La fuente de corriente se ajusta hasta que la tensión de nodo en A es VA = 4,5 V. Usa el análisis nodal para hallar la corriente de la fuente Is (con el sentido indicado).
Se conecta una carga RL = 12 Ω entre a–b. Sustituye el resto del circuito por su equivalente de Thévenin y halla la corriente de carga IL.
V1 = 9 VR1 = 20 ΩR2 = 20 ΩR3 = 10 ΩRL = 12 Ω
IL = A
6.Thévenin y NortonDifícil
Halla la tensión de Thévenin Vth vista desde los terminales a–b.
V1 = 15 VIs = 2 AR1 = 5 ΩR2 = 12 ΩR3 = 4 Ω
Vth = V
7.Transitorios RC y RLMedia
La bobina conduce una corriente estacionaria de 2,5 A. En t = 0 el interruptor cierra el lazo a través de R y se retira la fuente, así que la corriente de la bobina decae a través de R. Halla la tensión vR en R en t = 5 ms.
i(0) = 2,5 AR = 100 ΩL = 220 mHt = 5 ms
vR = V
8.Transitorios RC y RLDifícil
El interruptor lleva mucho tiempo cerrado, así que el circuito está en régimen permanente. En t = 0 se abre el interruptor. Halla la tensión del condensador vC en t = 300 ms.
Vs = 20 VR1 = 4,7 kΩR2 = 2,2 kΩC = 47 µFt = 300 ms
vC = V
9.Impedancia y fasores en alternaMedia
Un circuito RLC en serie está conectado a una alimentación de 100 V (eficaces) y 60 Hz. Halla el factor de potencia cos φ del circuito.
V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 25 ΩL = 20 mHC = 22 µF
cos φ =
10.Impedancia y fasores en alternaDifícil
Un circuito RLC en serie está conectado a una alimentación de 230 V (eficaces) y 50 Hz. Halla la tensión eficaz VC en el condensador.
V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩL = 20 mHC = 2,2 µF
VC = V
11.Potencia en alterna y factor de potenciaMedia
Dos cargas están conectadas en paralelo a una alimentación monofásica de 240 V: una carga de 7 kW con un factor de potencia de 0,6 inductivo y un calefactor de 3 kW (factor de potencia unidad). Halla la corriente total I que se toma de la alimentación.
12.Potencia en alterna y factor de potenciaDifícil
Una carga monofásica consume 20 kW con un factor de potencia de 0,7 inductivo de una alimentación de 230 V y 50 Hz. Un condensador conectado en paralelo eleva el factor de potencia a 0,98. Halla la potencia reactiva QC que debe aportar el condensador.
P = 20 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,98V = 230 Vf = 50 Hz
QC = kvar
13.Potencia trifásicaMedia
Un motor de inducción trifásico entrega 37 kW de potencia mecánica útil a plena carga. Con esta carga su rendimiento es del 90 % y su factor de potencia es 0,8 inductivo. La alimentación tiene una tensión de línea de 690 V. Halla la corriente de línea IL.
Pout = 37 kWη = 90%cos φ = 0,8VL = 690 V
IL = A
14.Potencia trifásicaDifícil
Una carga trifásica equilibrada consume 80 kW con un factor de potencia de 0,78 inductivo de una alimentación de 690 V (de línea) y 50 Hz. Una batería trifásica de condensadores en paralelo con la carga debe elevar el factor de potencia total a 0,92 inductivo. La potencia activa no cambia. Los condensadores están conectados en estrella. Halla la capacidad Cph de cada condensador en µF.
P = 80 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,92VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
15.TransformadoresMedia
Un transformador monofásico de 50 kVA, 11000/400 V, funciona a su carga nominal. Considéralo ideal. Halla la corriente ILV en el devanado de baja tensión.
S = 50 kVAV1 = 11000 VV2 = 400 V
ILV = A
16.TransformadoresDifícil
Un transformador monofásico de 500 kVA tiene unas pérdidas en el hierro de 4000 W. A carga nominal y con un factor de potencia de 0,85 inductivo su rendimiento es del 97,5 %. Halla las pérdidas en el cobre a plena carga Pcu,fl en vatios.
S = 500 kVAPcore = 4000 Wpf = 0,85η = 97,5%
Pcu,fl = W
3Disoluciones
1.Resistencias en serie y en paralelo
Respuesta: IR1 = 3,696 A
Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.
Combina las resistencias desde el extremo más lejano
Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.
R3 + R4 = 5 + 2 = 7 Ω
R2 ∥ 7 = 10·7/(10+7) = 4,118 Ω
Req = R1 + 4,118 = 4 + 4,118 = 8,118 Ω
Corriente de la fuente
La fuente solo ve Req, así que la ley de Ohm da la corriente que entrega. Esa corriente pasa por R₁.
IR1 = V1/Req = 30/8,118 = 3,696 A
Respuesta
IR1 = 3,696 A
2.Resistencias en serie y en paralelo
Respuesta: IR1 = 1,346 A
Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.
Combina las resistencias desde el extremo más lejano
Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.
R5 + R6 = 25 + 30 = 55 Ω
R4 ∥ 55 = 6,984 Ω
R3 + 6,984 = 11,98 Ω
R2 ∥ 11,98 = 1,714 Ω
Req = R1 + 1,714 = 2 + 1,714 = 3,714 Ω
Corriente de la fuente
La fuente solo ve Req, así que la ley de Ohm da la corriente que entrega. Esa corriente pasa por R₁.
IR1 = V1/Req = 5/3,714 = 1,346 A
Respuesta
IR1 = 1,346 A
3.Análisis nodal
Respuesta: VB = −5,549 V
Análisis nodal: elige un nodo de referencia, nombra las tensiones de nodo desconocidas, escribe la ley de corrientes de Kirchhoff en cada nodo desconocido usando la ley de Ohm (I = ΔV/R) y resuelve las ecuaciones resultantes.
Plantea los nodos
La tierra es el cable inferior. Las tensiones de nodo conocidas salen directamente de las fuentes (V1 = 6 V). Incógnitas: VA, VB.
LCK en el nodo A
Las corrientes que salen de A por las resistencias igualan la corriente que las fuentes inyectan en A.
VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/10 + (VA − 6)/12 + (VA − VB)/6 = 0
0,35·VA − 0,1667·VB = 0,5
LCK en el nodo B
Las corrientes que salen de B por las resistencias igualan la corriente que las fuentes inyectan en B.
VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/20 + (VB − VA)/6 = (−1)
−0,1667·VA + 0,2167·VB = −1
Resuelve
Δ = (0,35)(0,2167) − (−0,1667)(−0,1667) = 0,04806
VA = Δ1/Δ = −0,05833/0,04806 = −1,214 V
VB = Δ2/Δ = −0,2667/0,04806 = −5,549 V
Respuesta
VB = −5,549 V
4.Análisis nodal
Respuesta: Is = 1,14 A
Análisis nodal: elige un nodo de referencia, nombra las tensiones de nodo desconocidas, escribe la ley de corrientes de Kirchhoff en cada nodo desconocido usando la ley de Ohm (I = ΔV/R) y resuelve las ecuaciones resultantes.
LCK en el nodo A
VA es conocida, así que esta ecuación da VB.
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
(4,5 − 5)/3 + 4,5/15 = (VB − 4,5)/4
0,1333 = (VB − 4,5)/4 → VB = 5,033 V
LCK en el nodo B
Las corrientes que salen de B por las resistencias son iguales a la corriente que las fuentes inyectan en B.
Is = (VB − VA)/R3 + VB/R4 = (5,033 − 4,5)/4 + 5,033/5 = 1,14 A
Respuesta
Is = 1,14 A
5.Thévenin y Norton
Respuesta: IL = 0,1406 A
Teorema de Thévenin: toda red lineal de dos terminales se comporta como una única fuente de tensión Vth en serie con una resistencia Rth. El teorema de Norton da la misma red como una fuente de corriente IN = Vth/Rth en paralelo con Rth.
Halla Rth con todas las fuentes apagadas
Sustituye las fuentes de tensión por cortocircuitos y las de corriente por circuitos abiertos, y mira el circuito desde a–b.
R1 ∥ R2 = 20·20/(20+20) = 10 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 10 + 10 = 20 Ω
Halla Vth, la tensión en circuito abierto
Con a–b abiertos, no circula corriente por R₃, así que no hay caída en ella y V_b = V_A. R₁ y R₂ forman un divisor de tensión.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·20/(20+20) = 4,5 V
Conecta la carga al equivalente de Thévenin
La fuente de Thévenin y R_th en serie se comportan exactamente como el circuito original en a–b, así que la carga ve un simple lazo en serie.
IL = Vth/(Rth + RL) = 4,5/(20 + 12) = 0,1406 A
6.Thévenin y Norton
Respuesta: Vth = −4,471 V
Teorema de Thévenin: toda red lineal de dos terminales se comporta como una única fuente de tensión Vth en serie con una resistencia Rth. El teorema de Norton da la misma red como una fuente de corriente IN = Vth/Rth en paralelo con Rth.
Halla Rth con todas las fuentes apagadas
Sustituye las fuentes de tensión por cortocircuitos y las de corriente por circuitos abiertos, y mira el circuito desde a–b.
R1 ∥ R2 = 5·12/(5+12) = 3,529 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,529 + 4 = 7,529 Ω
Halla Vth, la tensión en circuito abierto
Con a–b abiertos, el único camino para Iₛ es por R₃ hacia el nodo A. Halla V_A por superposición de V₁ e Iₛ y luego suma la caída en R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 10,59 + (−2)·3,529 = 3,529 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 3,529 + (−2)·4 = −4,471 V
7.Transitorios RC y RL
Respuesta: vR = 25,76 V
Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.
Constante de tiempo
τ = L/R = 220 mH / 100 Ω = 2,2 ms
Decaimiento de la corriente
i(t) = 2,5·e−5/2,2 = 0,2576 A
vR = R·i = 100·0,2576 = 25,76 V
Respuesta
vR = 25,76 V
8.Transitorios RC y RL
Respuesta: vC = 0,3504 V
Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.
Tensión inicial del condensador
En régimen permanente el condensador es un circuito abierto, así que R₁ y R₂ forman un divisor de tensión. La tensión del condensador no puede saltar al abrirse el interruptor.
vC(0) = 20·2,2/(4,7 + 2,2) = 6,377 V
Constante de tiempo tras abrirse el interruptor
τ = R2·C = 2,2·47 = 103,4 ms
Descarga
vC(t) = 6,377·e−300/103,4 = 0,3504 V
Respuesta
vC = 0,3504 V
9.Impedancia y fasores en alterna
Respuesta: cos φ = 0,216
Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.
Reactancias
XL = 7,54 Ω, XC = 120,6 Ω
Impedancia
|Z| = √(25² + (−113)²) = 115,8 Ω
Factor de potencia
cos φ = R/|Z| = 25/115,8 = 0,216
El circuito es capacitivo, así que el factor de potencia es capacitivo (en adelanto).
Respuesta
cos φ = 0,216
10.Impedancia y fasores en alterna
Respuesta: VC = 230,6 V
Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.
Reactancias
ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s
XL = ωL = 314,2·0,02 = 6,283 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314,2·2,2·10⁻⁶) = 1447 Ω
Impedancia
En serie, las impedancias se suman como números complejos: Z = R + j(XL − XC).
La misma corriente pasa por todos los elementos de un circuito en serie.
I = V/|Z| = 230/1443 = 0,1594 A
Tensión en el condensador
VC = I·XC = 0,1594·1447 = 230,6 V
Respuesta
VC = 230,6 V
11.Potencia en alterna y factor de potencia
Respuesta: I = 57 A
Potencia en alterna: la potencia aparente S = V·I (VA) se divide en potencia activa P = S·cos φ (W), que hace trabajo útil, y potencia reactiva Q = S·sin φ (var), que va y viene entre fuente y carga. El factor de potencia es cos φ. Un condensador en paralelo aporta potencia reactiva en el propio punto, así que la corriente de línea baja para la misma potencia activa.
Potencia reactiva de cada carga
Una carga inductiva consume potencia reactiva (Q > 0); una carga capacitiva la entrega (Q < 0).
Q1 = 7·tan(arccos 0,6) = 9,333 kvar
Q2 = 0 = 0 kvar
Totales
P = 7 + 3 = 10 kW
Q = 9,333 + 0 = 9,333 kvar
S = √(10² + 9,333²) = 13,68 kVA
Corriente total
I = S/V = 13679/240 = 57 A
Respuesta
I = 57 A
12.Potencia en alterna y factor de potencia
Respuesta: QC = 16,34 kvar
Potencia en alterna: la potencia aparente S = V·I (VA) se divide en potencia activa P = S·cos φ (W), que hace trabajo útil, y potencia reactiva Q = S·sin φ (var), que va y viene entre fuente y carga. El factor de potencia es cos φ. Un condensador en paralelo aporta potencia reactiva en el propio punto, así que la corriente de línea baja para la misma potencia activa.
Potencia reactiva antes y después
La potencia activa P no cambia; solo cambia la potencia reactiva que se toma de la red.
Q1 = P·tan φ1 = 20·tan(45,57°) = 20,4 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 20·tan(11,48°) = 4,061 kvar
QC = Q1 − Q2 = 16,34 kvar
Respuesta
QC = 16,34 kvar
13.Potencia trifásica
Respuesta: IL = 43 A
Sistemas trifásicos equilibrados: en una conexión en Y (estrella) la tensión de línea es √3 veces la tensión de fase, VL = √3·Vph, y la corriente de línea es igual a la corriente de fase. En una conexión en Δ (triángulo) la tensión de línea es igual a la tensión de fase y la corriente de línea es √3 veces la corriente de fase, IL = √3·Iph. La potencia total es tres veces la potencia de una fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Potencia eléctrica absorbida
Pin = Pout/η = 37/0,9 = 41,11 kW
Corriente de línea
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 41111/(√3·690·0,8) = 43 A
Respuesta
IL = 43 A
14.Potencia trifásica
Respuesta: Cph = 201,3 µF
Sistemas trifásicos equilibrados: en una conexión en Y (estrella) la tensión de línea es √3 veces la tensión de fase, VL = √3·Vph, y la corriente de línea es igual a la corriente de fase. En una conexión en Δ (triángulo) la tensión de línea es igual a la tensión de fase y la corriente de línea es √3 veces la corriente de fase, IL = √3·Iph. La potencia total es tres veces la potencia de una fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Corrección del factor de potencia: los condensadores aportan potencia reactiva en el propio punto, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada uno de los tres condensadores aporta QC/3 = V²·ω·C, donde V es la tensión en ese condensador: VL en una batería en triángulo, VL/√3 en una batería en estrella.
Potencia reactiva antes y después
La potencia activa no cambia, así que cada factor de potencia fija la potencia reactiva: Q = P·tan φ.
Q1 = 80·tan(acos 0,78) = 80·0,8023 = 64,18 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0,92) = 80·0,426 = 34,08 kvar
Potencia reactiva de los condensadores
QC = Q1 − Q2 = 30,1 kvar
Capacidad por fase
En una batería en estrella cada condensador está conectado entre una línea y el centro de la estrella.
Transformador ideal: las tensiones están en la relación de las espiras y las corrientes en la relación inversa: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a e I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, así que la potencia de entrada es igual a la de salida, V₁·I₁ = V₂·I₂. Una impedancia de carga Z en el secundario se ve como a²·Z desde el primario.
Corriente nominal
Los dos devanados transportan la misma potencia aparente.
ILV = S/V = 50000/400 = 125 A
Respuesta
ILV = 125 A
16.Transformadores
Respuesta: Pcu,fl = 6897 W
Pérdidas del transformador: las pérdidas en el hierro (histéresis y corrientes de Foucault) dependen de la tensión y son las mismas con cualquier carga. Las pérdidas en el cobre de los devanados van con el cuadrado de la corriente, así que a una fracción x de la carga nominal valen x²·Pcu,fl. Rendimiento η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), con Pout = x·S·pf. El rendimiento es máximo con la carga a la que las pérdidas en el cobre igualan a las pérdidas en el hierro.