Usa el análisis nodal para hallar la corriente IR3 por R3 en el sentido de la flecha.
V1 = 9 VIs = 2 AR1 = 3 ΩR2 = 2 ΩR3 = 3 ΩR4 = 6 Ω
IR3 = A
4.Análisis nodalDifícil
El rombo es una fuente de corriente controlada por tensión que inyecta una corriente de 0,2·VA (en A, con VA en V) hacia arriba al nodo B. Usa el análisis nodal para hallar la tensión de nodo VA (respecto a tierra).
La bobina no lleva corriente antes de que el interruptor se cierre en t = 0. Halla la tensión vL en la bobina en t = 1 ms.
Vs = 6 VR = 50 ΩL = 68 mHt = 1 ms
vL = V
8.Transitorios RC y RLDifícil
Un temporizador empieza a cargar en t = 0 un condensador descargado a través de una resistencia desde una alimentación de 5 V. Debe dispararse cuando la tensión del condensador llegue a 4 V, exactamente 10 ms después del inicio. Con R = 100 kΩ, halla la capacidad C necesaria.
Vs = 5 VVth = 4 VT = 10 msR = 100 kΩ
C = µF
9.Impedancia y fasores en alternaMedia
Un circuito RLC en serie está conectado a una alimentación de 100 V (eficaces) y 60 Hz. Halla el factor de potencia cos φ del circuito.
V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 25 ΩL = 50 mHC = 10 µF
cos φ =
10.Impedancia y fasores en alternaDifícil
Una resistencia R1 está conectada en serie con una combinación en paralelo de R2 y un condensador C, a una alimentación de 100 V (eficaces) y 100 Hz. Halla el módulo de la impedancia |Z|.
V = 100 V (rms)f = 100 HzR1 = 30 ΩR2 = 60 ΩC = 22 µF
|Z| = Ω
11.Potencia en alterna y factor de potenciaMedia
Dos cargas están conectadas en paralelo a una alimentación monofásica de 240 V: una carga de 15 kW con un factor de potencia de 0,75 inductivo y un calefactor de 2 kW (factor de potencia unidad). Halla la corriente total I que se toma de la alimentación.
12.Potencia en alterna y factor de potenciaDifícil
Un transformador monofásico de 200 kVA alimenta una carga de 64 kW con un factor de potencia de 0,75 inductivo. ¿Cuánta potencia activa adicional ΔP se puede añadir como carga resistiva (factor de potencia unidad) antes de que el transformador alcance su potencia nominal en kVA?
Smax = 200 kVAP1 = 64 kWpf1 = 0,75
ΔP = kW
13.Potencia trifásicaMedia
Un motor de inducción trifásico entrega 18,5 kW de potencia mecánica útil a plena carga. Con esta carga su rendimiento es del 88 % y su factor de potencia es 0,8 inductivo. La alimentación tiene una tensión de línea de 690 V. Halla la corriente de línea IL.
Pout = 18,5 kWη = 88%cos φ = 0,8VL = 690 V
IL = A
14.Potencia trifásicaDifícil
Una carga trifásica equilibrada consume 60 kW con un factor de potencia de 0,78 inductivo de una alimentación de 400 V (de línea) y 60 Hz. Una batería trifásica de condensadores en paralelo con la carga debe elevar el factor de potencia total a 0,95 inductivo. La potencia activa no cambia. Halla la potencia reactiva total QC que debe aportar la batería de condensadores, en kvar.
P = 60 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,95VL = 400 Vf = 60 Hz
QC = kvar
15.TransformadoresMedia
A un transformador ideal con una relación de transformación N₁:N₂ = 10:1 se le aplican 2400 V en el devanado primario. Se conecta una resistencia de 30 Ω en el devanado secundario. Halla la corriente del primario I1.
N1:N2 = 10:1V1 = 2400 VRL = 30 Ω
I1 = A
16.TransformadoresDifícil
Un transformador monofásico de 250 kVA tiene unas pérdidas en el hierro de 2000 W y unas pérdidas en el cobre de 4000 W a carga nominal. ¿Con qué carga Sη,max, en kVA, es máximo su rendimiento?
S = 250 kVAPcore = 2000 WPcu,fl = 4000 W
Sη,max = kVA
3Disoluciones
1.Resistencias en serie y en paralelo
Respuesta: IR1 = 0,3228 A
Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.
Combina las resistencias desde el extremo más lejano
Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.
R3 + R4 = 10 + 3 = 13 Ω
R2 ∥ 13 = 20·13/(20+13) = 7,879 Ω
Req = R1 + 7,879 = 20 + 7,879 = 27,88 Ω
Corriente de la fuente
La fuente solo ve Req, así que la ley de Ohm da la corriente que entrega. Esa corriente pasa por R₁.
IR1 = V1/Req = 9/27,88 = 0,3228 A
Respuesta
IR1 = 0,3228 A
2.Resistencias en serie y en paralelo
Respuesta: Req = 6,796 Ω
Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.
Combina las resistencias desde el extremo más lejano
Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.
R5 + R6 = 20 + 15 = 35 Ω
R4 ∥ 35 = 16,15 Ω
R3 + 16,15 = 41,15 Ω
R2 ∥ 41,15 = 2,796 Ω
Req = R1 + 2,796 = 4 + 2,796 = 6,796 Ω
Respuesta
Req = 6,796 Ω
3.Análisis nodal
Respuesta: IR3 = −0,8235 A
Análisis nodal: elige un nodo de referencia, nombra las tensiones de nodo desconocidas, escribe la ley de corrientes de Kirchhoff en cada nodo desconocido usando la ley de Ohm (I = ΔV/R) y resuelve las ecuaciones resultantes.
Plantea los nodos
La tierra es el cable inferior. Las tensiones de nodo conocidas salen directamente de las fuentes (V1 = 9 V). Incógnitas: VA, VB.
LCK en el nodo A
Las corrientes que salen de A por las resistencias igualan la corriente que las fuentes inyectan en A.
VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/2 + (VA − 9)/3 + (VA − VB)/3 = 0
1,167·VA − 0,3333·VB = 3
LCK en el nodo B
Las corrientes que salen de B por las resistencias igualan la corriente que las fuentes inyectan en B.
Análisis nodal: elige un nodo de referencia, nombra las tensiones de nodo desconocidas, escribe la ley de corrientes de Kirchhoff en cada nodo desconocido usando la ley de Ohm (I = ΔV/R) y resuelve las ecuaciones resultantes.
LCK en el nodo A
Las corrientes que salen de A por las resistencias son iguales a la corriente que las fuentes inyectan en A.
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
0,75·VA − 0,3333·VB = 4,5
LCK en el nodo B
La fuente dependiente inyecta g·VA en el nodo B. Trátala como una fuente independiente y luego pasa el término en VA al lado izquierdo.
(VB − VA)/R3 + VB/R4 = 0,2·VA
−0,5333·VA + 0,5333·VB = 0
Resuelve
Δ = (0,75)(0,5333) − (−0,3333)(−0,5333) = 0,2222
VA = Δ1/Δ = 2,4/0,2222 = 10,8 V
VB = Δ2/Δ = 2,4/0,2222 = 10,8 V
Respuesta
VA = 10,8 V
5.Thévenin y Norton
Respuesta: IL = 0,2069 A
Teorema de Thévenin: toda red lineal de dos terminales se comporta como una única fuente de tensión Vth en serie con una resistencia Rth. El teorema de Norton da la misma red como una fuente de corriente IN = Vth/Rth en paralelo con Rth.
Halla Rth con todas las fuentes apagadas
Sustituye las fuentes de tensión por cortocircuitos y las de corriente por circuitos abiertos, y mira el circuito desde a–b.
R1 ∥ R2 = 15·4/(15+4) = 3,158 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,158 + 3 = 6,158 Ω
Halla Vth, la tensión en circuito abierto
Con a–b abiertos, no circula corriente por R₃, así que no hay caída en ella y V_b = V_A. R₁ y R₂ forman un divisor de tensión.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·4/(15+4) = 1,895 V
Conecta la carga al equivalente de Thévenin
La fuente de Thévenin y R_th en serie se comportan exactamente como el circuito original en a–b, así que la carga ve un simple lazo en serie.
IL = Vth/(Rth + RL) = 1,895/(6,158 + 3) = 0,2069 A
6.Thévenin y Norton
Respuesta: IL = 2,048 A
Teorema de Thévenin: toda red lineal de dos terminales se comporta como una única fuente de tensión Vth en serie con una resistencia Rth. El teorema de Norton da la misma red como una fuente de corriente IN = Vth/Rth en paralelo con Rth.
Halla Rth con todas las fuentes apagadas
Sustituye las fuentes de tensión por cortocircuitos y las de corriente por circuitos abiertos, y mira el circuito desde a–b.
R1 ∥ R2 = 2·25/(2+25) = 1,852 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,852 + 20 = 21,85 Ω
Halla Vth, la tensión en circuito abierto
Con a–b abiertos, el único camino para Iₛ es por R₃ hacia el nodo A. Halla V_A por superposición de V₁ e Iₛ y luego suma la caída en R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 22,22 + 1,5·1,852 = 25 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 25 + 1,5·20 = 55 V
Conecta la carga al equivalente de Thévenin
La fuente de Thévenin y R_th en serie se comportan exactamente como el circuito original en a–b, así que la carga ve un simple lazo en serie.
IL = Vth/(Rth + RL) = 55/(21,85 + 5) = 2,048 A
7.Transitorios RC y RL
Respuesta: vL = 2,876 V
Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.
Constante de tiempo y corriente final
Mucho después de cerrar el interruptor la bobina se comporta como un cortocircuito, así que la corriente final la fija solo R.
τ = L/R = 68 mH / 50 Ω = 1,36 ms
i(∞) = Vs/R = 6/50 = 0,12 A
Tensión en la bobina
En t = 0 toda la tensión de alimentación aparece en la bobina; después cae a cero.
vL(t) = Vs·e−t/τ = 6·e−1/1,36 = 2,876 V
Respuesta
vL = 2,876 V
8.Transitorios RC y RL
Respuesta: C = 0,06213 µF
Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.
Constante de tiempo necesaria
4 = 5·(1 − e−10/τ) → τ = 10/ln(5/(5 − 4))
τ = 10/1,609 = 6,213 ms
Capacidad
kΩ por µF da milisegundos.
C = τ/R = 6,213/100 = 0,06213 µF
Respuesta
C = 0,06213 µF
9.Impedancia y fasores en alterna
Respuesta: cos φ = 0,1009
Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.
Reactancias
XL = 18,85 Ω, XC = 265,3 Ω
Impedancia
|Z| = √(25² + (−246,4)²) = 247,7 Ω
Factor de potencia
cos φ = R/|Z| = 25/247,7 = 0,1009
El circuito es capacitivo, así que el factor de potencia es capacitivo (en adelanto).
Respuesta
cos φ = 0,1009
10.Impedancia y fasores en alterna
Respuesta: |Z| = 71,87 Ω
Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.
Reactancia
XC = 1/(2π·100·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω
Combinación en paralelo
Multiplica numerador y denominador por el conjugado complejo para separar Zp en parte real e imaginaria.
Potencia en alterna: la potencia aparente S = V·I (VA) se divide en potencia activa P = S·cos φ (W), que hace trabajo útil, y potencia reactiva Q = S·sin φ (var), que va y viene entre fuente y carga. El factor de potencia es cos φ. Un condensador en paralelo aporta potencia reactiva en el propio punto, así que la corriente de línea baja para la misma potencia activa.
Potencia reactiva de cada carga
Una carga inductiva consume potencia reactiva (Q > 0); una carga capacitiva la entrega (Q < 0).
Q1 = 15·tan(arccos 0,75) = 13,23 kvar
Q2 = 0 = 0 kvar
Totales
P = 15 + 2 = 17 kW
Q = 13,23 + 0 = 13,23 kvar
S = √(17² + 13,23²) = 21,54 kVA
Corriente total
I = S/V = 21541/240 = 89,75 A
Respuesta
I = 89,75 A
12.Potencia en alterna y factor de potencia
Respuesta: ΔP = 127,9 kW
Potencia en alterna: la potencia aparente S = V·I (VA) se divide en potencia activa P = S·cos φ (W), que hace trabajo útil, y potencia reactiva Q = S·sin φ (var), que va y viene entre fuente y carga. El factor de potencia es cos φ. Un condensador en paralelo aporta potencia reactiva en el propio punto, así que la corriente de línea baja para la misma potencia activa.
Potencia reactiva de la carga existente
Q1 = 64·tan(arccos 0,75) = 56,44 kvar
Potencia activa total máxima
A plena carga nominal S = Smax, y la carga resistiva no cambia Q.
P = √(Smax² − Q1²) = √(200² − 56,44²) = 191,9 kW
Potencia activa adicional
ΔP = 191,9 − 64 = 127,9 kW
Respuesta
ΔP = 127,9 kW
13.Potencia trifásica
Respuesta: IL = 21,99 A
Sistemas trifásicos equilibrados: en una conexión en Y (estrella) la tensión de línea es √3 veces la tensión de fase, VL = √3·Vph, y la corriente de línea es igual a la corriente de fase. En una conexión en Δ (triángulo) la tensión de línea es igual a la tensión de fase y la corriente de línea es √3 veces la corriente de fase, IL = √3·Iph. La potencia total es tres veces la potencia de una fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Potencia eléctrica absorbida
Pin = Pout/η = 18,5/0,88 = 21,02 kW
Corriente de línea
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 21023/(√3·690·0,8) = 21,99 A
Respuesta
IL = 21,99 A
14.Potencia trifásica
Respuesta: QC = 28,42 kvar
Sistemas trifásicos equilibrados: en una conexión en Y (estrella) la tensión de línea es √3 veces la tensión de fase, VL = √3·Vph, y la corriente de línea es igual a la corriente de fase. En una conexión en Δ (triángulo) la tensión de línea es igual a la tensión de fase y la corriente de línea es √3 veces la corriente de fase, IL = √3·Iph. La potencia total es tres veces la potencia de una fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Corrección del factor de potencia: los condensadores aportan potencia reactiva en el propio punto, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada uno de los tres condensadores aporta QC/3 = V²·ω·C, donde V es la tensión en ese condensador: VL en una batería en triángulo, VL/√3 en una batería en estrella.
Potencia reactiva antes y después
La potencia activa no cambia, así que cada factor de potencia fija la potencia reactiva: Q = P·tan φ.
Q1 = 60·tan(acos 0,78) = 60·0,8023 = 48,14 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0,95) = 60·0,3287 = 19,72 kvar
Potencia reactiva de los condensadores
QC = Q1 − Q2 = 28,42 kvar
Respuesta
QC = 28,42 kvar
15.Transformadores
Respuesta: I1 = 0,8 A
Transformador ideal: las tensiones están en la relación de las espiras y las corrientes en la relación inversa: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a e I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, así que la potencia de entrada es igual a la de salida, V₁·I₁ = V₂·I₂. Una impedancia de carga Z en el secundario se ve como a²·Z desde el primario.
Tensión y corriente del secundario
V2 = 2400/10 = 240 V
I2 = 240/30 = 8 A
Corriente del primario
Un transformador ideal no tiene pérdidas: V₁·I₁ = V₂·I₂.
I1 = I2/10 = 0,8 A
Respuesta
I1 = 0,8 A
Comprobación: la carga vista desde el primario es a²·RL = 3000 Ω, y 2400/3000 da la misma corriente.
16.Transformadores
Respuesta: Sη,max = 176,8 kVA
Pérdidas del transformador: las pérdidas en el hierro (histéresis y corrientes de Foucault) dependen de la tensión y son las mismas con cualquier carga. Las pérdidas en el cobre de los devanados van con el cuadrado de la corriente, así que a una fracción x de la carga nominal valen x²·Pcu,fl. Rendimiento η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), con Pout = x·S·pf. El rendimiento es máximo con la carga a la que las pérdidas en el cobre igualan a las pérdidas en el hierro.
Pérdidas en el cobre iguales a las pérdidas en el hierro