Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 20 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
Un avión parte del reposo y acelera uniformemente a 4 m/s² por una pista. Halla su velocidad v tras recorrer 1600 m.
La bola A se deja caer desde el reposo desde una altura de 25 m. En el mismo instante, la bola B se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo, justo debajo, a 23 m/s. Desprecia la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². ¿Cuándo se encuentran las bolas? Halla t.
Un bloque de 3 kg baja deslizando por una rampa inclinada 45° respecto a la horizontal. El coeficiente de rozamiento dinámico es 0,3. Usa g = 9,81 m/s². Halla la aceleración a del bloque a lo largo de la rampa.
Se da un empujón a un bloque de modo que empieza a subir por una rampa de 30° con una velocidad de 3,5 m/s. El coeficiente de rozamiento dinámico es 0,15. Usa g = 9,81 m/s². ¿Qué distancia d recorre por la rampa antes de detenerse?
Se lanza una pelota a 40° sobre la horizontal desde el suelo llano. Desprecia la resistencia del aire. Halla la distancia horizontal x recorrida antes de que la pelota toque el suelo.
Se lanza una pelota a 24 m/s y 60° por encima de la horizontal desde lo alto de un acantilado de 25 m. Desprecia la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². Halla la altura máxima H sobre el suelo al pie del acantilado.
Un coche toma una curva plana de 25 m de radio. El coeficiente de rozamiento estático entre los neumáticos y la carretera es 0,8. Usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad máxima vmax a la que el coche puede tomar la curva sin derrapar.
Una curva de radio 270 m tiene un peralte de 8°, y el coeficiente de rozamiento estático entre neumáticos y carretera es 0,1. Usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad mínima vmin a la que un coche puede tomar la curva sin deslizar hacia abajo por el peralte.
Un bloque de 0,5 kg desliza 3 m por una rampa inclinada 30° respecto a la horizontal, con un coeficiente de rozamiento dinámico de 0,25. Halla el trabajo Wf realizado contra el rozamiento.
Se suelta desde el reposo un bloque de 2 kg a una altura de 2 m en una rampa lisa. Abajo cruza una franja horizontal rugosa de 1 m (μ = 0,15) y después choca contra un muelle (k = 5000 N/m) sobre una superficie lisa. Halla la compresión máxima x del muelle.
Un deslizador de 0,5 kg que se mueve a 12 m/s choca frontalmente, de forma perfectamente elástica, con un deslizador de 1 kg en reposo sobre un carril sin rozamiento. Halla la velocidad v′2 del segundo deslizador después del choque.
Una bala de 8 g se dispara horizontalmente contra un bloque de 2 kg que cuelga de hilos ligeros de 0,7 m de longitud, y se queda incrustada en él. Los hilos oscilan hasta un ángulo máximo de 35° con la vertical. Usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad v de la bala antes del impacto.
Una barra esbelta uniforme de masa 1,5 kg y longitud 2,5 m está articulada por un extremo y se suelta desde el reposo en posición horizontal. Ignora el rozamiento y usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad angular ω de la barra cuando pasa por la posición vertical.
Un cuerpo (esfera hueca) parte del reposo y rueda sin deslizar por una pendiente inclinada 30° respecto a la horizontal. Usa g = 9,81 m/s². Su radio es 0,3 m. Halla su velocidad angular ω después de haber rodado 8 m a lo largo de la pendiente.
Un motor de 15 kW que gira a 960 rpm acciona un piñón de 25 dientes, que engrana con una rueda de 80 dientes. El par de engranajes tiene un rendimiento del 98 %. Halla el par de salida T2 en el eje de la rueda.
Una correa abierta conecta una polea de 120 mm y una polea de 450 mm cuyos centros están separados 600 mm. Halla el ángulo de contacto θ en la polea menor, en grados.
Una astronauta en otro planeta comprueba que un péndulo simple de 0,9 m de longitud tiene un periodo de 3,09 s para oscilaciones pequeñas. Halla la aceleración de la gravedad g en ese planeta.
Una masa de 0,2 kg unida a un muelle con k = 90 N/m se separa 2 cm de la posición de equilibrio y se suelta. Halla la energía total E de la oscilación.
En un ensayo de vibración libre de un sistema masa–muelle amortiguado, a un pico de desplazamiento de 50 mm le sigue 5 ciclos después un pico de 10,4 mm. Halla el factor de amortiguamiento ζ.
Una masa de 40 kg cuelga de dos muelles uno al lado del otro (en paralelo), con rigideces k₁ = 25 kN/m y k₂ = 40 kN/m. La masa se mantiene horizontal. Desprecia el amortiguamiento y las masas de los muelles. Halla la frecuencia natural fn de vibración vertical en Hz.
Respuesta: v = 113,1 m/s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Respuesta: t = 1,087 s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Hacia arriba es positivo; el suelo es y = 0.
Respuesta: a = 4,856 m/s²
Segunda ley de Newton: la fuerza neta sobre un cuerpo es igual a su masa por su aceleración, ΣF = m·a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre, elige un sentido positivo a lo largo del movimiento y suma todas las fuerzas en esa dirección: las fuerzas aplicadas, el rozamiento μ·N en contra del movimiento y las componentes del peso.
Rampa abajo es positivo.
Respuesta: d = 0,9912 m
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Ambas fuerzas apuntan rampa abajo; la masa se simplifica.
Respuesta: x = 90,35 m
Tiro parabólico: sin resistencia del aire, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Las dos direcciones son independientes, salvo que comparten el mismo tiempo.
La velocidad horizontal se mantiene constante; el movimiento vertical tiene una aceleración constante g = 9,81 m/s² hacia abajo.
Sale y cae a la misma altura: t = 2vy/g.
Respuesta: H = 47,02 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Respuesta: vmax = 14,01 m/s
Movimiento circular uniforme: un objeto que se mueve con velocidad v en una circunferencia de radio r tiene una aceleración dirigida hacia el centro a = v²/r, así que necesita una fuerza neta hacia el centro F = m·v²/r. Esa fuerza la proporciona algo real: el rozamiento, una tensión, la gravedad o una fuerza normal.
Respuesta: vmin = 10,29 m/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
El rozamiento apunta pendiente arriba.
Respuesta: Wf = 3,186 J
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d).
Respuesta: x = 12,05 cm
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d).
La rampa es lisa, así que solo la franja quita energía.
Respuesta: v′2 = 8 m/s
Conservación de la cantidad de movimiento: si no actúa ninguna fuerza externa durante un choque, la cantidad de movimiento total Σm·v antes es igual a la total después. Las velocidades tienen sentido, así que elige un sentido positivo y pon un signo menos a las velocidades en sentido contrario. En un choque elástico también se conserva la energía cinética; en uno perfectamente inelástico los cuerpos quedan unidos.
Resolver a la vez la conservación de la cantidad de movimiento y la de la energía da estos dos resultados.
Respuesta: v = 395,6 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Respuesta: ω = 3,431 rad/s
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Respuesta: ω = 22,87 rad/s
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Rodadura sin deslizamiento: ω = v/r, y el rozamiento no realiza trabajo en el punto de contacto.
Respuesta: T2 = 467,9 N·m
Trenes de engranajes: los engranajes que engranan entre sí tienen la misma velocidad en los dientes, así que n₁·N₁ = n₂·N₂: el engranaje con menos dientes gira más rápido. Los engranajes montados en un mismo eje giran a la misma velocidad. La potencia se transmite (menos las pérdidas), así que el par aumenta cuando la velocidad disminuye: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, y P = T·ω con ω = 2π·n/60.
Respuesta: θ = 148,1 °
Transmisiones por correa: sin deslizamiento, ambas poleas tienen la misma velocidad periférica v = π·d·n/60, así que n₁·d₁ = n₂·d₂ y la relación de velocidades es d₂/d₁. El deslizamiento s hace que la polea conducida gire un poco más despacio: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La potencia transmitida es P = (T₁ − T₂)·v, con T₁ la tensión del ramal tenso y T₂ la del ramal flojo. El rozamiento limita la relación de tensiones: T₁/T₂ = eμθ, donde θ es el ángulo de contacto en radianes sobre la polea menor; para una correa abierta θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) con distancia entre centros C.
Respuesta: g = 3,721 m/s²
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Respuesta: E = 0,018 J
Movimiento armónico simple: una masa m en un muelle de constante elástica k oscila con frecuencia angular ω = √(k/m) y periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un péndulo simple de longitud L tiene T = 2π·√(L/g). Con amplitud A, la velocidad máxima es A·ω, la aceleración máxima A·ω² y la energía ½·k·A².
Respuesta: ζ = 0,04992
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Respuesta: fn = 6,416 Hz
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Los muelles uno al lado del otro comparten la deformación y suman sus fuerzas, así que sus rigideces simplemente se suman: k = k1 + k2.
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