Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 20 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
Una conductora que circula a 90 km/h ve un obstáculo. Su tiempo de reacción es 1,5 s, tras el cual el coche frena con una deceleración constante de 7 m/s². Halla la distancia total de detención d desde el momento en que ve el obstáculo.
Un tranvía parte del reposo y acelera a 2,5 m/s² durante 10 s, después circula a velocidad constante durante 11 s y por último frena a 3 m/s² hasta detenerse. Halla la distancia total s entre las dos paradas.
Un bloque de 15 kg baja deslizando por una rampa sin rozamiento inclinada 25° respecto a la horizontal. Usa g = 9,81 m/s². Halla la aceleración a del bloque a lo largo de la rampa.
Un bloque de 6,5 kg sobre una rampa de 30° está unido mediante un hilo ligero, que pasa por una polea sin rozamiento en lo alto de la rampa, a una masa colgante de 6,5 kg. La masa colgante baja. La rampa no tiene rozamiento. Usa g = 9,81 m/s². Halla la aceleración a del sistema.
Se lanza una pelota a 60° sobre la horizontal desde el suelo llano. Desprecia la resistencia del aire. Halla la altura máxima H que alcanza la pelota.
Se lanza una pelota desde el nivel del suelo a 38 m/s y 45° por encima de la horizontal. Cae, ya bajando, sobre la azotea plana de un edificio de 13 m de altura. Desprecia la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². Halla la distancia horizontal x desde el punto de lanzamiento hasta donde cae.
Un ingeniero de carreteras quiere que los coches tomen una curva de radio 120 m a 50 km/h sin depender del rozamiento. Usa g = 9,81 m/s². Halla el ángulo de peralte θ.
Una curva de radio 180 m tiene un peralte de 15°, y el coeficiente de rozamiento estático entre neumáticos y carretera es 0,3. Usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad máxima vmax a la que un coche puede tomar la curva sin deslizar hacia arriba y hacia fuera.
Un bloque baja desde el reposo por una rampa inclinada 40° respecto a la horizontal. El coeficiente de rozamiento dinámico es 0,15. Halla su velocidad v tras deslizar 13 m por la rampa.
Se suelta desde el reposo un bloque de 2,5 kg a una altura de 3 m en una rampa lisa. Abajo cruza una franja horizontal rugosa de 3 m (μ = 0,15) y después choca contra un muelle (k = 2500 N/m) sobre una superficie lisa. Halla la velocidad v del bloque cuando llega al muelle.
Una bala de 5 g se dispara horizontalmente contra un bloque de madera de 1 kg que cuelga de hilos ligeros, y se queda incrustada en él. El bloque oscila hacia arriba hasta quedar 15 cm más alto que al principio. Usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad v de la bala antes del impacto.
Una pelota de 0,45 kg golpea una pared a 15 m/s y rebota en línea recta hacia atrás a 13 m/s. El contacto dura 40 ms. Halla la fuerza media Favg que ejerce la pared sobre la pelota.
Un volante de inercia con un momento de inercia de 20,5 kg·m² gira a 1700 rpm. Un freno aplica un par de rozamiento constante de 65 N·m. ¿Cuánto tiempo t tarda en detenerse?
Un cuerpo (aro delgado) rueda sin deslizar por una pendiente inclinada 35° respecto a la horizontal. Usa g = 9,81 m/s². Parte del reposo. ¿Cuánto tiempo t tarda en rodar 4,5 m por la pendiente?
Una polea de 160 mm a 1450 rpm acciona una polea de 200 mm mediante una correa con un 3 % de deslizamiento. Halla la velocidad n2 de la polea conducida.
En un tren de engranajes compuesto, el engranaje A (16 dientes), en el eje de entrada que gira a 3000 rpm, acciona el engranaje B (48 dientes). El engranaje C (18 dientes) está fijado al mismo eje que B y acciona el engranaje D (20 dientes) del eje de salida. Halla la velocidad de salida nout.
Un péndulo simple tiene una longitud de 1,4 m. Usa g = 9,81 m/s². Halla su periodo T para oscilaciones pequeñas.
Una masa de 2,8 kg se une al extremo inferior de un muelle vertical sin estirar con k = 160 N/m y se suelta desde el reposo. Usa g = 9,81 m/s². Halla el alargamiento máximo xmax del muelle en cm.
Una masa de 20 kg está soportada por un muelle con una rigidez de 80 kN/m y un amortiguador viscoso con un coeficiente de amortiguamiento de 200 N·s/m. Halla el factor de amortiguamiento ζ.
Una masa de 5 kg cuelga del muelle k₃ = 10 kN/m. El extremo superior de k₃ está unido a una barra rígida que cuelga de dos muelles uno al lado del otro, k₁ = 12 kN/m y k₂ = 20 kN/m; la barra se mantiene horizontal. Desprecia el amortiguamiento y las masas de los muelles y de la barra. Halla la frecuencia natural fn de vibración vertical en Hz.
Respuesta: d = 82,14 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Respuesta: s = 504,2 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Respuesta: a = 4,146 m/s²
Segunda ley de Newton: la fuerza neta sobre un cuerpo es igual a su masa por su aceleración, ΣF = m·a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre, elige un sentido positivo a lo largo del movimiento y suma todas las fuerzas en esa dirección: las fuerzas aplicadas, el rozamiento μ·N en contra del movimiento y las componentes del peso.
Rampa abajo es positivo.
Respuesta: a = 2,453 m/s²
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Respuesta: H = 7,492 m
Tiro parabólico: sin resistencia del aire, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Las dos direcciones son independientes, salvo que comparten el mismo tiempo.
La velocidad horizontal se mantiene constante; el movimiento vertical tiene una aceleración constante g = 9,81 m/s² hacia abajo.
En lo más alto la velocidad vertical es cero: vy² = 2gH.
Respuesta: x = 132,8 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Raíz mayor: la pelota está bajando.
Respuesta: θ = 9,306 °
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Respuesta: vmax = 33,02 m/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
El rozamiento apunta pendiente abajo.
Respuesta: v = 11,6 m/s
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d).
El bloque baja una altura d·sin θ mientras el rozamiento le quita μmg·cos θ·d. La masa se cancela.
Respuesta: v = 7,073 m/s
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d).
La rampa es lisa, así que solo la franja quita energía.
Respuesta: v = 344,8 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Respuesta: Favg = 315 N
Conservación de la cantidad de movimiento: si no actúa ninguna fuerza externa durante un choque, la cantidad de movimiento total Σm·v antes es igual a la total después. Las velocidades tienen sentido, así que elige un sentido positivo y pon un signo menos a las velocidades en sentido contrario. En un choque elástico también se conserva la energía cinética; en uno perfectamente inelástico los cuerpos quedan unidos.
Respuesta: t = 56,15 s
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Respuesta: t = 1,789 s
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Respuesta: n2 = 1125 rpm
Transmisiones por correa: sin deslizamiento, ambas poleas tienen la misma velocidad periférica v = π·d·n/60, así que n₁·d₁ = n₂·d₂ y la relación de velocidades es d₂/d₁. El deslizamiento s hace que la polea conducida gire un poco más despacio: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La potencia transmitida es P = (T₁ − T₂)·v, con T₁ la tensión del ramal tenso y T₂ la del ramal flojo. El rozamiento limita la relación de tensiones: T₁/T₂ = eμθ, donde θ es el ángulo de contacto en radianes sobre la polea menor; para una correa abierta θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) con distancia entre centros C.
Respuesta: nout = 900 rpm
Trenes de engranajes: los engranajes que engranan entre sí tienen la misma velocidad en los dientes, así que n₁·N₁ = n₂·N₂: el engranaje con menos dientes gira más rápido. Los engranajes montados en un mismo eje giran a la misma velocidad. La potencia se transmite (menos las pérdidas), así que el par aumenta cuando la velocidad disminuye: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, y P = T·ω con ω = 2π·n/60.
relación total = 3,333 : 1
Respuesta: T = 2,374 s
Movimiento armónico simple: una masa m en un muelle de constante elástica k oscila con frecuencia angular ω = √(k/m) y periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un péndulo simple de longitud L tiene T = 2π·√(L/g). Con amplitud A, la velocidad máxima es A·ω, la aceleración máxima A·ω² y la energía ½·k·A².
Respuesta: xmax = 34,34 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Respuesta: ζ = 0,07906
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, así que el sistema es subamortiguado y oscila mientras se amortigua.
Respuesta: fn = 6,213 Hz
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Solo k1 y k2 están en paralelo. Ese par está en serie con k3, así que combínalos como inversos.
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