregar las ruedas, en kW.
Un bloque de 8 kg parte del reposo al pie de una pendiente de 35° y se tira de él pendiente arriba con una fuerza constante de 95 N paralela a la pendiente. El coeficiente de rozamiento dinámico es 0,3. Halla la velocidad v del bloque tras recorrer 4 m pendiente arriba.
Un deslizador de 3,5 kg que se mueve a 4 m/s choca frontalmente, de forma perfectamente elástica, con un deslizador de 4 kg en reposo sobre un carril sin rozamiento. Halla la velocidad v′1 del primer deslizador después del choque (positiva en su sentido inicial).
Un coche de 1200 kg choca con un coche aparcado de 2000 kg. Los restos quedan unidos y derrapan 9 m antes de detenerse. El coeficiente de rozamiento dinámico entre neumáticos y carretera es 0,6. Usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad v1 del primer coche justo antes del choque.
Un bloque de 4 kg cuelga de una cuerda ligera enrollada en una polea, un disco macizo uniforme de masa 7 kg y radio 0,15 m que gira sobre un eje horizontal sin rozamiento. El bloque se suelta desde el reposo. Usa g = 9,81 m/s². Halla la tensión T en la cuerda.
Una persona está de pie sobre un plato giratorio sin rozamiento y sostiene una pesa de 1,5 kg en cada mano, a 0,6 m del eje. La persona y el plato solos tienen un momento de inercia de 5 kg·m² respecto al eje. Giran a 45 rpm y luego acercan las pesas hasta 0,35 m del eje. Trata las pesas como masas puntuales. Halla la nueva velocidad n2 en rpm.
Un motor de 2,2 kW que gira a 1440 rpm acciona un piñón de 72 dientes, que engrana con una rueda de 80 dientes. Desprecia las pérdidas. Halla el par T1 en el eje del motor.
En un tren epicicloidal el planeta (sol) tiene 24 dientes y cada satélite tiene 30 dientes. La corona se mantiene fija y el planeta se acciona a 1500 rpm. Halla la velocidad nc del portasatélites.
Una masa de 0,6 kg unida a un muelle con k = 240 N/m oscila sobre una superficie sin rozamiento con una amplitud de 4 cm. Halla su velocidad v cuando está a 3 cm del equilibrio.
Una masa de 2 kg unida a un muelle con k = 50 N/m se separa 14 cm de la posición de equilibrio y se suelta. Halla la energía total E de la oscilación.
En un ensayo de vibración libre de un sistema masa–muelle amortiguado, a un pico de desplazamiento de 50 mm le sigue un ciclo después un pico de 44,1 mm. Halla el factor de amortiguamiento ζ.
Una masa de 100 kg cuelga de dos muelles unidos uno tras otro (en serie): el muelle superior tiene k₁ = 25 kN/m y el inferior k₂ = 15 kN/m. Desprecia el amortiguamiento y las masas de los muelles. Halla la frecuencia natural fn de vibración vertical en Hz.
Respuesta: s = 158,7 m
Movimiento con aceleración constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² y v² = v₀² + 2·a·s. Elige la ecuación que contiene las tres magnitudes que conoces y la que buscas, y mantén los signos coherentes con un único sentido positivo.
Respuesta: t = 1,964 s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Hacia arriba es positivo; el suelo es y = 0.
Respuesta: a = 3,618 m/s²
Segunda ley de Newton: la fuerza neta sobre un cuerpo es igual a su masa por su aceleración, ΣF = m·a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre, elige un sentido positivo a lo largo del movimiento y suma todas las fuerzas en esa dirección: las fuerzas aplicadas, el rozamiento μ·N en contra del movimiento y las componentes del peso.
Rampa abajo es positivo.
Respuesta: T = 23,57 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Con el mismo μ en ambos bloques, el rozamiento desaparece: T = F·m₁/(m₁ + m₂).
Respuesta: θ = 29,03 °
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
La otra solución es 90° − θ = 60,97°.
Respuesta: H = 37,57 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Respuesta: N = 11461 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Hacia el centro (hacia abajo) es positivo.
El coche parece más ligero: la carretera empuja hacia arriba menos que su peso.
Respuesta: vmax = 32,3 m/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
El rozamiento apunta pendiente abajo.
Respuesta: P = 12,11 kW
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d). La potencia es la fuerza por la velocidad: P = F·v.
Respuesta: v = 5,541 m/s
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d).
Respuesta: v′1 = −0,2667 m/s
Conservación de la cantidad de movimiento: si no actúa ninguna fuerza externa durante un choque, la cantidad de movimiento total Σm·v antes es igual a la total después. Las velocidades tienen sentido, así que elige un sentido positivo y pon un signo menos a las velocidades en sentido contrario. En un choque elástico también se conserva la energía cinética; en uno perfectamente inelástico los cuerpos quedan unidos.
Resolver a la vez la conservación de la cantidad de movimiento y la de la energía da estos dos resultados.
El signo menos significa que el primer deslizador rebota hacia atrás.
Respuesta: v1 = 27,45 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Respuesta: T = 18,31 N
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Respuesta: n2 = 50,97 rpm
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
La energía cinética aumenta: la energía extra procede del trabajo que realiza la persona al acercar las pesas.
Respuesta: T1 = 14,59 N·m
Trenes de engranajes: los engranajes que engranan entre sí tienen la misma velocidad en los dientes, así que n₁·N₁ = n₂·N₂: el engranaje con menos dientes gira más rápido. Los engranajes montados en un mismo eje giran a la misma velocidad. La potencia se transmite (menos las pérdidas), así que el par aumenta cuando la velocidad disminuye: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, y P = T·ω con ω = 2π·n/60.
Respuesta: nc = 333,3 rpm
Trenes epicicloidales: las velocidades del planeta, la corona y el portasatélites están relacionadas por la ecuación de Willis (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: vistos desde el portasatélites, el conjunto es un tren ordinario con los satélites como ruedas locas. Al fijar un elemento, el conjunto se convierte en un reductor de una sola relación.
Haz nr = 0 y despeja la velocidad del portasatélites.
El portasatélites gira en el mismo sentido que el planeta.
Respuesta: v = 0,5292 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Respuesta: E = 0,49 J
Movimiento armónico simple: una masa m en un muelle de constante elástica k oscila con frecuencia angular ω = √(k/m) y periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un péndulo simple de longitud L tiene T = 2π·√(L/g). Con amplitud A, la velocidad máxima es A·ω, la aceleración máxima A·ω² y la energía ½·k·A².
Respuesta: ζ = 0,01998
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Respuesta: fn = 1,541 Hz
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Los muelles en serie soportan la misma fuerza y suman sus deformaciones, así que se combinan como inversos: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
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