La fuente de tensión Vₛ entre A y B tiene su borne + en B, así que impone VB − VA = Vₛ. Usa el análisis nodal con un supernodo para hallar la tensión de nodo VB (respecto a tierra).
Is = 1,5 AVs = 8 VR1 = 15 ΩR2 = 8 Ω
VB = V
4.Análisis nodalDifícil
La fuente de tensión Vₛ entre A y B tiene su borne + en B, así que impone VB − VA = Vₛ. Usa el análisis nodal con un supernodo para hallar la corriente Ix por la fuente de tensión, de A a B como indica la flecha.
La bobina no lleva corriente antes de que el interruptor se cierre en t = 0. Halla la tensión vL en la bobina en t = 5 ms.
Vs = 6 VR = 50 ΩL = 150 mHt = 5 ms
vL = V
8.Transitorios RC y RLDifícil
Un temporizador empieza a cargar en t = 0 un condensador descargado a través de una resistencia desde una alimentación de 5 V. Debe dispararse cuando la tensión del condensador llegue a 3 V, exactamente 1000 ms después del inicio. Con C = 10 µF, halla la resistencia R necesaria.
Vs = 5 VVth = 3 VT = 1000 msC = 10 µF
R = kΩ
9.Impedancia y fasores en alternaMedia
Una resistencia y un condensador están conectados en paralelo a una alimentación de 100 V (eficaces) y 200 Hz. Halla la corriente eficaz I.
V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩC = 2,2 µF
I = A
10.Impedancia y fasores en alternaDifícil
Un circuito RLC en serie está conectado a una alimentación de 100 V (eficaces) y 500 Hz. Halla la frecuencia de resonancia f0 del circuito.
V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 15 ΩL = 20 mHC = 100 µF
f0 = Hz
11.Potencia en alterna y factor de potenciaMedia
Dos cargas están conectadas en paralelo a una alimentación monofásica de 230 V: una carga de 13 kW con un factor de potencia de 0,65 inductivo y un calefactor de 11 kW (factor de potencia unidad). Halla la corriente total I que se toma de la alimentación.
12.Potencia en alterna y factor de potenciaDifícil
Un transformador monofásico de 75 kVA alimenta una carga de 35 kW con un factor de potencia de 0,8 inductivo. ¿Cuánta potencia activa adicional ΔP se puede añadir como carga resistiva (factor de potencia unidad) antes de que el transformador alcance su potencia nominal en kVA?
Smax = 75 kVAP1 = 35 kWpf1 = 0,8
ΔP = kW
13.Potencia trifásicaMedia
Una carga trifásica equilibrada consume una corriente de línea de 50 A de una alimentación con una tensión de línea de 400 V. El factor de potencia es 0,82 inductivo. Halla la potencia activa total P que consume la carga en kW.
VL = 400 VIL = 50 Acos φ = 0,82
P = kW
14.Potencia trifásicaDifícil
Una carga trifásica equilibrada consume 250 kW con un factor de potencia de 0,75 inductivo de una alimentación de 480 V (de línea) y 50 Hz. Una batería trifásica de condensadores en paralelo con la carga debe elevar el factor de potencia total a 0,92 inductivo. La potencia activa no cambia. Halla la potencia reactiva total QC que debe aportar la batería de condensadores, en kvar.
P = 250 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,92VL = 480 Vf = 50 Hz
QC = kvar
15.TransformadoresMedia
Un amplificador con una resistencia de salida de 400 Ω alimenta un altavoz de 4 Ω a través de un transformador ideal. Para la máxima transferencia de potencia, el altavoz debe verse como 400 Ω desde el amplificador. Halla la relación de transformación a = N₁/N₂.
Rs = 400 ΩRL = 4 Ω
a =
16.TransformadoresDifícil
Un transformador monofásico de 100 kVA tiene unas pérdidas en el hierro de 400 W y unas pérdidas en el cobre de 800 W a carga nominal. ¿Con qué carga Sη,max, en kVA, es máximo su rendimiento?
S = 100 kVAPcore = 400 WPcu,fl = 800 W
Sη,max = kVA
3Disoluciones
1.Resistencias en serie y en paralelo
Respuesta: Req = 22,2 Ω
Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.
Combina las resistencias desde el extremo más lejano
Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.
R3 + R4 = 8 + 10 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 12·18/(12+18) = 7,2 Ω
Req = R1 + 7,2 = 15 + 7,2 = 22,2 Ω
Respuesta
Req = 22,2 Ω
2.Resistencias en serie y en paralelo
Respuesta: IR2 = 2,899 A
Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.
Combina las resistencias desde el extremo más lejano
Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.
R5 + R6 = 20 + 25 = 45 Ω
R4 ∥ 45 = 18 Ω
R3 + 18 = 48 Ω
R2 ∥ 48 = 8,276 Ω
Req = R1 + 8,276 = 2 + 8,276 = 10,28 Ω
Corriente de la fuente
La fuente solo ve Req, así que la ley de Ohm da la corriente que entrega. Esa corriente pasa por R₁.
IR1 = V1/Req = 36/10,28 = 3,503 A
Corriente por R₂
Resta la caída en R₁ para obtener la tensión en el nodo A, que es la tensión en R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 36 − 3,503·2 = 28,99 V
IR2 = VA/R2 = 28,99/10 = 2,899 A
Respuesta
IR2 = 2,899 A
3.Análisis nodal
Respuesta: VB = 10,61 V
Análisis nodal: elige un nodo de referencia, nombra las tensiones de nodo desconocidas, escribe la ley de corrientes de Kirchhoff en cada nodo desconocido usando la ley de Ohm (I = ΔV/R) y resuelve las ecuaciones resultantes.
Forma un supernodo
La fuente de tensión entre A y B conduce una corriente desconocida, así que no se puede escribir la LCK en A ni en B por separado. Encierra A, B y la fuente en un supernodo: la corriente que entra es igual a la que sale.
VB = VA + Vs = VA + 8
VA/R1 + VB/R2 = Is
Resuelve
VA/15 + (VA + 8)/8 = 1,5
VA = (1,5 − 8/8)/(1/15 + 1/8) = 2,609 V
VB = 2,609 + 8 = 10,61 V
Respuesta
VB = 10,61 V
4.Análisis nodal
Respuesta: Ix = 0,3971 A
Análisis nodal: elige un nodo de referencia, nombra las tensiones de nodo desconocidas, escribe la ley de corrientes de Kirchhoff en cada nodo desconocido usando la ley de Ohm (I = ΔV/R) y resuelve las ecuaciones resultantes.
Forma un supernodo
La fuente de tensión entre A y B conduce una corriente desconocida, así que no se puede escribir la LCK en A ni en B por separado. Encierra A, B y la fuente en un supernodo: la corriente que entra es igual a la que sale.
VB = VA + 9
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + VB/R3 = Is
Resuelve
(VA − 18)/2 + VA/8 + (VA + 9)/12 = 1,5
VA·(1/2 + 1/8 + 1/12) = 1,5 + 18/2 − 9/12 = 9,75
VA = 9,75/0,7083 = 13,76 V
VB = 22,76 V
Corriente por la fuente de tensión
LCK solo en el nodo A: la corriente que llega por R₁ sale por R₂ y por la fuente de tensión.
IR1 = (18 − 13,76)/2 = 2,118 A
Ix = IR1 − VA/R2 = 2,118 − 13,76/8 = 0,3971 A
Respuesta
Ix = 0,3971 A
Un resultado negativo significa que la corriente real circula en contra de la flecha.
5.Thévenin y Norton
Respuesta: Rth = 5,2 Ω
Teorema de Thévenin: toda red lineal de dos terminales se comporta como una única fuente de tensión Vth en serie con una resistencia Rth. El teorema de Norton da la misma red como una fuente de corriente IN = Vth/Rth en paralelo con Rth.
Halla Rth con todas las fuentes apagadas
Sustituye las fuentes de tensión por cortocircuitos y las de corriente por circuitos abiertos, y mira el circuito desde a–b.
R1 ∥ R2 = 2·3/(2+3) = 1,2 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,2 + 4 = 5,2 Ω
6.Thévenin y Norton
Respuesta: IL = 0,25 A
Teorema de Thévenin: toda red lineal de dos terminales se comporta como una única fuente de tensión Vth en serie con una resistencia Rth. El teorema de Norton da la misma red como una fuente de corriente IN = Vth/Rth en paralelo con Rth.
Halla Rth con todas las fuentes apagadas
Sustituye las fuentes de tensión por cortocircuitos y las de corriente por circuitos abiertos, y mira el circuito desde a–b.
R1 ∥ R2 = 25·8/(25+8) = 6,061 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6,061 + 2 = 8,061 Ω
Halla Vth, la tensión en circuito abierto
Con a–b abiertos, el único camino para Iₛ es por R₃ hacia el nodo A. Halla V_A por superposición de V₁ e Iₛ y luego suma la caída en R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1,455 + 1·6,061 = 7,515 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 7,515 + 1·2 = 9,515 V
Conecta la carga al equivalente de Thévenin
La fuente de Thévenin y R_th en serie se comportan exactamente como el circuito original en a–b, así que la carga ve un simple lazo en serie.
IL = Vth/(Rth + RL) = 9,515/(8,061 + 30) = 0,25 A
7.Transitorios RC y RL
Respuesta: vL = 1,133 V
Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.
Constante de tiempo y corriente final
Mucho después de cerrar el interruptor la bobina se comporta como un cortocircuito, así que la corriente final la fija solo R.
τ = L/R = 150 mH / 50 Ω = 3 ms
i(∞) = Vs/R = 6/50 = 0,12 A
Tensión en la bobina
En t = 0 toda la tensión de alimentación aparece en la bobina; después cae a cero.
vL(t) = Vs·e−t/τ = 6·e−5/3 = 1,133 V
Respuesta
vL = 1,133 V
8.Transitorios RC y RL
Respuesta: R = 109,1 kΩ
Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.
Constante de tiempo necesaria
3 = 5·(1 − e−1000/τ) → τ = 1000/ln(5/(5 − 3))
τ = 1000/0,9163 = 1091 ms
Resistencia
kΩ por µF da milisegundos.
R = τ/C = 1091/10 = 109,1 kΩ
Respuesta
R = 109,1 kΩ
9.Impedancia y fasores en alterna
Respuesta: I = 1,28 A
Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.
Reactancia
XC = 1/(ωC) = 1/(2π·200·2,2·10⁻⁶) = 361,7 Ω
Corrientes de rama
Ambas ramas están conectadas directamente a la alimentación, así que cada una ve la tensión completa V.
IR = V/R = 100/80 = 1,25 A
IX = V/XC = 100/361,7 = 0,2765 A
Corriente total
La corriente de la resistencia está en fase con V y la corriente reactiva está desfasada 90°, así que se suman como los catetos de un triángulo rectángulo.
I = √(IR² + IX²) = √(1,25² + 0,2765²) = 1,28 A
Respuesta
I = 1,28 A
10.Impedancia y fasores en alterna
Respuesta: f0 = 112,5 Hz
Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.
Resonancia
En resonancia, las reactancias inductiva y capacitiva se anulan: ωL = 1/(ωC). La frecuencia de la alimentación no influye.
Potencia en alterna: la potencia aparente S = V·I (VA) se divide en potencia activa P = S·cos φ (W), que hace trabajo útil, y potencia reactiva Q = S·sin φ (var), que va y viene entre fuente y carga. El factor de potencia es cos φ. Un condensador en paralelo aporta potencia reactiva en el propio punto, así que la corriente de línea baja para la misma potencia activa.
Potencia reactiva de cada carga
Una carga inductiva consume potencia reactiva (Q > 0); una carga capacitiva la entrega (Q < 0).
Q1 = 13·tan(arccos 0,65) = 15,2 kvar
Q2 = 0 = 0 kvar
Totales
P = 13 + 11 = 24 kW
Q = 15,2 + 0 = 15,2 kvar
S = √(24² + 15,2²) = 28,41 kVA
Corriente total
I = S/V = 28408/230 = 123,5 A
Respuesta
I = 123,5 A
12.Potencia en alterna y factor de potencia
Respuesta: ΔP = 35,26 kW
Potencia en alterna: la potencia aparente S = V·I (VA) se divide en potencia activa P = S·cos φ (W), que hace trabajo útil, y potencia reactiva Q = S·sin φ (var), que va y viene entre fuente y carga. El factor de potencia es cos φ. Un condensador en paralelo aporta potencia reactiva en el propio punto, así que la corriente de línea baja para la misma potencia activa.
Potencia reactiva de la carga existente
Q1 = 35·tan(arccos 0,8) = 26,25 kvar
Potencia activa total máxima
A plena carga nominal S = Smax, y la carga resistiva no cambia Q.
P = √(Smax² − Q1²) = √(75² − 26,25²) = 70,26 kW
Potencia activa adicional
ΔP = 70,26 − 35 = 35,26 kW
Respuesta
ΔP = 35,26 kW
13.Potencia trifásica
Respuesta: P = 28,41 kW
Sistemas trifásicos equilibrados: en una conexión en Y (estrella) la tensión de línea es √3 veces la tensión de fase, VL = √3·Vph, y la corriente de línea es igual a la corriente de fase. En una conexión en Δ (triángulo) la tensión de línea es igual a la tensión de fase y la corriente de línea es √3 veces la corriente de fase, IL = √3·Iph. La potencia total es tres veces la potencia de una fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Potencia aparente
S = √3·VL·IL = √3·400·50 = 34,64 kVA
Potencia activa
P = S·cos φ = 34,64·0,82 = 28,41 kW
Respuesta
P = 28,41 kW
14.Potencia trifásica
Respuesta: QC = 114 kvar
Sistemas trifásicos equilibrados: en una conexión en Y (estrella) la tensión de línea es √3 veces la tensión de fase, VL = √3·Vph, y la corriente de línea es igual a la corriente de fase. En una conexión en Δ (triángulo) la tensión de línea es igual a la tensión de fase y la corriente de línea es √3 veces la corriente de fase, IL = √3·Iph. La potencia total es tres veces la potencia de una fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Corrección del factor de potencia: los condensadores aportan potencia reactiva en el propio punto, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada uno de los tres condensadores aporta QC/3 = V²·ω·C, donde V es la tensión en ese condensador: VL en una batería en triángulo, VL/√3 en una batería en estrella.
Potencia reactiva antes y después
La potencia activa no cambia, así que cada factor de potencia fija la potencia reactiva: Q = P·tan φ.
Q1 = 250·tan(acos 0,75) = 250·0,8819 = 220,5 kvar
Q2 = 250·tan(acos 0,92) = 250·0,426 = 106,5 kvar
Potencia reactiva de los condensadores
QC = Q1 − Q2 = 114 kvar
Respuesta
QC = 114 kvar
15.Transformadores
Respuesta: a = 10
Transformador ideal: las tensiones están en la relación de las espiras y las corrientes en la relación inversa: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a e I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, así que la potencia de entrada es igual a la de salida, V₁·I₁ = V₂·I₂. Una impedancia de carga Z en el secundario se ve como a²·Z desde el primario.
Adapta la carga referida
a²·4 = 400
a = √(400/4) = √100 = 10
Respuesta
a = 10
16.Transformadores
Respuesta: Sη,max = 70,71 kVA
Pérdidas del transformador: las pérdidas en el hierro (histéresis y corrientes de Foucault) dependen de la tensión y son las mismas con cualquier carga. Las pérdidas en el cobre de los devanados van con el cuadrado de la corriente, así que a una fracción x de la carga nominal valen x²·Pcu,fl. Rendimiento η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), con Pout = x·S·pf. El rendimiento es máximo con la carga a la que las pérdidas en el cobre igualan a las pérdidas en el hierro.
Pérdidas en el cobre iguales a las pérdidas en el hierro