Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 20 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
Una conductora que circula a 36 km/h ve un obstáculo. Su tiempo de reacción es 1,1 s, tras el cual el coche frena con una deceleración constante de 4,5 m/s². Halla la distancia total de detención d desde el momento en que ve el obstáculo.
Un tranvía parte del reposo y acelera a 2 m/s² durante 7 s, después circula a velocidad constante durante 26 s y por último frena a 4 m/s² hasta detenerse. Halla la distancia total s entre las dos paradas.
Un bloque de 13 kg baja deslizando por una rampa inclinada 30° respecto a la horizontal. El coeficiente de rozamiento dinámico es 0,25. Usa g = 9,81 m/s². Halla la aceleración a del bloque a lo largo de la rampa.
Dos bloques sobre un suelo horizontal están unidos por un hilo ligero horizontal. Una fuerza horizontal de 45 N tira del bloque delantero de 7 kg; el bloque de 4 kg va remolcado detrás. El coeficiente de rozamiento dinámico es 0,25 para ambos bloques. Usa g = 9,81 m/s². Halla la tensión T del hilo de unión.
Se lanza una pelota desde un terreno horizontal a 25° por encima de la horizontal y cae a 80 m. Desprecia la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad de lanzamiento v0.
Se lanza una pelota a 45° sobre la horizontal desde lo alto de un acantilado de 20 m. Desprecia la resistencia del aire. Halla el tiempo de vuelo t hasta que la pelota toca el suelo.
Una bolita sujeta a un hilo de longitud 0,3 m describe una circunferencia horizontal de modo que el hilo forma un ángulo constante de 60° con la vertical (un péndulo cónico). Usa g = 9,81 m/s². Halla el tiempo T que tarda en dar una vuelta.
Se hace girar en una circunferencia vertical una bola atada a una cuerda de 1,3 m. Usa g = 9,81 m/s². ¿Cuál es la velocidad mínima vmin en el punto más alto para que la cuerda siga justo tensa?
Un coche de 1500 kg sube por una pendiente de 4° a 72 km/h constantes. La resistencia del aire y la resistencia a la rodadura suman en total 300 N. Halla la potencia P que deben entregar las ruedas, en kW.
Un muelle de rigidez 2000 N/m situado al pie de una pendiente de 25° se comprime 20 cm contra un bloque de 0,5 kg y se suelta. El coeficiente de rozamiento dinámico entre el bloque y la pendiente es 0,2. ¿Qué distancia d recorre el bloque pendiente arriba desde el punto de suelta hasta detenerse? (Desprecia el corto tramo en el que empuja el muelle, es decir, aplica el rozamiento y la gravedad a toda la distancia d.)
Un deslizador de 0,5 kg que se mueve a 9 m/s choca frontalmente, de forma perfectamente elástica, con un deslizador de 1 kg en reposo sobre un carril sin rozamiento. Halla la velocidad v′1 del primer deslizador después del choque (positiva en su sentido inicial).
En un cruce, un coche de 1400 kg que circula hacia el este a 20 m/s choca con un coche de 1400 kg que circula hacia el norte a 24 m/s. Los coches quedan unidos. Halla la dirección θ de los restos justo después del choque, medida desde el este hacia el norte.
Un eje transmite 79,5 kW a 1900 rpm. Halla el par T en el eje.
Un cuerpo (cilindro macizo) rueda sin deslizar por una pendiente inclinada 35° respecto a la horizontal. Usa g = 9,81 m/s². Parte del reposo. ¿Cuánto tiempo t tarda en rodar 9,5 m por la pendiente?
Un motor de 1,5 kW que gira a 1440 rpm acciona un piñón de 48 dientes, que engrana con una rueda de 60 dientes. Desprecia las pérdidas. Halla el par T1 en el eje del motor.
En un tren de engranajes compuesto, la rueda A (15 dientes) del eje de entrada gira a 2880 rpm y acciona la rueda B (30 dientes). La rueda C (40 dientes) está fijada al mismo eje que B y acciona la rueda D del eje de salida. La salida debe girar a 720 rpm. ¿Cuántos dientes ND debe tener la rueda D?
Un péndulo simple tiene una longitud de 1,9 m. Usa g = 9,81 m/s². Halla su periodo T para oscilaciones pequeñas.
Una masa de 1 kg se une al extremo inferior de un muelle vertical sin estirar con k = 240 N/m y se suelta desde el reposo. Usa g = 9,81 m/s². Halla el alargamiento máximo xmax del muelle en cm.
En un ensayo de vibración libre de un sistema masa–muelle amortiguado, a un pico de desplazamiento de 10 mm le sigue 2 ciclos después un pico de 7,8 mm. Halla el factor de amortiguamiento ζ.
Una masa de 25 kg cuelga de dos muelles unidos uno tras otro (en serie): el muelle superior tiene k₁ = 40 kN/m y el inferior k₂ = 80 kN/m. Halla la rigidez equivalente keq del sistema de muelles en kN/m.
Respuesta: d = 22,11 m
Movimiento con aceleración constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² y v² = v₀² + 2·a·s. Elige la ecuación que contiene las tres magnitudes que conoces y la que buscas, y mantén los signos coherentes con un único sentido positivo.
Respuesta: s = 437,5 m
Movimiento con aceleración constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² y v² = v₀² + 2·a·s. Elige la ecuación que contiene las tres magnitudes que conoces y la que buscas, y mantén los signos coherentes con un único sentido positivo.
Respuesta: a = 2,781 m/s²
Segunda ley de Newton: la fuerza neta sobre un cuerpo es igual a su masa por su aceleración, ΣF = m·a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre, elige un sentido positivo a lo largo del movimiento y suma todas las fuerzas en esa dirección: las fuerzas aplicadas, el rozamiento μ·N en contra del movimiento y las componentes del peso.
Rampa abajo es positivo.
Respuesta: T = 16,36 N
Segunda ley de Newton: la fuerza neta sobre un cuerpo es igual a su masa por su aceleración, ΣF = m·a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre, elige un sentido positivo a lo largo del movimiento y suma todas las fuerzas en esa dirección: las fuerzas aplicadas, el rozamiento μ·N en contra del movimiento y las componentes del peso.
Con el mismo μ en ambos bloques, el rozamiento desaparece: T = F·m₁/(m₁ + m₂).
Respuesta: v0 = 32,01 m/s
Tiro parabólico: sin resistencia del aire, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Las dos direcciones son independientes, salvo que comparten el mismo tiempo.
Respuesta: t = 3,698 s
Tiro parabólico: sin resistencia del aire, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Las dos direcciones son independientes, salvo que comparten el mismo tiempo.
La velocidad horizontal se mantiene constante; el movimiento vertical tiene una aceleración constante g = 9,81 m/s² hacia abajo.
Resuelve y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 y toma la raíz positiva.
Respuesta: T = 0,7769 s
Movimiento circular uniforme: un objeto que se mueve con velocidad v en una circunferencia de radio r tiene una aceleración dirigida hacia el centro a = v²/r, así que necesita una fuerza neta hacia el centro F = m·v²/r. Esa fuerza la proporciona algo real: el rozamiento, una tensión, la gravedad o una fuerza normal.
La tensión y la gravedad juntas dan la fuerza hacia el centro: tan θ = v²/(r·g).
Respuesta: vmin = 3,571 m/s
Movimiento circular uniforme: un objeto que se mueve con velocidad v en una circunferencia de radio r tiene una aceleración dirigida hacia el centro a = v²/r, así que necesita una fuerza neta hacia el centro F = m·v²/r. Esa fuerza la proporciona algo real: el rozamiento, una tensión, la gravedad o una fuerza normal.
Respuesta: P = 26,53 kW
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d). La potencia es la fuerza por la velocidad: P = F·v.
Respuesta: d = 13,5 m
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d).
Respuesta: v′1 = −3 m/s
Conservación de la cantidad de movimiento: si no actúa ninguna fuerza externa durante un choque, la cantidad de movimiento total Σm·v antes es igual a la total después. Las velocidades tienen sentido, así que elige un sentido positivo y pon un signo menos a las velocidades en sentido contrario. En un choque elástico también se conserva la energía cinética; en uno perfectamente inelástico los cuerpos quedan unidos.
Resolver a la vez la conservación de la cantidad de movimiento y la de la energía da estos dos resultados.
El signo menos significa que el primer deslizador rebota hacia atrás.
Respuesta: θ = 50,19 °
Conservación de la cantidad de movimiento: si no actúa ninguna fuerza externa durante un choque, la cantidad de movimiento total Σm·v antes es igual a la total después. Las velocidades tienen sentido, así que elige un sentido positivo y pon un signo menos a las velocidades en sentido contrario. En un choque elástico también se conserva la energía cinética; en uno perfectamente inelástico los cuerpos quedan unidos.
Respuesta: T = 399,6 N·m
Rotación alrededor de un eje fijo: la suma de los momentos respecto al eje es igual a I·α (ΣM = I·α), igual que ΣF = m·a en la traslación. En forma de energía, un par T que gira un ángulo θ (en radianes) realiza un trabajo T·θ, que cambia la energía cinética ½·I·ω²; la gravedad suma o resta m·g·Δh del centro de masa. La potencia es P = T·ω.
Respuesta: t = 2,251 s
Rodadura y momento angular: un cuerpo que rueda sin deslizar tiene v = ω·r, así que su energía cinética es ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Por una pendiente eso da a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Cuando no actúa ningún momento externo respecto a un eje, el momento angular respecto a ese eje se mantiene constante, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, aunque se pierda energía cinética.
Respuesta: T1 = 9,947 N·m
Trenes de engranajes: los engranajes que engranan entre sí tienen la misma velocidad en los dientes, así que n₁·N₁ = n₂·N₂: el engranaje con menos dientes gira más rápido. Los engranajes montados en un mismo eje giran a la misma velocidad. La potencia se transmite (menos las pérdidas), así que el par aumenta cuando la velocidad disminuye: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, y P = T·ω con ω = 2π·n/60.
Respuesta: ND = 80
Trenes de engranajes: los engranajes que engranan entre sí tienen la misma velocidad en los dientes, así que n₁·N₁ = n₂·N₂: el engranaje con menos dientes gira más rápido. Los engranajes montados en un mismo eje giran a la misma velocidad. La potencia se transmite (menos las pérdidas), así que el par aumenta cuando la velocidad disminuye: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, y P = T·ω con ω = 2π·n/60.
Respuesta: T = 2,765 s
Movimiento armónico simple: una masa m en un muelle de constante elástica k oscila con frecuencia angular ω = √(k/m) y periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un péndulo simple de longitud L tiene T = 2π·√(L/g). Con amplitud A, la velocidad máxima es A·ω, la aceleración máxima A·ω² y la energía ½·k·A².
Respuesta: xmax = 8,175 cm
Movimiento armónico simple: una masa m en un muelle de constante elástica k oscila con frecuencia angular ω = √(k/m) y periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un péndulo simple de longitud L tiene T = 2π·√(L/g). Con amplitud A, la velocidad máxima es A·ω, la aceleración máxima A·ω² y la energía ½·k·A².
Respuesta: ζ = 0,01977
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Respuesta: keq = 26,67 kN/m
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Los muelles en serie soportan la misma fuerza y suman sus deformaciones, así que se combinan como inversos: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
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