La fuente de tensión Vₛ entre A y B tiene su borne + en A, así que impone VA − VB = Vₛ. Usa el análisis nodal con un supernodo para hallar la corriente Ix por la fuente de tensión, de A a B como indica la flecha.
Se conecta una carga RL = 6 Ω entre a–b. Sustituye el resto del circuito por su equivalente de Thévenin y halla la corriente de carga IL.
V1 = 18 VR1 = 3 ΩR2 = 10 ΩR3 = 2 ΩRL = 6 Ω
IL = A
6.Thévenin y NortonDifícil
Halla la corriente de Norton IN: la corriente que circula de a a b si se cortocircuitan los terminales.
V1 = 36 VIs = 1,5 AR1 = 4 ΩR2 = 8 ΩR3 = 12 Ω
IN = A
7.Transitorios RC y RLMedia
La bobina no lleva corriente antes de que el interruptor se cierre en t = 0. ¿Cuánto tiempo después de cerrar el interruptor alcanza la corriente el 50 % de su valor final? Halla t.
Vs = 5 VR = 33 ΩL = 33 mH
t = ms
8.Transitorios RC y RLDifícil
El interruptor lleva mucho tiempo cerrado, así que el circuito está en régimen permanente. En t = 0 se abre el interruptor. Halla la tensión del condensador vC en t = 400 ms.
Vs = 30 VR1 = 1 kΩR2 = 6,8 kΩC = 220 µFt = 400 ms
vC = V
9.Impedancia y fasores en alternaMedia
Un circuito RLC en serie con L = 20 mH debe resonar a 1000 Hz. Halla la capacidad C necesaria.
f0 = 1000 HzL = 20 mH
C = µF
10.Impedancia y fasores en alternaDifícil
Un circuito RLC en serie está conectado a una alimentación de 12 V (eficaces) y 500 Hz. Halla la frecuencia de resonancia f0 del circuito.
V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 10 µF
f0 = Hz
11.Potencia en alterna y factor de potenciaMedia
Un motor monofásico consume 22 kW con un factor de potencia de 0,85 inductivo de una alimentación de 240 V. Halla la corriente de línea I.
P = 22 kWpf = 0,85V = 240 V
I = A
12.Potencia en alterna y factor de potenciaDifícil
Una carga monofásica consume 40 kW con un factor de potencia de 0,75 inductivo de una alimentación de 400 V y 60 Hz. Un condensador conectado en paralelo eleva el factor de potencia a 0,95. Halla la capacidad C necesaria.
P = 40 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,95V = 400 Vf = 60 Hz
C = µF
13.Potencia trifásicaMedia
Un motor de inducción trifásico entrega 90 kW de potencia mecánica útil a plena carga. Con esta carga su rendimiento es del 93 % y su factor de potencia es 0,85 inductivo. La alimentación tiene una tensión de línea de 480 V. Halla la corriente de línea IL.
Pout = 90 kWη = 93%cos φ = 0,85VL = 480 V
IL = A
14.Potencia trifásicaDifícil
Una carga trifásica equilibrada consume 150 kW con un factor de potencia de 0,78 inductivo de una alimentación de 400 V (de línea) y 60 Hz. Una batería trifásica de condensadores en paralelo con la carga debe elevar el factor de potencia total a 0,92 inductivo. La potencia activa no cambia. Los condensadores están conectados en triángulo. Halla la capacidad Cph de cada condensador en µF.
P = 150 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,92VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
15.TransformadoresMedia
A un transformador ideal con una relación de transformación N₁:N₂ = 10:1 se le aplican 1200 V en el devanado primario. Se conecta una resistencia de 60 Ω en el devanado secundario. Halla la corriente del primario I1.
N1:N2 = 10:1V1 = 1200 VRL = 60 Ω
I1 = A
16.TransformadoresDifícil
Un transformador monofásico de 200 kVA tiene unas pérdidas en el hierro de 600 W y unas pérdidas en el cobre de 1500 W a carga nominal. ¿Con qué carga Sη,max, en kVA, es máximo su rendimiento?
S = 200 kVAPcore = 600 WPcu,fl = 1500 W
Sη,max = kVA
3Disoluciones
1.Resistencias en serie y en paralelo
Respuesta: Req = 12 Ω
Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.
Combina las resistencias desde el extremo más lejano
Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.
R3 + R4 = 6 + 6 = 12 Ω
R2 ∥ 12 = 6·12/(6+12) = 4 Ω
Req = R1 + 4 = 8 + 4 = 12 Ω
Respuesta
Req = 12 Ω
2.Resistencias en serie y en paralelo
Respuesta: Req = 23,21 Ω
Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.
Combina las resistencias desde el extremo más lejano
Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.
R5 + R6 = 6 + 3 = 9 Ω
R4 ∥ 9 = 6,207 Ω
R3 + 6,207 = 16,21 Ω
R2 ∥ 16,21 = 3,208 Ω
Req = R1 + 3,208 = 20 + 3,208 = 23,21 Ω
Respuesta
Req = 23,21 Ω
3.Análisis nodal
Respuesta: IR1 = 0,3571 A
Análisis nodal: elige un nodo de referencia, nombra las tensiones de nodo desconocidas, escribe la ley de corrientes de Kirchhoff en cada nodo desconocido usando la ley de Ohm (I = ΔV/R) y resuelve las ecuaciones resultantes.
Plantea los nodos
La tierra es el cable inferior. Las tensiones de nodo conocidas salen directamente de las fuentes (V1 = 12 V). Incógnitas: VA, VB.
LCK en el nodo A
Las corrientes que salen de A por las resistencias igualan la corriente que las fuentes inyectan en A.
VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/12 + (VA − 12)/12 + (VA − VB)/3 = 0
0,5·VA − 0,3333·VB = 1
LCK en el nodo B
Las corrientes que salen de B por las resistencias igualan la corriente que las fuentes inyectan en B.
VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/12 + (VB − VA)/3 = 1
−0,3333·VA + 0,4167·VB = 1
Resuelve
Δ = (0,5)(0,4167) − (−0,3333)(−0,3333) = 0,09722
VA = Δ1/Δ = 0,75/0,09722 = 7,714 V
VB = Δ2/Δ = 0,8333/0,09722 = 8,571 V
Respuesta
IR1 = (V1 − VA)/R1 = (12 − 7,714)/12 = 0,3571 A
4.Análisis nodal
Respuesta: Ix = −2,55 A
Análisis nodal: elige un nodo de referencia, nombra las tensiones de nodo desconocidas, escribe la ley de corrientes de Kirchhoff en cada nodo desconocido usando la ley de Ohm (I = ΔV/R) y resuelve las ecuaciones resultantes.
Forma un supernodo
La fuente de tensión entre A y B conduce una corriente desconocida, así que no se puede escribir la LCK en A ni en B por separado. Encierra A, B y la fuente en un supernodo: la corriente que entra es igual a la que sale.
VB = VA − 4
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + VB/R3 = Is
Resuelve
(VA − 15)/12 + VA/20 + (VA − 4)/10 = 5
VA·(1/12 + 1/20 + 1/10) = 5 + 15/12 + 4/10 = 6,65
VA = 6,65/0,2333 = 28,5 V
VB = 24,5 V
Corriente por la fuente de tensión
LCK solo en el nodo A: la corriente que llega por R₁ sale por R₂ y por la fuente de tensión.
IR1 = (15 − 28,5)/12 = −1,125 A
Ix = IR1 − VA/R2 = −1,125 − 28,5/20 = −2,55 A
Respuesta
Ix = −2,55 A
Un resultado negativo significa que la corriente real circula en contra de la flecha.
5.Thévenin y Norton
Respuesta: IL = 1,343 A
Teorema de Thévenin: toda red lineal de dos terminales se comporta como una única fuente de tensión Vth en serie con una resistencia Rth. El teorema de Norton da la misma red como una fuente de corriente IN = Vth/Rth en paralelo con Rth.
Halla Rth con todas las fuentes apagadas
Sustituye las fuentes de tensión por cortocircuitos y las de corriente por circuitos abiertos, y mira el circuito desde a–b.
R1 ∥ R2 = 3·10/(3+10) = 2,308 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,308 + 2 = 4,308 Ω
Halla Vth, la tensión en circuito abierto
Con a–b abiertos, no circula corriente por R₃, así que no hay caída en ella y V_b = V_A. R₁ y R₂ forman un divisor de tensión.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 18·10/(3+10) = 13,85 V
Conecta la carga al equivalente de Thévenin
La fuente de Thévenin y R_th en serie se comportan exactamente como el circuito original en a–b, así que la carga ve un simple lazo en serie.
IL = Vth/(Rth + RL) = 13,85/(4,308 + 6) = 1,343 A
6.Thévenin y Norton
Respuesta: IN = 3,136 A
Teorema de Thévenin: toda red lineal de dos terminales se comporta como una única fuente de tensión Vth en serie con una resistencia Rth. El teorema de Norton da la misma red como una fuente de corriente IN = Vth/Rth en paralelo con Rth.
Halla Rth con todas las fuentes apagadas
Sustituye las fuentes de tensión por cortocircuitos y las de corriente por circuitos abiertos, y mira el circuito desde a–b.
R1 ∥ R2 = 4·8/(4+8) = 2,667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,667 + 12 = 14,67 Ω
Halla Vth, la tensión en circuito abierto
Con a–b abiertos, el único camino para Iₛ es por R₃ hacia el nodo A. Halla V_A por superposición de V₁ e Iₛ y luego suma la caída en R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 24 + 1,5·2,667 = 28 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 28 + 1,5·12 = 46 V
Equivalente de Norton
Una fuente de Norton es el mismo circuito visto como una fuente de corriente en paralelo con R_th. Su corriente es la corriente de cortocircuito en a–b.
IN = Vth/Rth = 46/14,67 = 3,136 A
7.Transitorios RC y RL
Respuesta: t = 0,6931 ms
Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.
Constante de tiempo y corriente final
Mucho después de cerrar el interruptor la bobina se comporta como un cortocircuito, así que la corriente final la fija solo R.
τ = L/R = 33 mH / 33 Ω = 1 ms
i(∞) = Vs/R = 5/33 = 0,1515 A
Despeja el tiempo
0,5 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,5)
t = −1·ln(0,5) = 0,6931 ms
Respuesta
t = 0,6931 ms
8.Transitorios RC y RL
Respuesta: vC = 20,02 V
Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.
Tensión inicial del condensador
En régimen permanente el condensador es un circuito abierto, así que R₁ y R₂ forman un divisor de tensión. La tensión del condensador no puede saltar al abrirse el interruptor.
vC(0) = 30·6,8/(1 + 6,8) = 26,15 V
Constante de tiempo tras abrirse el interruptor
τ = R2·C = 6,8·220 = 1496 ms
Descarga
vC(t) = 26,15·e−400/1496 = 20,02 V
Respuesta
vC = 20,02 V
9.Impedancia y fasores en alterna
Respuesta: C = 1,267 µF
Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.
Condición de resonancia
En resonancia, las reactancias inductiva y capacitiva se anulan: ωL = 1/(ωC).
ω₀ = 2π·1000 = 6283 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(6283²·0,02) = 1,267 µF
Respuesta
C = 1,267 µF
10.Impedancia y fasores en alterna
Respuesta: f0 = 129,9 Hz
Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.
Resonancia
En resonancia, las reactancias inductiva y capacitiva se anulan: ωL = 1/(ωC). La frecuencia de la alimentación no influye.
Potencia en alterna: la potencia aparente S = V·I (VA) se divide en potencia activa P = S·cos φ (W), que hace trabajo útil, y potencia reactiva Q = S·sin φ (var), que va y viene entre fuente y carga. El factor de potencia es cos φ. Un condensador en paralelo aporta potencia reactiva en el propio punto, así que la corriente de línea baja para la misma potencia activa.
Corriente de línea
Solo la parte activa de la potencia hace trabajo, así que divide entre el factor de potencia.
I = P/(V·cos φ) = 22000/(240·0,85) = 107,8 A
Respuesta
I = 107,8 A
12.Potencia en alterna y factor de potencia
Respuesta: C = 366,9 µF
Potencia en alterna: la potencia aparente S = V·I (VA) se divide en potencia activa P = S·cos φ (W), que hace trabajo útil, y potencia reactiva Q = S·sin φ (var), que va y viene entre fuente y carga. El factor de potencia es cos φ. Un condensador en paralelo aporta potencia reactiva en el propio punto, así que la corriente de línea baja para la misma potencia activa.
Potencia reactiva antes y después
La potencia activa P no cambia; solo cambia la potencia reactiva que se toma de la red.
Q1 = P·tan φ1 = 40·tan(41,41°) = 35,28 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 40·tan(18,19°) = 13,15 kvar
QC = Q1 − Q2 = 22,13 kvar
Capacidad
Un condensador conectado a la red aporta Q = V²·ωC.
C = QC/(2πf·V²) = 22129/(2π·60·400²) = 366,9 µF
Respuesta
C = 366,9 µF
13.Potencia trifásica
Respuesta: IL = 136,9 A
Sistemas trifásicos equilibrados: en una conexión en Y (estrella) la tensión de línea es √3 veces la tensión de fase, VL = √3·Vph, y la corriente de línea es igual a la corriente de fase. En una conexión en Δ (triángulo) la tensión de línea es igual a la tensión de fase y la corriente de línea es √3 veces la corriente de fase, IL = √3·Iph. La potencia total es tres veces la potencia de una fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Potencia eléctrica absorbida
Pin = Pout/η = 90/0,93 = 96,77 kW
Corriente de línea
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 96774/(√3·480·0,85) = 136,9 A
Respuesta
IL = 136,9 A
14.Potencia trifásica
Respuesta: Cph = 311,9 µF
Sistemas trifásicos equilibrados: en una conexión en Y (estrella) la tensión de línea es √3 veces la tensión de fase, VL = √3·Vph, y la corriente de línea es igual a la corriente de fase. En una conexión en Δ (triángulo) la tensión de línea es igual a la tensión de fase y la corriente de línea es √3 veces la corriente de fase, IL = √3·Iph. La potencia total es tres veces la potencia de una fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Corrección del factor de potencia: los condensadores aportan potencia reactiva en el propio punto, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada uno de los tres condensadores aporta QC/3 = V²·ω·C, donde V es la tensión en ese condensador: VL en una batería en triángulo, VL/√3 en una batería en estrella.
Potencia reactiva antes y después
La potencia activa no cambia, así que cada factor de potencia fija la potencia reactiva: Q = P·tan φ.
Q1 = 150·tan(acos 0,78) = 150·0,8023 = 120,3 kvar
Q2 = 150·tan(acos 0,92) = 150·0,426 = 63,9 kvar
Potencia reactiva de los condensadores
QC = Q1 − Q2 = 56,44 kvar
Capacidad por fase
En una batería en triángulo cada condensador está conectado entre dos líneas.
V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 18814/(377·400²) = 311,9 µF
Respuesta
Cph = 311,9 µF
15.Transformadores
Respuesta: I1 = 0,2 A
Transformador ideal: las tensiones están en la relación de las espiras y las corrientes en la relación inversa: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a e I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, así que la potencia de entrada es igual a la de salida, V₁·I₁ = V₂·I₂. Una impedancia de carga Z en el secundario se ve como a²·Z desde el primario.
Tensión y corriente del secundario
V2 = 1200/10 = 120 V
I2 = 120/60 = 2 A
Corriente del primario
Un transformador ideal no tiene pérdidas: V₁·I₁ = V₂·I₂.
I1 = I2/10 = 0,2 A
Respuesta
I1 = 0,2 A
Comprobación: la carga vista desde el primario es a²·RL = 6000 Ω, y 1200/6000 da la misma corriente.
16.Transformadores
Respuesta: Sη,max = 126,5 kVA
Pérdidas del transformador: las pérdidas en el hierro (histéresis y corrientes de Foucault) dependen de la tensión y son las mismas con cualquier carga. Las pérdidas en el cobre de los devanados van con el cuadrado de la corriente, así que a una fracción x de la carga nominal valen x²·Pcu,fl. Rendimiento η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), con Pout = x·S·pf. El rendimiento es máximo con la carga a la que las pérdidas en el cobre igualan a las pérdidas en el hierro.
Pérdidas en el cobre iguales a las pérdidas en el hierro