Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 20 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
Un avión parte del reposo y acelera uniformemente a 3,25 m/s² por una pista. Halla su velocidad v tras recorrer 1600 m.
Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba a 6 m/s desde el borde de un tejado situado a 30 m sobre el suelo. Desprecia la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². ¿Cuánto tiempo después del lanzamiento llega al suelo? Halla t.
Una caja desliza por un suelo horizontal con una velocidad inicial de 2,5 m/s y se detiene tras 1,3 m. Usa g = 9,81 m/s². Halla el coeficiente de rozamiento dinámico μ.
Se da un empujón a un bloque de modo que empieza a subir por una rampa de 20° con una velocidad de 12 m/s. El coeficiente de rozamiento dinámico es 0,15. Usa g = 9,81 m/s². ¿Qué distancia d recorre por la rampa antes de detenerse?
Se lanza una pelota a 60° sobre la horizontal desde el suelo llano. Desprecia la resistencia del aire. Halla la distancia horizontal x recorrida antes de que la pelota toque el suelo.
Se lanza una pelota a 50° sobre la horizontal desde lo alto de un acantilado de 25 m. Desprecia la resistencia del aire. Halla el tiempo de vuelo t hasta que la pelota toca el suelo.
Un coche toma una curva plana de 45 m de radio. El coeficiente de rozamiento estático entre los neumáticos y la carretera es 0,5. Usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad máxima vmax a la que el coche puede tomar la curva sin derrapar.
Una curva de radio 130 m tiene un peralte de 8°, y el coeficiente de rozamiento estático entre neumáticos y carretera es 0,4. Usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad máxima vmax a la que un coche puede tomar la curva sin deslizar hacia arriba y hacia fuera.
Un bloque de 1 kg desliza 12 m por una rampa inclinada 40° respecto a la horizontal, con un coeficiente de rozamiento dinámico de 0,1. Halla el trabajo Wf realizado contra el rozamiento.
Se suelta desde el reposo un bloque de 4 kg a una altura de 2,5 m en una rampa lisa. Abajo cruza una franja horizontal rugosa de 3,5 m (μ = 0,1) y después choca contra un muelle (k = 2500 N/m) sobre una superficie lisa. Halla la compresión máxima x del muelle.
Un coche de 1500 kg que se mueve a 6 m/s choca con un coche parado de 1000 kg y ambos quedan unidos. ¿Qué porcentaje ΔK/K de la energía cinética inicial se pierde?
En un cruce, un coche de 2000 kg que circula hacia el este a 25 m/s choca con un coche de 1100 kg que circula hacia el norte a 14 m/s. Los coches quedan unidos. Halla la dirección θ de los restos justo después del choque, medida desde el este hacia el norte.
Una barra esbelta uniforme de masa 6,5 kg y longitud 1 m está articulada por un extremo y se suelta desde el reposo en posición horizontal. Una pequeña bola de masa 1 kg está fijada a su extremo libre. Ignora el rozamiento y usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad angular ω de la barra cuando pasa por la posición vertical.
Un cuerpo (esfera hueca) parte del reposo y rueda sin deslizar por una pendiente inclinada 25° respecto a la horizontal. Usa g = 9,81 m/s². Su radio es 0,2 m. Halla su velocidad angular ω después de haber rodado 4,5 m a lo largo de la pendiente.
Dos ejes paralelos están a 75 mm de distancia. Deben unirse mediante un par de ruedas dentadas rectas de módulo 2,5 mm y una reducción de velocidad de 3 : 1. ¿Cuántos dientes N1 debe tener el piñón?
En un tren de engranajes compuesto, el engranaje A (18 dientes), en el eje de entrada que gira a 960 rpm, acciona el engranaje B (20 dientes). El engranaje C (15 dientes) está fijado al mismo eje que B y acciona el engranaje D (30 dientes) del eje de salida. Halla la velocidad de salida nout.
¿Qué longitud debe tener un péndulo simple para que su periodo sea de 2,2 s? Usa g = 9,81 m/s². Halla L.
Una masa de 2,7 kg unida a un muelle con k = 450 N/m se separa 11 cm de la posición de equilibrio y se suelta. Halla su aceleración máxima amax.
En un ensayo de vibración libre de un sistema masa–muelle amortiguado, a un pico de desplazamiento de 25 mm le sigue 4 ciclos después un pico de 2 mm. Halla el factor de amortiguamiento ζ.
Una masa de 40 kg cuelga de dos muelles unidos uno tras otro (en serie): el muelle superior tiene k₁ = 50 kN/m y el inferior k₂ = 20 kN/m. Desprecia el amortiguamiento y las masas de los muelles. Halla la frecuencia natural fn de vibración vertical en Hz.
Respuesta: v = 102 m/s
Movimiento con aceleración constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² y v² = v₀² + 2·a·s. Elige la ecuación que contiene las tres magnitudes que conoces y la que buscas, y mantén los signos coherentes con un único sentido positivo.
Respuesta: t = 3,159 s
Movimiento con aceleración constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² y v² = v₀² + 2·a·s. Elige la ecuación que contiene las tres magnitudes que conoces y la que buscas, y mantén los signos coherentes con un único sentido positivo.
Hacia arriba es positivo y el suelo está h₀ por debajo del punto de partida.
Solo la raíz positiva tiene sentido físico.
Respuesta: μ = 0,245
Segunda ley de Newton: la fuerza neta sobre un cuerpo es igual a su masa por su aceleración, ΣF = m·a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre, elige un sentido positivo a lo largo del movimiento y suma todas las fuerzas en esa dirección: las fuerzas aplicadas, el rozamiento μ·N en contra del movimiento y las componentes del peso.
Respuesta: d = 15,2 m
Segunda ley de Newton: la fuerza neta sobre un cuerpo es igual a su masa por su aceleración, ΣF = m·a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre, elige un sentido positivo a lo largo del movimiento y suma todas las fuerzas en esa dirección: las fuerzas aplicadas, el rozamiento μ·N en contra del movimiento y las componentes del peso.
Ambas fuerzas apuntan rampa abajo; la masa se simplifica.
Respuesta: x = 17,3 m
Tiro parabólico: sin resistencia del aire, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Las dos direcciones son independientes, salvo que comparten el mismo tiempo.
La velocidad horizontal se mantiene constante; el movimiento vertical tiene una aceleración constante g = 9,81 m/s² hacia abajo.
Sale y cae a la misma altura: t = 2vy/g.
Respuesta: t = 5,866 s
Tiro parabólico: sin resistencia del aire, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Las dos direcciones son independientes, salvo que comparten el mismo tiempo.
La velocidad horizontal se mantiene constante; el movimiento vertical tiene una aceleración constante g = 9,81 m/s² hacia abajo.
Resuelve y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 y toma la raíz positiva.
Respuesta: vmax = 14,86 m/s
Movimiento circular uniforme: un objeto que se mueve con velocidad v en una circunferencia de radio r tiene una aceleración dirigida hacia el centro a = v²/r, así que necesita una fuerza neta hacia el centro F = m·v²/r. Esa fuerza la proporciona algo real: el rozamiento, una tensión, la gravedad o una fuerza normal.
Respuesta: vmax = 27,03 m/s
Movimiento circular uniforme: un objeto que se mueve con velocidad v en una circunferencia de radio r tiene una aceleración dirigida hacia el centro a = v²/r, así que necesita una fuerza neta hacia el centro F = m·v²/r. Esa fuerza la proporciona algo real: el rozamiento, una tensión, la gravedad o una fuerza normal.
El rozamiento apunta pendiente abajo.
Respuesta: Wf = 9,018 J
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d).
Respuesta: x = 25,98 cm
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d).
La rampa es lisa, así que solo la franja quita energía.
Respuesta: ΔK/K = 40 %
Conservación de la cantidad de movimiento: si no actúa ninguna fuerza externa durante un choque, la cantidad de movimiento total Σm·v antes es igual a la total después. Las velocidades tienen sentido, así que elige un sentido positivo y pon un signo menos a las velocidades en sentido contrario. En un choque elástico también se conserva la energía cinética; en uno perfectamente inelástico los cuerpos quedan unidos.
La energía perdida se convierte en deformación, calor y sonido.
Respuesta: θ = 17,12 °
Conservación de la cantidad de movimiento: si no actúa ninguna fuerza externa durante un choque, la cantidad de movimiento total Σm·v antes es igual a la total después. Las velocidades tienen sentido, así que elige un sentido positivo y pon un signo menos a las velocidades en sentido contrario. En un choque elástico también se conserva la energía cinética; en uno perfectamente inelástico los cuerpos quedan unidos.
Respuesta: ω = 5,131 rad/s
Rotación alrededor de un eje fijo: la suma de los momentos respecto al eje es igual a I·α (ΣM = I·α), igual que ΣF = m·a en la traslación. En forma de energía, un par T que gira un ángulo θ (en radianes) realiza un trabajo T·θ, que cambia la energía cinética ½·I·ω²; la gravedad suma o resta m·g·Δh del centro de masa. La potencia es P = T·ω.
Respuesta: ω = 23,66 rad/s
Rodadura y momento angular: un cuerpo que rueda sin deslizar tiene v = ω·r, así que su energía cinética es ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Por una pendiente eso da a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Cuando no actúa ningún momento externo respecto a un eje, el momento angular respecto a ese eje se mantiene constante, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, aunque se pierda energía cinética.
Rodadura sin deslizamiento: ω = v/r, y el rozamiento no realiza trabajo en el punto de contacto.
Respuesta: N1 = 15
Geometría de engranajes: el módulo m fija el tamaño del diente. Una rueda con N dientes tiene un diámetro primitivo d = m·N, dos ruedas que engranan tienen el mismo módulo, y su distancia entre centros es a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. La velocidad en la circunferencia primitiva es v = π·d·n/60, y la fuerza tangencial en el diente se obtiene del par: Ft = 2T/d.
Respuesta: nout = 432 rpm
Trenes de engranajes: los engranajes que engranan entre sí tienen la misma velocidad en los dientes, así que n₁·N₁ = n₂·N₂: el engranaje con menos dientes gira más rápido. Los engranajes montados en un mismo eje giran a la misma velocidad. La potencia se transmite (menos las pérdidas), así que el par aumenta cuando la velocidad disminuye: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, y P = T·ω con ω = 2π·n/60.
relación total = 2,222 : 1
Respuesta: L = 1,203 m
Movimiento armónico simple: una masa m en un muelle de constante elástica k oscila con frecuencia angular ω = √(k/m) y periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un péndulo simple de longitud L tiene T = 2π·√(L/g). Con amplitud A, la velocidad máxima es A·ω, la aceleración máxima A·ω² y la energía ½·k·A².
Respuesta: amax = 18,33 m/s²
Movimiento armónico simple: una masa m en un muelle de constante elástica k oscila con frecuencia angular ω = √(k/m) y periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un péndulo simple de longitud L tiene T = 2π·√(L/g). Con amplitud A, la velocidad máxima es A·ω, la aceleración máxima A·ω² y la energía ½·k·A².
Respuesta: ζ = 0,09999
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Respuesta: fn = 3,008 Hz
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Los muelles en serie soportan la misma fuerza y suman sus deformaciones, así que se combinan como inversos: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
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