Hay tres ramas conectadas entre el nodo A y tierra, como se muestra. Usa el análisis nodal para hallar la corriente I2 en la rama 2, que sube hacia el nodo A en el sentido de la flecha.
El rombo es una fuente de corriente controlada por tensión que inyecta una corriente de 0,25·VA (en A, con VA en V) hacia arriba al nodo B. Usa el análisis nodal para hallar la corriente IR4 por R4 en el sentido de la flecha.
Se conecta una carga RL = 20 Ω entre a–b. Sustituye el resto del circuito por su equivalente de Thévenin y halla la corriente de carga IL.
V1 = 30 VR1 = 10 ΩR2 = 8 ΩR3 = 20 ΩRL = 20 Ω
IL = A
6.Thévenin y NortonDifícil
Halla la tensión de Thévenin Vth vista desde los terminales a–b.
V1 = 36 VIs = 2 AR1 = 3 ΩR2 = 3 ΩR3 = 20 Ω
Vth = V
7.Transitorios RC y RLMedia
La bobina conduce una corriente estacionaria de 3 A. En t = 0 el interruptor cierra el lazo a través de R y se retira la fuente, así que la corriente de la bobina decae a través de R. Halla la corriente i en t = 5 ms.
i(0) = 3 AR = 10 ΩL = 33 mHt = 5 ms
i = A
8.Transitorios RC y RLDifícil
Justo antes de que el interruptor se cierre en t = 0, el condensador tiene 30 V con la polaridad indicada. Halla la tensión del condensador vC en t = 300 ms.
Vs = 24 VR = 10 kΩC = 22 µFvC(0) = 30 Vt = 300 ms
vC = V
9.Impedancia y fasores en alternaMedia
Un circuito RLC en serie está conectado a una alimentación de 24 V (eficaces) y 100 Hz. Halla el ángulo de fase φ de la impedancia, en grados (positivo cuando la corriente va retrasada respecto a la tensión).
V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 25 ΩL = 150 mHC = 22 µF
φ = °
10.Impedancia y fasores en alternaDifícil
Un circuito RLC en serie está conectado a una alimentación de 10 V (eficaces) y 1000 Hz. Halla la tensión eficaz VC en el condensador.
V = 10 V (rms)f = 1000 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 22 µF
VC = V
11.Potencia en alterna y factor de potenciaMedia
Un motor monofásico consume 25 kW con un factor de potencia de 0,7 inductivo de una alimentación de 400 V. Halla la potencia reactiva Q que consume.
P = 25 kWpf = 0,7V = 400 V
Q = kvar
12.Potencia en alterna y factor de potenciaDifícil
Una carga monofásica consume 5 kW con un factor de potencia de 0,7 inductivo de una alimentación de 400 V y 60 Hz. Un condensador conectado en paralelo eleva el factor de potencia a 0,95. Halla la capacidad C necesaria.
P = 5 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,95V = 400 Vf = 60 Hz
C = µF
13.Potencia trifásicaMedia
Una carga trifásica equilibrada consume una corriente de línea de 20 A de una alimentación con una tensión de línea de 400 V. El factor de potencia es 0,8 inductivo. Halla la potencia activa total P que consume la carga en kW.
VL = 400 VIL = 20 Acos φ = 0,8
P = kW
14.Potencia trifásicaDifícil
Una carga trifásica equilibrada consume 250 kW con un factor de potencia de 0,8 inductivo de una alimentación de 480 V (de línea) y 50 Hz. Una batería trifásica de condensadores en paralelo con la carga debe elevar el factor de potencia total a 0,98 inductivo. La potencia activa no cambia. Halla la potencia reactiva total QC que debe aportar la batería de condensadores, en kvar.
P = 250 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,98VL = 480 Vf = 50 Hz
QC = kvar
15.TransformadoresMedia
Un amplificador con una resistencia de salida de 5000 Ω alimenta un altavoz de 50 Ω a través de un transformador ideal. Para la máxima transferencia de potencia, el altavoz debe verse como 5000 Ω desde el amplificador. Halla la relación de transformación a = N₁/N₂.
Rs = 5000 ΩRL = 50 Ω
a =
16.TransformadoresDifícil
Un transformador monofásico de 100 kVA tiene unas pérdidas en el hierro de 500 W y unas pérdidas en el cobre de 750 W a carga nominal. ¿Con qué carga Sη,max, en kVA, es máximo su rendimiento?
S = 100 kVAPcore = 500 WPcu,fl = 750 W
Sη,max = kVA
3Disoluciones
1.Resistencias en serie y en paralelo
Respuesta: IR2 = 0,5806 A
Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.
Combina las resistencias desde el extremo más lejano
Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.
R3 + R4 = 10 + 5 = 15 Ω
R2 ∥ 15 = 4·15/(4+15) = 3,158 Ω
Req = R1 + 3,158 = 5 + 3,158 = 8,158 Ω
Corriente de la fuente
La fuente solo ve Req, así que la ley de Ohm da la corriente que entrega. Esa corriente pasa por R₁.
IR1 = V1/Req = 6/8,158 = 0,7355 A
Corriente por R₂
Resta la caída en R₁ para obtener la tensión en el nodo A, que es la tensión en R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 6 − 0,7355·5 = 2,323 V
IR2 = VA/R2 = 2,323/4 = 0,5806 A
Respuesta
IR2 = 0,5806 A
2.Resistencias en serie y en paralelo
Respuesta: IR2 = 1,662 A
Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.
Combina las resistencias desde el extremo más lejano
Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.
R5 + R6 = 10 + 6 = 16 Ω
R4 ∥ 16 = 6,857 Ω
R3 + 6,857 = 21,86 Ω
R2 ∥ 21,86 = 6,861 Ω
Req = R1 + 6,861 = 8 + 6,861 = 14,86 Ω
Corriente de la fuente
La fuente solo ve Req, así que la ley de Ohm da la corriente que entrega. Esa corriente pasa por R₁.
IR1 = V1/Req = 36/14,86 = 2,422 A
Corriente por R₂
Resta la caída en R₁ para obtener la tensión en el nodo A, que es la tensión en R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 36 − 2,422·8 = 16,62 V
IR2 = VA/R2 = 16,62/10 = 1,662 A
Respuesta
IR2 = 1,662 A
3.Análisis nodal
Respuesta: I2 = −0,4462 A
Análisis nodal: elige un nodo de referencia, nombra las tensiones de nodo desconocidas, escribe la ley de corrientes de Kirchhoff en cada nodo desconocido usando la ley de Ohm (I = ΔV/R) y resuelve las ecuaciones resultantes.
LCK en el nodo A
Toma el conductor inferior como tierra. Cada rama lleva (VA − Vk)/Rk saliendo de A, donde Vk es la tensión de su fuente (cero para una resistencia sola). Las corrientes que salen de A suman cero.
(VA − 24)/5 + (VA − 12)/15 + (VA − 15)/6 = 0
Despeja VA
VA = (24/5 + 12/15 + 15/6) / (1/5 + 1/15 + 1/6) = 8,1/0,4333 = 18,69 V
Corriente de rama
La flecha apunta hacia arriba por la rama, hacia el nodo A.
I2 = (12 − VA)/R2 = (12 − 18,69)/15 = −0,4462 A
Respuesta
I2 = −0,4462 A
Un resultado negativo significa que la corriente real circula en contra de la flecha.
4.Análisis nodal
Respuesta: IR4 = 0,5588 A
Análisis nodal: elige un nodo de referencia, nombra las tensiones de nodo desconocidas, escribe la ley de corrientes de Kirchhoff en cada nodo desconocido usando la ley de Ohm (I = ΔV/R) y resuelve las ecuaciones resultantes.
LCK en el nodo A
Las corrientes que salen de A por las resistencias son iguales a la corriente que las fuentes inyectan en A.
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
0,3·VA − 0,06667·VB = 0,5
LCK en el nodo B
La fuente dependiente inyecta g·VA en el nodo B. Trátala como una fuente independiente y luego pasa el término en VA al lado izquierdo.
(VB − VA)/R3 + VB/R4 = 0,25·VA
−0,3167·VA + 0,1333·VB = 0
Resuelve
Δ = (0,3)(0,1333) − (−0,06667)(−0,3167) = 0,01889
VA = Δ1/Δ = 0,06667/0,01889 = 3,529 V
VB = Δ2/Δ = 0,1583/0,01889 = 8,382 V
Corriente por R₄
IR4 = VB/R4 = 8,382/15 = 0,5588 A
Respuesta
IR4 = 0,5588 A
5.Thévenin y Norton
Respuesta: IL = 0,3 A
Teorema de Thévenin: toda red lineal de dos terminales se comporta como una única fuente de tensión Vth en serie con una resistencia Rth. El teorema de Norton da la misma red como una fuente de corriente IN = Vth/Rth en paralelo con Rth.
Halla Rth con todas las fuentes apagadas
Sustituye las fuentes de tensión por cortocircuitos y las de corriente por circuitos abiertos, y mira el circuito desde a–b.
R1 ∥ R2 = 10·8/(10+8) = 4,444 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4,444 + 20 = 24,44 Ω
Halla Vth, la tensión en circuito abierto
Con a–b abiertos, no circula corriente por R₃, así que no hay caída en ella y V_b = V_A. R₁ y R₂ forman un divisor de tensión.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 30·8/(10+8) = 13,33 V
Conecta la carga al equivalente de Thévenin
La fuente de Thévenin y R_th en serie se comportan exactamente como el circuito original en a–b, así que la carga ve un simple lazo en serie.
IL = Vth/(Rth + RL) = 13,33/(24,44 + 20) = 0,3 A
6.Thévenin y Norton
Respuesta: Vth = 61 V
Teorema de Thévenin: toda red lineal de dos terminales se comporta como una única fuente de tensión Vth en serie con una resistencia Rth. El teorema de Norton da la misma red como una fuente de corriente IN = Vth/Rth en paralelo con Rth.
Halla Rth con todas las fuentes apagadas
Sustituye las fuentes de tensión por cortocircuitos y las de corriente por circuitos abiertos, y mira el circuito desde a–b.
R1 ∥ R2 = 3·3/(3+3) = 1,5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,5 + 20 = 21,5 Ω
Halla Vth, la tensión en circuito abierto
Con a–b abiertos, el único camino para Iₛ es por R₃ hacia el nodo A. Halla V_A por superposición de V₁ e Iₛ y luego suma la caída en R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 18 + 2·1,5 = 21 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 21 + 2·20 = 61 V
7.Transitorios RC y RL
Respuesta: i = 0,6593 A
Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.
Constante de tiempo
τ = L/R = 33 mH / 10 Ω = 3,3 ms
Decaimiento de la corriente
i(t) = 3·e−5/3,3 = 0,6593 A
Respuesta
i = 0,6593 A
8.Transitorios RC y RL
Respuesta: vC = 25,53 V
Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.
Valor inicial, valor final, constante de tiempo
La tensión del condensador no puede saltar, así que parte de su valor almacenado y tiende a la tensión de la fuente.
vC(0) = 30 V, vC(∞) = Vs = 24 V
τ = R·C = 10 kΩ · 22 µF = 220 ms
vC(t) = 24 + (30 − 24)·e−t/τ
Tensión en el instante dado
vC(300) = 24 + (6)·e−300/220 = 25,53 V
Respuesta
vC = 25,53 V
9.Impedancia y fasores en alterna
Respuesta: φ = 41,22 °
Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.
Reactancias
ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XL = ωL = 628,3·0,15 = 94,25 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω
Impedancia
En serie, las impedancias se suman como números complejos: Z = R + j(XL − XC).
Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.
Reactancias
ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0,2 = 1257 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·22·10⁻⁶) = 7,234 Ω
Impedancia
En serie, las impedancias se suman como números complejos: Z = R + j(XL − XC).
La misma corriente pasa por todos los elementos de un circuito en serie.
I = V/|Z| = 10/1253 = 0,007978 A
Tensión en el condensador
VC = I·XC = 0,007978·7,234 = 0,05772 V
Respuesta
VC = 0,05772 V
11.Potencia en alterna y factor de potencia
Respuesta: Q = 25,51 kvar
Potencia en alterna: la potencia aparente S = V·I (VA) se divide en potencia activa P = S·cos φ (W), que hace trabajo útil, y potencia reactiva Q = S·sin φ (var), que va y viene entre fuente y carga. El factor de potencia es cos φ. Un condensador en paralelo aporta potencia reactiva en el propio punto, así que la corriente de línea baja para la misma potencia activa.
Ángulo
φ = arccos(0,7) = 45,57°, tan φ = 1,02
Potencia reactiva
Q = P·tan φ = 25·1,02 = 25,51 kvar
Respuesta
Q = 25,51 kvar
12.Potencia en alterna y factor de potencia
Respuesta: C = 57,32 µF
Potencia en alterna: la potencia aparente S = V·I (VA) se divide en potencia activa P = S·cos φ (W), que hace trabajo útil, y potencia reactiva Q = S·sin φ (var), que va y viene entre fuente y carga. El factor de potencia es cos φ. Un condensador en paralelo aporta potencia reactiva en el propio punto, así que la corriente de línea baja para la misma potencia activa.
Potencia reactiva antes y después
La potencia activa P no cambia; solo cambia la potencia reactiva que se toma de la red.
Q1 = P·tan φ1 = 5·tan(45,57°) = 5,101 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 5·tan(18,19°) = 1,643 kvar
QC = Q1 − Q2 = 3,458 kvar
Capacidad
Un condensador conectado a la red aporta Q = V²·ωC.
C = QC/(2πf·V²) = 3458/(2π·60·400²) = 57,32 µF
Respuesta
C = 57,32 µF
13.Potencia trifásica
Respuesta: P = 11,09 kW
Sistemas trifásicos equilibrados: en una conexión en Y (estrella) la tensión de línea es √3 veces la tensión de fase, VL = √3·Vph, y la corriente de línea es igual a la corriente de fase. En una conexión en Δ (triángulo) la tensión de línea es igual a la tensión de fase y la corriente de línea es √3 veces la corriente de fase, IL = √3·Iph. La potencia total es tres veces la potencia de una fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Potencia aparente
S = √3·VL·IL = √3·400·20 = 13,86 kVA
Potencia activa
P = S·cos φ = 13,86·0,8 = 11,09 kW
Respuesta
P = 11,09 kW
14.Potencia trifásica
Respuesta: QC = 136,7 kvar
Sistemas trifásicos equilibrados: en una conexión en Y (estrella) la tensión de línea es √3 veces la tensión de fase, VL = √3·Vph, y la corriente de línea es igual a la corriente de fase. En una conexión en Δ (triángulo) la tensión de línea es igual a la tensión de fase y la corriente de línea es √3 veces la corriente de fase, IL = √3·Iph. La potencia total es tres veces la potencia de una fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Corrección del factor de potencia: los condensadores aportan potencia reactiva en el propio punto, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada uno de los tres condensadores aporta QC/3 = V²·ω·C, donde V es la tensión en ese condensador: VL en una batería en triángulo, VL/√3 en una batería en estrella.
Potencia reactiva antes y después
La potencia activa no cambia, así que cada factor de potencia fija la potencia reactiva: Q = P·tan φ.
Q1 = 250·tan(acos 0,8) = 250·0,75 = 187,5 kvar
Q2 = 250·tan(acos 0,98) = 250·0,2031 = 50,76 kvar
Potencia reactiva de los condensadores
QC = Q1 − Q2 = 136,7 kvar
Respuesta
QC = 136,7 kvar
15.Transformadores
Respuesta: a = 10
Transformador ideal: las tensiones están en la relación de las espiras y las corrientes en la relación inversa: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a e I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, así que la potencia de entrada es igual a la de salida, V₁·I₁ = V₂·I₂. Una impedancia de carga Z en el secundario se ve como a²·Z desde el primario.
Adapta la carga referida
a²·50 = 5000
a = √(5000/50) = √100 = 10
Respuesta
a = 10
16.Transformadores
Respuesta: Sη,max = 81,65 kVA
Pérdidas del transformador: las pérdidas en el hierro (histéresis y corrientes de Foucault) dependen de la tensión y son las mismas con cualquier carga. Las pérdidas en el cobre de los devanados van con el cuadrado de la corriente, así que a una fracción x de la carga nominal valen x²·Pcu,fl. Rendimiento η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), con Pout = x·S·pf. El rendimiento es máximo con la carga a la que las pérdidas en el cobre igualan a las pérdidas en el hierro.
Pérdidas en el cobre iguales a las pérdidas en el hierro