Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 20 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
Un coche que circula a 120 km/h frena con una deceleración constante de 7 m/s² hasta detenerse. Halla la distancia de frenado s.
Un cohete de modelismo se lanza verticalmente hacia arriba desde el reposo. Su motor le da una aceleración constante hacia arriba de 36 m/s² durante 1,5 s; después el motor se apaga y el cohete se mueve libremente. Desprecia la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². Halla la altura máxima hmax que alcanza el cohete.
Se arrastra un trineo de 30 kg por nieve horizontal con una cuerda a 35° por encima de la horizontal y una fuerza de 160 N. El coeficiente de rozamiento dinámico es 0,2. Usa g = 9,81 m/s². Halla la aceleración a del trineo.
Dos bloques sobre un suelo horizontal están unidos por un hilo ligero horizontal. Una fuerza horizontal de 80 N tira del bloque delantero de 7 kg; el bloque de 6 kg va remolcado detrás. El coeficiente de rozamiento dinámico es 0,2 para ambos bloques. Usa g = 9,81 m/s². Halla la tensión T del hilo de unión.
Se lanza una pelota desde un terreno horizontal a 24 m/s y debe caer a 20 m. Desprecia la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². Halla el menor de los dos ángulos de lanzamiento posibles θ.
Se lanza una pelota a 17 m/s y 50° por encima de la horizontal desde lo alto de un acantilado de 60 m. Desprecia la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². Halla la altura máxima H sobre el suelo al pie del acantilado.
Un coche toma una curva plana de 25 m de radio. El coeficiente de rozamiento estático entre los neumáticos y la carretera es 0,6. Usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad máxima vmax a la que el coche puede tomar la curva sin derrapar.
Una bola de 1,6 kg sujeta a un hilo ligero de 0,9 m de longitud se hace girar en una circunferencia vertical. En el punto más bajo su velocidad es 11 m/s. Desprecia la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². Halla la tensión Ttop del hilo en el punto más alto.
Un bloque baja desde el reposo por una rampa inclinada 40° respecto a la horizontal. El coeficiente de rozamiento dinámico es 0,15. Halla su velocidad v tras deslizar 14 m por la rampa.
Un muelle de rigidez 3000 N/m situado al pie de una pendiente de 25° se comprime 8 cm contra un bloque de 2 kg y se suelta. El coeficiente de rozamiento dinámico entre el bloque y la pendiente es 0,15. ¿Qué distancia d recorre el bloque pendiente arriba desde el punto de suelta hasta detenerse? (Desprecia el corto tramo en el que empuja el muelle, es decir, aplica el rozamiento y la gravedad a toda la distancia d.)
Un deslizador de 4,5 kg que se mueve a 11 m/s choca frontalmente, de forma perfectamente elástica, con un deslizador de 5 kg en reposo sobre un carril sin rozamiento. Halla la velocidad v′2 del segundo deslizador después del choque.
Un coche de 1500 kg choca con un coche aparcado de 1200 kg. Los restos quedan unidos y derrapan 12 m antes de detenerse. El coeficiente de rozamiento dinámico entre neumáticos y carretera es 0,75. Usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad v1 del primer coche justo antes del choque.
Una barra esbelta uniforme de masa 1 kg y longitud 1,6 m está articulada por un extremo y se suelta desde el reposo en posición horizontal. Una pequeña bola de masa 3 kg está fijada a su extremo libre. Ignora el rozamiento y usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad angular ω de la barra cuando pasa por la posición vertical.
Un cuerpo (aro delgado) rueda sin deslizar por una pendiente inclinada 35° respecto a la horizontal. Usa g = 9,81 m/s². Halla la aceleración a de su centro.
Una correa pasa por una polea motriz de 125 mm a 960 rpm. La tensión es de 1000 N en el ramal tenso y de 300 N en el ramal flojo. Halla la potencia P transmitida, en kW.
Un motor de 3 kW a 2900 rpm acciona la rueda A (15 dientes), que engrana con la rueda B (16 dientes). La rueda C (40 dientes), en el mismo eje que B, acciona la rueda D (60 dientes) en el eje de salida. Cada engrane tiene un rendimiento del 98 %. Halla el par de salida Tout.
¿Qué longitud debe tener un péndulo simple para que su periodo sea de 1,4 s? Usa g = 9,81 m/s². Halla L.
Una bala de 8 g que se mueve a 400 m/s impacta y se queda incrustada en un bloque de 2,5 kg que descansa sobre una superficie sin rozamiento. El bloque está unido a un muelle horizontal con k = 2000 N/m. Halla la amplitud A de la oscilación resultante en cm.
Una masa de 5 kg está soportada por un muelle con una rigidez de 15 kN/m y un amortiguador viscoso con un coeficiente de amortiguamiento de 270 N·s/m. Halla el factor de amortiguamiento ζ.
Una masa de 50 kg cuelga del muelle k₃ = 10 kN/m. El extremo superior de k₃ está unido a una barra rígida que cuelga de dos muelles uno al lado del otro, k₁ = 30 kN/m y k₂ = 40 kN/m; la barra se mantiene horizontal. Desprecia el amortiguamiento y las masas de los muelles y de la barra. Halla la frecuencia natural fn de vibración vertical en Hz.
Respuesta: s = 79,37 m
Movimiento con aceleración constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² y v² = v₀² + 2·a·s. Elige la ecuación que contiene las tres magnitudes que conoces y la que buscas, y mantén los signos coherentes con un único sentido positivo.
Respuesta: hmax = 189,1 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
En el punto más alto la velocidad es nula.
Respuesta: a = 3,019 m/s²
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Respuesta: T = 36,92 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Con el mismo μ en ambos bloques, el rozamiento desaparece: T = F·m₁/(m₁ + m₂).
Respuesta: θ = 9,957 °
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
La otra solución es 90° − θ = 80,04°.
Respuesta: H = 68,64 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Respuesta: vmax = 12,13 m/s
Movimiento circular uniforme: un objeto que se mueve con velocidad v en una circunferencia de radio r tiene una aceleración dirigida hacia el centro a = v²/r, así que necesita una fuerza neta hacia el centro F = m·v²/r. Esa fuerza la proporciona algo real: el rozamiento, una tensión, la gravedad o una fuerza normal.
Respuesta: Ttop = 136,6 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
La energía cinética se transforma en energía potencial a lo largo de una altura 2r.
La tensión y la gravedad apuntan ambas hacia abajo, hacia el centro.
Respuesta: v = 12,04 m/s
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d).
El bloque baja una altura d·sin θ mientras el rozamiento le quita μmg·cos θ·d. La masa se cancela.
Respuesta: d = 0,876 m
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d).
Respuesta: v′2 = 10,42 m/s
Conservación de la cantidad de movimiento: si no actúa ninguna fuerza externa durante un choque, la cantidad de movimiento total Σm·v antes es igual a la total después. Las velocidades tienen sentido, así que elige un sentido positivo y pon un signo menos a las velocidades en sentido contrario. En un choque elástico también se conserva la energía cinética; en uno perfectamente inelástico los cuerpos quedan unidos.
Resolver a la vez la conservación de la cantidad de movimiento y la de la energía da estos dos resultados.
Respuesta: v1 = 23,92 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Respuesta: ω = 3,588 rad/s
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Respuesta: a = 2,813 m/s²
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Respuesta: P = 4,398 kW
Transmisiones por correa: sin deslizamiento, ambas poleas tienen la misma velocidad periférica v = π·d·n/60, así que n₁·d₁ = n₂·d₂ y la relación de velocidades es d₂/d₁. El deslizamiento s hace que la polea conducida gire un poco más despacio: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La potencia transmitida es P = (T₁ − T₂)·v, con T₁ la tensión del ramal tenso y T₂ la del ramal flojo. El rozamiento limita la relación de tensiones: T₁/T₂ = eμθ, donde θ es el ángulo de contacto en radianes sobre la polea menor; para una correa abierta θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) con distancia entre centros C.
Respuesta: Tout = 15,18 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Respuesta: L = 0,487 m
Movimiento armónico simple: una masa m en un muelle de constante elástica k oscila con frecuencia angular ω = √(k/m) y periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un péndulo simple de longitud L tiene T = 2π·√(L/g). Con amplitud A, la velocidad máxima es A·ω, la aceleración máxima A·ω² y la energía ½·k·A².
Respuesta: A = 4,518 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Respuesta: ζ = 0,493
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, así que el sistema es subamortiguado y oscila mientras se amortigua.
Respuesta: fn = 2,105 Hz
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Solo k1 y k2 están en paralelo. Ese par está en serie con k3, así que combínalos como inversos.
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