Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 20 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
Un coche que circula a 90 km/h frena con una deceleración constante de 7,5 m/s² hasta detenerse. Halla la distancia de frenado s.
Se deja caer una piedra desde el reposo en un pozo. El chapoteo se oye 5 s después de soltar la piedra. La velocidad del sonido es 343 m/s; desprecia la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². Halla la profundidad d del pozo.
Un bloque de 17 kg baja deslizando por una rampa inclinada 25° respecto a la horizontal. El coeficiente de rozamiento dinámico es 0,25. Usa g = 9,81 m/s². Halla la aceleración a del bloque a lo largo de la rampa.
Un bloque de 8,5 kg sobre una mesa horizontal está unido, mediante una cuerda ligera que pasa por una polea sin rozamiento, a una masa colgante de 5 kg. El coeficiente de rozamiento dinámico entre el bloque y la mesa es 0,25. Usa g = 9,81 m/s². Halla la aceleración a del sistema.
Se chuta una pelota desde un terreno horizontal a 38 m/s y 35° por encima de la horizontal hacia una pared situada a 55 m. Desprecia la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². ¿A qué altura y pasa la pelota por la pared?
Se lanza una pelota a 20° sobre la horizontal desde lo alto de un acantilado de 15 m. Desprecia la resistencia del aire. Halla el tiempo de vuelo t hasta que la pelota toca el suelo.
Una bolita sujeta a un hilo de longitud 0,3 m describe una circunferencia horizontal de modo que el hilo forma un ángulo constante de 50° con la vertical (un péndulo cónico). Usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad v de la bola.
Se hace girar en una circunferencia vertical una bola atada a una cuerda de 1,5 m. Usa g = 9,81 m/s². ¿Cuál es la velocidad mínima vmin en el punto más alto para que la cuerda siga justo tensa?
Una bola de 1 kg cuelga de un hilo ligero de longitud 2 m. Se separa hasta que el hilo forma 20° con la vertical y se suelta desde el reposo. Halla la tensión T del hilo cuando la bola pasa por el punto más bajo.
Una vagoneta de 10 kg se suelta desde el reposo a una altura de 2,6 m sobre una pista lisa que conduce a un rizo circular vertical de radio 1 m. Halla la velocidad v de la vagoneta en lo más alto del rizo.
Un coche de 1600 kg que se mueve a 24 m/s choca con un coche parado de 2000 kg y ambos quedan unidos. ¿Cuánta energía cinética ΔK se pierde en el choque?
Un coche de 1000 kg choca con un coche aparcado de 1700 kg. Los restos quedan unidos y derrapan 6,5 m antes de detenerse. El coeficiente de rozamiento dinámico entre neumáticos y carretera es 0,7. Usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad v1 del primer coche justo antes del choque.
Una barra esbelta uniforme de masa 3 kg y longitud 1,9 m está articulada por un extremo y se suelta desde el reposo en posición horizontal. Ignora el rozamiento y usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad angular ω de la barra cuando pasa por la posición vertical.
Un cuerpo (cilindro macizo) rueda sin deslizar por una pendiente inclinada 20° respecto a la horizontal. Usa g = 9,81 m/s². Halla la aceleración a de su centro.
Un tornillo sinfín de 2 entrada(s) gira a 1440 rpm y acciona una rueda helicoidal de 30 dientes. Halla la velocidad nw de la rueda.
Un motor de 15 kW a 1440 rpm acciona la rueda A (18 dientes), que engrana con la rueda B (24 dientes). La rueda C (18 dientes), en el mismo eje que B, acciona la rueda D (72 dientes) en el eje de salida. Cada engrane tiene un rendimiento del 95 %. Halla el par de salida Tout.
¿Qué longitud debe tener un péndulo simple para que su periodo sea de 2,4 s? Usa g = 9,81 m/s². Halla L.
Una masa de 1,1 kg unida a un muelle con k = 270 N/m se separa 20 cm de la posición de equilibrio y se suelta. Halla su aceleración máxima amax.
Una masa de 40 kg está soportada por un muelle con una rigidez de 40 kN/m y un amortiguador viscoso con un coeficiente de amortiguamiento de 250 N·s/m. Halla el factor de amortiguamiento ζ.
Una masa de 20 kg cuelga de dos muelles uno al lado del otro (en paralelo), con rigideces k₁ = 15 kN/m y k₂ = 100 kN/m. La masa se mantiene horizontal. Halla la rigidez equivalente keq del sistema de muelles en kN/m.
Respuesta: s = 41,67 m
Movimiento con aceleración constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² y v² = v₀² + 2·a·s. Elige la ecuación que contiene las tres magnitudes que conoces y la que buscas, y mantén los signos coherentes con un único sentido positivo.
Respuesta: d = 107,7 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Solo la raíz positiva tiene sentido físico.
Respuesta: a = 1,923 m/s²
Segunda ley de Newton: la fuerza neta sobre un cuerpo es igual a su masa por su aceleración, ΣF = m·a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre, elige un sentido positivo a lo largo del movimiento y suma todas las fuerzas en esa dirección: las fuerzas aplicadas, el rozamiento μ·N en contra del movimiento y las componentes del peso.
Rampa abajo es positivo.
Respuesta: a = 2,089 m/s²
Segunda ley de Newton: la fuerza neta sobre un cuerpo es igual a su masa por su aceleración, ΣF = m·a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre, elige un sentido positivo a lo largo del movimiento y suma todas las fuerzas en esa dirección: las fuerzas aplicadas, el rozamiento μ·N en contra del movimiento y las componentes del peso.
Respuesta: y = 23,2 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
En la pared la pelota todavía está subiendo.
Respuesta: t = 2,826 s
Tiro parabólico: sin resistencia del aire, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Las dos direcciones son independientes, salvo que comparten el mismo tiempo.
La velocidad horizontal se mantiene constante; el movimiento vertical tiene una aceleración constante g = 9,81 m/s² hacia abajo.
Resuelve y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 y toma la raíz positiva.
Respuesta: v = 1,639 m/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
La tensión y la gravedad juntas dan la fuerza hacia el centro: tan θ = v²/(r·g).
Respuesta: vmin = 3,836 m/s
Movimiento circular uniforme: un objeto que se mueve con velocidad v en una circunferencia de radio r tiene una aceleración dirigida hacia el centro a = v²/r, así que necesita una fuerza neta hacia el centro F = m·v²/r. Esa fuerza la proporciona algo real: el rozamiento, una tensión, la gravedad o una fuerza normal.
Respuesta: T = 10,99 N
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d). En una trayectoria circular la fuerza neta hacia el centro debe ser igual a mv²/r.
Comprobación: T = mg(3 − 2cos θ) = 10,99 N.
Respuesta: v = 3,431 m/s
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d). En una trayectoria circular la fuerza neta hacia el centro debe ser igual a mv²/r.
La vagoneta completa el rizo justo cuando h = 2,5R; entonces N = 0 en lo más alto.
Respuesta: ΔK = 256000 J
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
La energía perdida se convierte en deformación, calor y sonido.
Respuesta: v1 = 25,51 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Respuesta: ω = 3,936 rad/s
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Respuesta: a = 2,237 m/s²
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Respuesta: nw = 96 rpm
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Respuesta: Tout = 478,8 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Respuesta: L = 1,431 m
Movimiento armónico simple: una masa m en un muelle de constante elástica k oscila con frecuencia angular ω = √(k/m) y periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un péndulo simple de longitud L tiene T = 2π·√(L/g). Con amplitud A, la velocidad máxima es A·ω, la aceleración máxima A·ω² y la energía ½·k·A².
Respuesta: amax = 49,09 m/s²
Movimiento armónico simple: una masa m en un muelle de constante elástica k oscila con frecuencia angular ω = √(k/m) y periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un péndulo simple de longitud L tiene T = 2π·√(L/g). Con amplitud A, la velocidad máxima es A·ω, la aceleración máxima A·ω² y la energía ½·k·A².
Respuesta: ζ = 0,09882
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, así que el sistema es subamortiguado y oscila mientras se amortigua.
Respuesta: keq = 115 kN/m
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Los muelles uno al lado del otro comparten la deformación y suman sus fuerzas, así que sus rigideces simplemente se suman: k = k1 + k2.
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