Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 20 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
Un coche que circula a 32 m/s constantes, por encima del límite, adelanta a un coche de policía parado. En ese momento el coche de policía arranca y acelera uniformemente a 4 m/s². ¿Cuánto tarda el coche de policía en alcanzarlo? Halla t.
La bola A se deja caer desde el reposo desde una altura de 30 m. En el mismo instante, la bola B se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo, justo debajo, a 28 m/s. Desprecia la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². ¿A qué altura y sobre el suelo se encuentran?
Un bloque de 13 kg baja deslizando por una rampa inclinada 30° respecto a la horizontal. El coeficiente de rozamiento dinámico es 0,3. Usa g = 9,81 m/s². Halla la aceleración a del bloque a lo largo de la rampa.
Dos bloques sobre un suelo horizontal están unidos por un hilo ligero horizontal. Una fuerza horizontal de 115 N tira del bloque delantero de 4 kg; el bloque de 7 kg va remolcado detrás. El coeficiente de rozamiento dinámico es 0,3 para ambos bloques. Usa g = 9,81 m/s². Halla la aceleración a de los bloques.
Se lanza una pelota a 70° sobre la horizontal desde el suelo llano. Desprecia la resistencia del aire. Halla la altura máxima H que alcanza la pelota.
Se lanza una pelota a 24 m/s y 50° por encima de la horizontal desde lo alto de un acantilado de 25 m. Desprecia la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². ¿Con qué ángulo α por debajo de la horizontal llega al suelo?
Una bolita sujeta a un hilo de longitud 1,2 m describe una circunferencia horizontal de modo que el hilo forma un ángulo constante de 15° con la vertical (un péndulo cónico). Usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad v de la bola.
Se hace girar en una circunferencia vertical una bola atada a una cuerda de 0,6 m. Usa g = 9,81 m/s². ¿Cuál es la velocidad mínima vmin en el punto más alto para que la cuerda siga justo tensa?
Un coche de 1800 kg sube por una pendiente de 8° a 54 km/h constantes. La resistencia del aire y la resistencia a la rodadura suman en total 400 N. Halla la potencia P que deben entregar las ruedas, en kW.
Un muelle de rigidez 3000 N/m situado al pie de una pendiente de 15° se comprime 12 cm contra un bloque de 2 kg y se suelta. El coeficiente de rozamiento dinámico entre el bloque y la pendiente es 0,2. ¿Qué distancia d recorre el bloque pendiente arriba desde el punto de suelta hasta detenerse? (Desprecia el corto tramo en el que empuja el muelle, es decir, aplica el rozamiento y la gravedad a toda la distancia d.)
Una bala de 12 g se dispara horizontalmente contra un bloque de madera de 3 kg que cuelga de hilos ligeros, y se queda incrustada en él. El bloque oscila hacia arriba hasta quedar 19 cm más alto que al principio. Usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad v de la bala antes del impacto.
Una pelota de 0,25 kg golpea una pared a 17 m/s y rebota en línea recta hacia atrás a 9 m/s. El contacto dura 20 ms. Halla el módulo del impulso J que la pared ejerce sobre la pelota.
Un bloque de 1 kg cuelga de una cuerda ligera enrollada en una polea, un disco macizo uniforme de masa 5,5 kg y radio 0,35 m que gira sobre un eje horizontal sin rozamiento. El bloque se suelta desde el reposo. Usa g = 9,81 m/s². Halla la tensión T en la cuerda.
Un cuerpo (esfera hueca) de masa 1,5 kg rueda sin deslizar a 1,5 m/s. ¿Qué porcentaje p de su energía cinética total es de rotación?
Un motor de 7,5 kW que gira a 2900 rpm acciona un piñón de 36 dientes, que engrana con una rueda de 40 dientes. El par de engranajes tiene un rendimiento del 95 %. Halla el par de salida T2 en el eje de la rueda.
En un tren epicicloidal el planeta (sol) tiene 30 dientes y cada satélite tiene 30 dientes. El portasatélites se mantiene fijo y el planeta se acciona a 1500 rpm. Halla la velocidad nr de la corona (en valor absoluto).
Una masa de 3,4 kg unida a un muelle con k = 270 N/m oscila sobre una superficie sin rozamiento con una amplitud de 13 cm. Halla su velocidad v cuando está a 7 cm del equilibrio.
Una masa de 1,4 kg se une al extremo inferior de un muelle vertical sin estirar con k = 160 N/m y se suelta desde el reposo. Usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad máxima vmax de la masa.
Una masa de 20 kg sobre un muelle con una rigidez de 25 kN/m tiene un amortiguador viscoso que da un factor de amortiguamiento de 0,4. Halla la frecuencia natural amortiguada fd de su vibración libre en Hz.
Una masa de 20 kg cuelga de dos muelles unidos uno tras otro (en serie): el muelle superior tiene k₁ = 15 kN/m y el inferior k₂ = 100 kN/m. Halla la rigidez equivalente keq del sistema de muelles en kN/m.
Respuesta: t = 16 s
Movimiento con aceleración constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² y v² = v₀² + 2·a·s. Elige la ecuación que contiene las tres magnitudes que conoces y la que buscas, y mantén los signos coherentes con un único sentido positivo.
En ese momento el coche de policía va a 2v = 64 m/s.
Respuesta: y = 24,37 m
Movimiento con aceleración constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² y v² = v₀² + 2·a·s. Elige la ecuación que contiene las tres magnitudes que conoces y la que buscas, y mantén los signos coherentes con un único sentido positivo.
Hacia arriba es positivo; el suelo es y = 0.
Respuesta: a = 2,356 m/s²
Segunda ley de Newton: la fuerza neta sobre un cuerpo es igual a su masa por su aceleración, ΣF = m·a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre, elige un sentido positivo a lo largo del movimiento y suma todas las fuerzas en esa dirección: las fuerzas aplicadas, el rozamiento μ·N en contra del movimiento y las componentes del peso.
Rampa abajo es positivo.
Respuesta: a = 7,512 m/s²
Segunda ley de Newton: la fuerza neta sobre un cuerpo es igual a su masa por su aceleración, ΣF = m·a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre, elige un sentido positivo a lo largo del movimiento y suma todas las fuerzas en esa dirección: las fuerzas aplicadas, el rozamiento μ·N en contra del movimiento y las componentes del peso.
Respuesta: H = 21,78 m
Tiro parabólico: sin resistencia del aire, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Las dos direcciones son independientes, salvo que comparten el mismo tiempo.
La velocidad horizontal se mantiene constante; el movimiento vertical tiene una aceleración constante g = 9,81 m/s² hacia abajo.
En lo más alto la velocidad vertical es cero: vy² = 2gH.
Respuesta: α = 61,81 °
Tiro parabólico: sin resistencia del aire, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Las dos direcciones son independientes, salvo que comparten el mismo tiempo.
Energía, o v² = v₀² + 2as en la dirección vertical.
Respuesta: v = 0,9035 m/s
Movimiento circular uniforme: un objeto que se mueve con velocidad v en una circunferencia de radio r tiene una aceleración dirigida hacia el centro a = v²/r, así que necesita una fuerza neta hacia el centro F = m·v²/r. Esa fuerza la proporciona algo real: el rozamiento, una tensión, la gravedad o una fuerza normal.
La tensión y la gravedad juntas dan la fuerza hacia el centro: tan θ = v²/(r·g).
Respuesta: vmin = 2,426 m/s
Movimiento circular uniforme: un objeto que se mueve con velocidad v en una circunferencia de radio r tiene una aceleración dirigida hacia el centro a = v²/r, así que necesita una fuerza neta hacia el centro F = m·v²/r. Esa fuerza la proporciona algo real: el rozamiento, una tensión, la gravedad o una fuerza normal.
Respuesta: P = 42,86 kW
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d). La potencia es la fuerza por la velocidad: P = F·v.
Respuesta: d = 2,436 m
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d).
Respuesta: v = 484,6 m/s
Conservación de la cantidad de movimiento: si no actúa ninguna fuerza externa durante un choque, la cantidad de movimiento total Σm·v antes es igual a la total después. Las velocidades tienen sentido, así que elige un sentido positivo y pon un signo menos a las velocidades en sentido contrario. En un choque elástico también se conserva la energía cinética; en uno perfectamente inelástico los cuerpos quedan unidos.
Respuesta: J = 6,5 N·s
Conservación de la cantidad de movimiento: si no actúa ninguna fuerza externa durante un choque, la cantidad de movimiento total Σm·v antes es igual a la total después. Las velocidades tienen sentido, así que elige un sentido positivo y pon un signo menos a las velocidades en sentido contrario. En un choque elástico también se conserva la energía cinética; en uno perfectamente inelástico los cuerpos quedan unidos.
Respuesta: T = 7,194 N
Rotación alrededor de un eje fijo: la suma de los momentos respecto al eje es igual a I·α (ΣM = I·α), igual que ΣF = m·a en la traslación. En forma de energía, un par T que gira un ángulo θ (en radianes) realiza un trabajo T·θ, que cambia la energía cinética ½·I·ω²; la gravedad suma o resta m·g·Δh del centro de masa. La potencia es P = T·ω.
Respuesta: p = 40 %
Rodadura y momento angular: un cuerpo que rueda sin deslizar tiene v = ω·r, así que su energía cinética es ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Por una pendiente eso da a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Cuando no actúa ningún momento externo respecto a un eje, el momento angular respecto a ese eje se mantiene constante, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, aunque se pierda energía cinética.
La proporción depende solo de la forma, no de la masa ni de la velocidad.
Respuesta: T2 = 26,07 N·m
Trenes de engranajes: los engranajes que engranan entre sí tienen la misma velocidad en los dientes, así que n₁·N₁ = n₂·N₂: el engranaje con menos dientes gira más rápido. Los engranajes montados en un mismo eje giran a la misma velocidad. La potencia se transmite (menos las pérdidas), así que el par aumenta cuando la velocidad disminuye: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, y P = T·ω con ω = 2π·n/60.
Respuesta: nr = 500 rpm
Trenes epicicloidales: las velocidades del planeta, la corona y el portasatélites están relacionadas por la ecuación de Willis (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: vistos desde el portasatélites, el conjunto es un tren ordinario con los satélites como ruedas locas. Al fijar un elemento, el conjunto se convierte en un reductor de una sola relación.
Con nc = 0 el planeta acciona la corona a través de los satélites, que actúan como ruedas locas.
La corona gira en sentido contrario al planeta.
Respuesta: v = 0,9762 m/s
Movimiento armónico simple: una masa m en un muelle de constante elástica k oscila con frecuencia angular ω = √(k/m) y periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un péndulo simple de longitud L tiene T = 2π·√(L/g). Con amplitud A, la velocidad máxima es A·ω, la aceleración máxima A·ω² y la energía ½·k·A².
Respuesta: vmax = 0,9176 m/s
Movimiento armónico simple: una masa m en un muelle de constante elástica k oscila con frecuencia angular ω = √(k/m) y periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un péndulo simple de longitud L tiene T = 2π·√(L/g). Con amplitud A, la velocidad máxima es A·ω, la aceleración máxima A·ω² y la energía ½·k·A².
La velocidad es máxima en el equilibrio.
Respuesta: fd = 5,157 Hz
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Respuesta: keq = 13,04 kN/m
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Los muelles en serie soportan la misma fuerza y suman sus deformaciones, así que se combinan como inversos: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
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