Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 20 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
Un avión necesita una velocidad de 250 km/h para despegar y la pista útil mide 2200 m. Partiendo del reposo, ¿qué aceleración constante a necesita?
Un tranvía parte del reposo y acelera a 1 m/s² durante 4 s, después circula a velocidad constante durante 7 s y por último frena a 2,5 m/s² hasta detenerse. Halla la distancia total s entre las dos paradas.
Una caja desliza por un suelo horizontal con una velocidad inicial de 7,5 m/s y se detiene tras 29 m. Usa g = 9,81 m/s². Halla el coeficiente de rozamiento dinámico μ.
Un bloque de 7 kg sobre una mesa horizontal está unido, mediante una cuerda ligera que pasa por una polea sin rozamiento, a una masa colgante de 6 kg. El coeficiente de rozamiento dinámico entre el bloque y la mesa es 0,1. Usa g = 9,81 m/s². Halla la aceleración a del sistema.
Se chuta una pelota desde un terreno horizontal a 20 m/s y 35° por encima de la horizontal hacia una pared situada a 31 m. Desprecia la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². ¿A qué altura y pasa la pelota por la pared?
Se lanza una pelota desde el nivel del suelo a 39 m/s y 60° por encima de la horizontal. Cae, ya bajando, sobre la azotea plana de un edificio de 18 m de altura. Desprecia la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². Halla la distancia horizontal x desde el punto de lanzamiento hasta donde cae.
Un ingeniero de carreteras quiere que los coches tomen una curva de radio 100 m a 40 km/h sin depender del rozamiento. Usa g = 9,81 m/s². Halla el ángulo de peralte θ.
Una curva de radio 120 m tiene un peralte de 18°, y el coeficiente de rozamiento estático entre neumáticos y carretera es 0,2. Usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad máxima vmax a la que un coche puede tomar la curva sin deslizar hacia arriba y hacia fuera.
Un lanzador de juguete tiene un muelle vertical de rigidez 2000 N/m. Se coloca encima una bola de 0,5 kg, se comprime el muelle 6 cm y se suelta. Despreciando la resistencia del aire y la masa del muelle, halla la altura h que sube la bola, medida desde su posición con el muelle comprimido.
Un bloque de 2 kg parte del reposo al pie de una pendiente de 20° y se tira de él pendiente arriba con una fuerza constante de 15 N paralela a la pendiente. El coeficiente de rozamiento dinámico es 0,15. Halla la velocidad v del bloque tras recorrer 4 m pendiente arriba.
Un coche de 900 kg que se mueve a 5 m/s choca con un coche parado de 1900 kg y ambos quedan unidos. ¿Cuánta energía cinética ΔK se pierde en el choque?
Una pelota de 0,55 kg golpea una pared a 15 m/s y rebota en línea recta hacia atrás a 5 m/s. El contacto dura 50 ms. Halla el módulo del impulso J que la pared ejerce sobre la pelota.
Un eje transmite 134,5 kW a 400 rpm. Halla el par T en el eje.
Una barra esbelta uniforme de masa 4,5 kg y longitud 1,9 m cuelga en reposo de un pivote sin rozamiento en su extremo superior. Una bala de 50 g que se mueve horizontalmente a 240 m/s golpea la barra 1,61 m por debajo del pivote y queda incrustada. Usa g = 9,81 m/s². Halla el mayor ángulo φ respecto a la vertical que alcanza la barra al oscilar.
Un motor de 1,1 kW a 960 rpm acciona un tornillo sinfín de 2 entrada(s). La rueda tiene 48 dientes y la transmisión tiene un rendimiento del 85 %. Halla el par de salida Tw en el eje de la rueda.
En un tren de engranajes compuesto, el engranaje A (24 dientes), en el eje de entrada que gira a 960 rpm, acciona el engranaje B (30 dientes). El engranaje C (12 dientes) está fijado al mismo eje que B y acciona el engranaje D (25 dientes) del eje de salida. Halla la velocidad de salida nout.
Una masa de 0,7 kg unida a un muelle con k = 40 N/m oscila sobre una superficie sin rozamiento con una amplitud de 14 cm. Halla su velocidad v cuando está a 12 cm del equilibrio.
Un cuerpo describe un movimiento armónico simple con periodo 1,5 s y amplitud 9 cm. ¿Cuál es el tiempo mínimo t que necesita para pasar del equilibrio a un desplazamiento de 8,1 cm?
Una masa de 12 kg está soportada por un muelle con una rigidez de 200 kN/m y un amortiguador viscoso con un coeficiente de amortiguamiento de 150 N·s/m. Halla el factor de amortiguamiento ζ.
Una masa de 5 kg cuelga de dos muelles unidos uno tras otro (en serie): el muelle superior tiene k₁ = 15 kN/m y el inferior k₂ = 25 kN/m. Halla la rigidez equivalente keq del sistema de muelles en kN/m.
Respuesta: a = 1,096 m/s²
Movimiento con aceleración constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² y v² = v₀² + 2·a·s. Elige la ecuación que contiene las tres magnitudes que conoces y la que buscas, y mantén los signos coherentes con un único sentido positivo.
Respuesta: s = 39,2 m
Movimiento con aceleración constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² y v² = v₀² + 2·a·s. Elige la ecuación que contiene las tres magnitudes que conoces y la que buscas, y mantén los signos coherentes con un único sentido positivo.
Respuesta: μ = 0,09886
Segunda ley de Newton: la fuerza neta sobre un cuerpo es igual a su masa por su aceleración, ΣF = m·a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre, elige un sentido positivo a lo largo del movimiento y suma todas las fuerzas en esa dirección: las fuerzas aplicadas, el rozamiento μ·N en contra del movimiento y las componentes del peso.
Respuesta: a = 3,999 m/s²
Segunda ley de Newton: la fuerza neta sobre un cuerpo es igual a su masa por su aceleración, ΣF = m·a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre, elige un sentido positivo a lo largo del movimiento y suma todas las fuerzas en esa dirección: las fuerzas aplicadas, el rozamiento μ·N en contra del movimiento y las componentes del peso.
Respuesta: y = 4,144 m
Tiro parabólico: sin resistencia del aire, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Las dos direcciones son independientes, salvo que comparten el mismo tiempo.
En la pared la pelota ya está bajando.
Respuesta: x = 122,9 m
Tiro parabólico: sin resistencia del aire, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Las dos direcciones son independientes, salvo que comparten el mismo tiempo.
Raíz mayor: la pelota está bajando.
Respuesta: θ = 7,173 °
Movimiento circular uniforme: un objeto que se mueve con velocidad v en una circunferencia de radio r tiene una aceleración dirigida hacia el centro a = v²/r, así que necesita una fuerza neta hacia el centro F = m·v²/r. Esa fuerza la proporciona algo real: el rozamiento, una tensión, la gravedad o una fuerza normal.
Respuesta: vmax = 25,71 m/s
Movimiento circular uniforme: un objeto que se mueve con velocidad v en una circunferencia de radio r tiene una aceleración dirigida hacia el centro a = v²/r, así que necesita una fuerza neta hacia el centro F = m·v²/r. Esa fuerza la proporciona algo real: el rozamiento, una tensión, la gravedad o una fuerza normal.
El rozamiento apunta pendiente abajo.
Respuesta: h = 0,7339 m
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d).
Respuesta: v = 4,701 m/s
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d).
Respuesta: ΔK = 7634 J
Conservación de la cantidad de movimiento: si no actúa ninguna fuerza externa durante un choque, la cantidad de movimiento total Σm·v antes es igual a la total después. Las velocidades tienen sentido, así que elige un sentido positivo y pon un signo menos a las velocidades en sentido contrario. En un choque elástico también se conserva la energía cinética; en uno perfectamente inelástico los cuerpos quedan unidos.
La energía perdida se convierte en deformación, calor y sonido.
Respuesta: J = 11 N·s
Conservación de la cantidad de movimiento: si no actúa ninguna fuerza externa durante un choque, la cantidad de movimiento total Σm·v antes es igual a la total después. Las velocidades tienen sentido, así que elige un sentido positivo y pon un signo menos a las velocidades en sentido contrario. En un choque elástico también se conserva la energía cinética; en uno perfectamente inelástico los cuerpos quedan unidos.
Respuesta: T = 3211 N·m
Rotación alrededor de un eje fijo: la suma de los momentos respecto al eje es igual a I·α (ΣM = I·α), igual que ΣF = m·a en la traslación. En forma de energía, un par T que gira un ángulo θ (en radianes) realiza un trabajo T·θ, que cambia la energía cinética ½·I·ω²; la gravedad suma o resta m·g·Δh del centro de masa. La potencia es P = T·ω.
Respuesta: φ = 77,75 °
Rodadura y momento angular: un cuerpo que rueda sin deslizar tiene v = ω·r, así que su energía cinética es ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Por una pendiente eso da a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Cuando no actúa ningún momento externo respecto a un eje, el momento angular respecto a ese eje se mantiene constante, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, aunque se pierda energía cinética.
La fuerza del pivote pasa por el pivote, así que no tiene momento allí durante el impacto.
Respuesta: Tw = 223,2 N·m
Trenes de engranajes: los engranajes que engranan entre sí tienen la misma velocidad en los dientes, así que n₁·N₁ = n₂·N₂: el engranaje con menos dientes gira más rápido. Los engranajes montados en un mismo eje giran a la misma velocidad. La potencia se transmite (menos las pérdidas), así que el par aumenta cuando la velocidad disminuye: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, y P = T·ω con ω = 2π·n/60.
Respuesta: nout = 368,6 rpm
Trenes de engranajes: los engranajes que engranan entre sí tienen la misma velocidad en los dientes, así que n₁·N₁ = n₂·N₂: el engranaje con menos dientes gira más rápido. Los engranajes montados en un mismo eje giran a la misma velocidad. La potencia se transmite (menos las pérdidas), así que el par aumenta cuando la velocidad disminuye: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, y P = T·ω con ω = 2π·n/60.
relación total = 2,604 : 1
Respuesta: v = 0,5451 m/s
Movimiento armónico simple: una masa m en un muelle de constante elástica k oscila con frecuencia angular ω = √(k/m) y periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un péndulo simple de longitud L tiene T = 2π·√(L/g). Con amplitud A, la velocidad máxima es A·ω, la aceleración máxima A·ω² y la energía ½·k·A².
Respuesta: t = 0,2673 s
Movimiento armónico simple: una masa m en un muelle de constante elástica k oscila con frecuencia angular ω = √(k/m) y periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un péndulo simple de longitud L tiene T = 2π·√(L/g). Con amplitud A, la velocidad máxima es A·ω, la aceleración máxima A·ω² y la energía ½·k·A².
Respuesta: ζ = 0,04841
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, así que el sistema es subamortiguado y oscila mientras se amortigua.
Respuesta: keq = 9,375 kN/m
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Los muelles en serie soportan la misma fuerza y suman sus deformaciones, así que se combinan como inversos: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
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