Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 20 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
Un coche que circula a 80 km/h frena con una deceleración constante de 5 m/s² hasta detenerse. Halla la distancia de frenado s.
Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba a 5 m/s desde el borde de un tejado situado a 5 m sobre el suelo. Desprecia la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². Halla la altura máxima hmax sobre el suelo.
Un bloque de 11 kg baja deslizando por una rampa sin rozamiento inclinada 35° respecto a la horizontal. Usa g = 9,81 m/s². Halla la aceleración a del bloque a lo largo de la rampa.
Un bloque de 1 kg sobre una mesa horizontal está unido, mediante una cuerda ligera que pasa por una polea sin rozamiento, a una masa colgante de 0,5 kg. El coeficiente de rozamiento dinámico entre el bloque y la mesa es 0,2. Usa g = 9,81 m/s². Halla la tensión T de la cuerda.
Se lanza una pelota desde un terreno horizontal a 60° por encima de la horizontal y cae a 35 m. Desprecia la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad de lanzamiento v0.
Se lanza una pelota a 35° sobre la horizontal desde lo alto de un acantilado de 55 m. Desprecia la resistencia del aire. Halla el tiempo de vuelo t hasta que la pelota toca el suelo.
Un coche toma una curva plana de 75 m de radio. El coeficiente de rozamiento estático entre los neumáticos y la carretera es 0,5. Usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad máxima vmax a la que el coche puede tomar la curva sin derrapar.
Se hace girar en una circunferencia vertical una bola de 0,2 kg atada a una cuerda de 1,1 m. En el punto más bajo se mueve a 8 m/s. Usa g = 9,81 m/s². Halla la tensión T de la cuerda en el punto más bajo.
Un bloque baja desde el reposo por una rampa inclinada 20° respecto a la horizontal. El coeficiente de rozamiento dinámico es 0,25. Halla su velocidad v tras deslizar 10 m por la rampa.
Se suelta desde el reposo un bloque de 1 kg a una altura de 2 m en una rampa lisa. Abajo cruza una franja horizontal rugosa de 4,5 m (μ = 0,2) y después choca contra un muelle (k = 2500 N/m) sobre una superficie lisa. Halla la compresión máxima x del muelle.
Un deslizador de 5 kg que se mueve a 7 m/s choca frontalmente, de forma perfectamente elástica, con un deslizador de 4,5 kg en reposo sobre un carril sin rozamiento. Halla la velocidad v′1 del primer deslizador después del choque (positiva en su sentido inicial).
Una pelota de 0,25 kg golpea una pared a 19 m/s y rebota en línea recta hacia atrás a 13 m/s. El contacto dura 5 ms. Halla la fuerza media Favg que ejerce la pared sobre la pelota.
Una barra esbelta uniforme de masa 19 kg y longitud 1,6 m está articulada por un extremo y se mantiene horizontal. Se suelta desde el reposo. Usa g = 9,81 m/s². Halla la fuerza vertical R que el pasador ejerce sobre la barra justo después de soltarla.
Una barra esbelta uniforme de masa 2,5 kg y longitud 1,7 m cuelga en reposo de un pivote sin rozamiento en su extremo superior. Una bala de 35 g que se mueve horizontalmente a 320 m/s golpea la barra 1,63 m por debajo del pivote y queda incrustada. Halla la velocidad angular ω de la barra justo después del impacto.
Un motor de 1,1 kW que gira a 1450 rpm acciona un piñón de 20 dientes, que engrana con una rueda de 48 dientes. El par de engranajes tiene un rendimiento del 95 %. Halla el par de salida T2 en el eje de la rueda.
Una correa abierta conecta una polea de 125 mm y una polea de 200 mm cuyos centros están separados 500 mm. Halla el ángulo de contacto θ en la polea menor, en grados.
Una masa de 3,9 kg unida a un muelle con k = 80 N/m oscila sobre una superficie sin rozamiento con una amplitud de 11 cm. Halla su velocidad v cuando está a 5 cm del equilibrio.
Una bala de 5 g que se mueve a 150 m/s impacta y se queda incrustada en un bloque de 3,5 kg que descansa sobre una superficie sin rozamiento. El bloque está unido a un muelle horizontal con k = 100 N/m. Halla la amplitud A de la oscilación resultante en cm.
En un ensayo de vibración libre de un sistema masa–muelle amortiguado, a un pico de desplazamiento de 10 mm le sigue 4 ciclos después un pico de 3,7 mm. Halla el factor de amortiguamiento ζ.
Una masa de 100 kg cuelga de dos muelles uno al lado del otro (en paralelo), con rigideces k₁ = 50 kN/m y k₂ = 10 kN/m. La masa se mantiene horizontal. Halla la rigidez equivalente keq del sistema de muelles en kN/m.
Respuesta: s = 49,38 m
Movimiento con aceleración constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² y v² = v₀² + 2·a·s. Elige la ecuación que contiene las tres magnitudes que conoces y la que buscas, y mantén los signos coherentes con un único sentido positivo.
Respuesta: hmax = 6,274 m
Movimiento con aceleración constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² y v² = v₀² + 2·a·s. Elige la ecuación que contiene las tres magnitudes que conoces y la que buscas, y mantén los signos coherentes con un único sentido positivo.
Respuesta: a = 5,627 m/s²
Segunda ley de Newton: la fuerza neta sobre un cuerpo es igual a su masa por su aceleración, ΣF = m·a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre, elige un sentido positivo a lo largo del movimiento y suma todas las fuerzas en esa dirección: las fuerzas aplicadas, el rozamiento μ·N en contra del movimiento y las componentes del peso.
Rampa abajo es positivo.
Respuesta: T = 3,924 N
Segunda ley de Newton: la fuerza neta sobre un cuerpo es igual a su masa por su aceleración, ΣF = m·a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre, elige un sentido positivo a lo largo del movimiento y suma todas las fuerzas en esa dirección: las fuerzas aplicadas, el rozamiento μ·N en contra del movimiento y las componentes del peso.
Respuesta: v0 = 19,91 m/s
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Respuesta: t = 4,266 s
Tiro parabólico: sin resistencia del aire, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Las dos direcciones son independientes, salvo que comparten el mismo tiempo.
La velocidad horizontal se mantiene constante; el movimiento vertical tiene una aceleración constante g = 9,81 m/s² hacia abajo.
Resuelve y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 y toma la raíz positiva.
Respuesta: vmax = 19,18 m/s
Movimiento circular uniforme: un objeto que se mueve con velocidad v en una circunferencia de radio r tiene una aceleración dirigida hacia el centro a = v²/r, así que necesita una fuerza neta hacia el centro F = m·v²/r. Esa fuerza la proporciona algo real: el rozamiento, una tensión, la gravedad o una fuerza normal.
Respuesta: T = 13,6 N
Movimiento circular uniforme: un objeto que se mueve con velocidad v en una circunferencia de radio r tiene una aceleración dirigida hacia el centro a = v²/r, así que necesita una fuerza neta hacia el centro F = m·v²/r. Esa fuerza la proporciona algo real: el rozamiento, una tensión, la gravedad o una fuerza normal.
Hacia el centro (hacia arriba) es positivo.
Respuesta: v = 4,584 m/s
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d).
El bloque baja una altura d·sin θ mientras el rozamiento le quita μmg·cos θ·d. La masa se cancela.
Respuesta: x = 9,291 cm
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d).
La rampa es lisa, así que solo la franja quita energía.
Respuesta: v′1 = 0,3684 m/s
Conservación de la cantidad de movimiento: si no actúa ninguna fuerza externa durante un choque, la cantidad de movimiento total Σm·v antes es igual a la total después. Las velocidades tienen sentido, así que elige un sentido positivo y pon un signo menos a las velocidades en sentido contrario. En un choque elástico también se conserva la energía cinética; en uno perfectamente inelástico los cuerpos quedan unidos.
Resolver a la vez la conservación de la cantidad de movimiento y la de la energía da estos dos resultados.
Respuesta: Favg = 1600 N
Conservación de la cantidad de movimiento: si no actúa ninguna fuerza externa durante un choque, la cantidad de movimiento total Σm·v antes es igual a la total después. Las velocidades tienen sentido, así que elige un sentido positivo y pon un signo menos a las velocidades en sentido contrario. En un choque elástico también se conserva la energía cinética; en uno perfectamente inelástico los cuerpos quedan unidos.
Respuesta: R = 46,6 N
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
En el instante de soltarla ω = 0, así que no hay aceleración centrípeta y el centro acelera directamente hacia abajo.
R = m·g/4, independiente de la longitud.
Respuesta: ω = 7,299 rad/s
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
La fuerza del pivote pasa por el pivote, así que no tiene momento allí durante el impacto.
Respuesta: T2 = 16,52 N·m
Trenes de engranajes: los engranajes que engranan entre sí tienen la misma velocidad en los dientes, así que n₁·N₁ = n₂·N₂: el engranaje con menos dientes gira más rápido. Los engranajes montados en un mismo eje giran a la misma velocidad. La potencia se transmite (menos las pérdidas), así que el par aumenta cuando la velocidad disminuye: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, y P = T·ω con ω = 2π·n/60.
Respuesta: θ = 171,4 °
Transmisiones por correa: sin deslizamiento, ambas poleas tienen la misma velocidad periférica v = π·d·n/60, así que n₁·d₁ = n₂·d₂ y la relación de velocidades es d₂/d₁. El deslizamiento s hace que la polea conducida gire un poco más despacio: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La potencia transmitida es P = (T₁ − T₂)·v, con T₁ la tensión del ramal tenso y T₂ la del ramal flojo. El rozamiento limita la relación de tensiones: T₁/T₂ = eμθ, donde θ es el ángulo de contacto en radianes sobre la polea menor; para una correa abierta θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) con distancia entre centros C.
Respuesta: v = 0,4438 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Respuesta: A = 4,006 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Respuesta: ζ = 0,03953
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Respuesta: keq = 60 kN/m
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Los muelles uno al lado del otro comparten la deformación y suman sus fuerzas, así que sus rigideces simplemente se suman: k = k1 + k2.
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