El rombo es una fuente de corriente controlada por tensión que inyecta una corriente de 0,05·VA (en A, con VA en V) hacia arriba al nodo B. Usa el análisis nodal para hallar la corriente IR4 por R4 en el sentido de la flecha.
La bobina no lleva corriente antes de que el interruptor se cierre en t = 0. Halla la tensión vL en la bobina en t = 1 ms.
Vs = 20 VR = 100 ΩL = 33 mHt = 1 ms
vL = V
8.Transitorios RC y RLDifícil
El interruptor en paralelo con R2 lleva mucho tiempo abierto, así que la corriente de la bobina es estacionaria. En t = 0 el interruptor se cierra y cortocircuita R2. ¿Cuánto tiempo después de t = 0 alcanza la corriente de la bobina 0,247 A? Halla t.
Vs = 9 VR1 = 33 ΩR2 = 10 ΩL = 22 mH
t = ms
9.Impedancia y fasores en alternaMedia
Una resistencia y un condensador están conectados en paralelo a una alimentación de 24 V (eficaces) y 500 Hz. Halla el ángulo de fase φ de la impedancia, en grados (positivo cuando la corriente va retrasada respecto a la tensión).
V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩC = 2,2 µF
φ = °
10.Impedancia y fasores en alternaDifícil
Un circuito RLC en serie se alimenta con una fuente de 1 V (eficaces) cuya frecuencia se ajusta a la frecuencia de resonancia del circuito. Halla la tensión eficaz VL en la bobina.
V = 1 V (rms)R = 20 ΩL = 20 mHC = 0,47 µF
VL = V
11.Potencia en alterna y factor de potenciaMedia
Una carga de impedancia Z = 12 + j9 Ω está conectada a una alimentación monofásica de 230 V (eficaces). Halla la potencia aparente S.
V = 230 VZ = 12 + j9 Ω
S = VA
12.Potencia en alterna y factor de potenciaDifícil
Un transformador monofásico de 50 kVA alimenta una carga de 18 kW con un factor de potencia de 0,75 inductivo. ¿Cuánta potencia activa adicional ΔP se puede añadir como carga resistiva (factor de potencia unidad) antes de que el transformador alcance su potencia nominal en kVA?
Smax = 50 kVAP1 = 18 kWpf1 = 0,75
ΔP = kW
13.Potencia trifásicaMedia
Una carga trifásica equilibrada consume una corriente de línea de 20 A de una alimentación con una tensión de línea de 400 V. El factor de potencia es 0,95 inductivo. Halla la potencia activa total P que consume la carga en kW.
VL = 400 VIL = 20 Acos φ = 0,95
P = kW
14.Potencia trifásicaDifícil
Una carga trifásica equilibrada consume 60 kW con un factor de potencia de 0,7 inductivo de una alimentación de 690 V (de línea) y 60 Hz. Una batería trifásica de condensadores en paralelo con la carga debe elevar el factor de potencia total a 0,9 inductivo. La potencia activa no cambia. Los condensadores están conectados en triángulo. Halla la capacidad Cph de cada condensador en µF.
P = 60 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,9VL = 690 Vf = 60 Hz
Cph = µF
15.TransformadoresMedia
Un amplificador con una resistencia de salida de 450 Ω alimenta un altavoz de 50 Ω a través de un transformador ideal. Para la máxima transferencia de potencia, el altavoz debe verse como 450 Ω desde el amplificador. Halla la relación de transformación a = N₁/N₂.
Rs = 450 ΩRL = 50 Ω
a =
16.TransformadoresDifícil
Un transformador monofásico de 200 kVA tiene unas pérdidas en el hierro de 800 W. A carga nominal y con un factor de potencia de 0,85 inductivo su rendimiento es del 98,5 %. Halla las pérdidas en el cobre a plena carga Pcu,fl en vatios.
S = 200 kVAPcore = 800 Wpf = 0,85η = 98,5%
Pcu,fl = W
3Disoluciones
1.Resistencias en serie y en paralelo
Respuesta: Req = 9,061 Ω
Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.
Combina las resistencias desde el extremo más lejano
Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.
R3 + R4 = 20 + 5 = 25 Ω
R2 ∥ 25 = 8·25/(8+25) = 6,061 Ω
Req = R1 + 6,061 = 3 + 6,061 = 9,061 Ω
Respuesta
Req = 9,061 Ω
2.Resistencias en serie y en paralelo
Respuesta: Req = 33,38 Ω
Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.
Combina las resistencias desde el extremo más lejano
Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.
R5 + R6 = 10 + 10 = 20 Ω
R4 ∥ 20 = 1,818 Ω
R3 + 1,818 = 21,82 Ω
R2 ∥ 21,82 = 3,38 Ω
Req = R1 + 3,38 = 30 + 3,38 = 33,38 Ω
Respuesta
Req = 33,38 Ω
3.Análisis nodal
Respuesta: PIs = 96 W
Análisis nodal: elige un nodo de referencia, nombra las tensiones de nodo desconocidas, escribe la ley de corrientes de Kirchhoff en cada nodo desconocido usando la ley de Ohm (I = ΔV/R) y resuelve las ecuaciones resultantes.
LCK en el nodo A
Las corrientes que salen de A por las resistencias igualan la corriente que las fuentes inyectan en A.
VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/12 + (VA − 30)/12 + (VA − VB)/3 = 0
0,5·VA − 0,3333·VB = 2,5
LCK en el nodo B
Las corrientes que salen de B por las resistencias igualan la corriente que las fuentes inyectan en B.
VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/8 + (VB − VA)/3 = 4
−0,3333·VA + 0,4583·VB = 4
Resuelve
Δ = (0,5)(0,4583) − (−0,3333)(−0,3333) = 0,1181
VA = Δ1/Δ = 2,479/0,1181 = 21 V
VB = Δ2/Δ = 2,833/0,1181 = 24 V
Potencia entregada por la fuente de corriente
La fuente impulsa Iₛ hacia arriba al nodo B, desde tierra (0 V) hasta VB. Una fuente cuya corriente sale por su borne + entrega P = V·I.
PIs = VB·Is = 24·4 = 96 W
Respuesta
PIs = 96 W
4.Análisis nodal
Respuesta: IR4 = 1,227 A
Análisis nodal: elige un nodo de referencia, nombra las tensiones de nodo desconocidas, escribe la ley de corrientes de Kirchhoff en cada nodo desconocido usando la ley de Ohm (I = ΔV/R) y resuelve las ecuaciones resultantes.
LCK en el nodo A
Las corrientes que salen de A por las resistencias son iguales a la corriente que las fuentes inyectan en A.
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
0,24·VA − 0,04·VB = 3,6
LCK en el nodo B
La fuente dependiente inyecta g·VA en el nodo B. Trátala como una fuente independiente y luego pasa el término en VA al lado izquierdo.
(VB − VA)/R3 + VB/R4 = 0,05·VA
−0,09·VA + 0,29·VB = 0
Resuelve
Δ = (0,24)(0,29) − (−0,04)(−0,09) = 0,066
VA = Δ1/Δ = 1,044/0,066 = 15,82 V
VB = Δ2/Δ = 0,324/0,066 = 4,909 V
Corriente por R₄
IR4 = VB/R4 = 4,909/4 = 1,227 A
Respuesta
IR4 = 1,227 A
5.Thévenin y Norton
Respuesta: IL = 0,262 A
Teorema de Thévenin: toda red lineal de dos terminales se comporta como una única fuente de tensión Vth en serie con una resistencia Rth. El teorema de Norton da la misma red como una fuente de corriente IN = Vth/Rth en paralelo con Rth.
Halla Rth con todas las fuentes apagadas
Sustituye las fuentes de tensión por cortocircuitos y las de corriente por circuitos abiertos, y mira el circuito desde a–b.
R1 ∥ R2 = 8·10/(8+10) = 4,444 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4,444 + 6 = 10,44 Ω
Halla Vth, la tensión en circuito abierto
Con a–b abiertos, no circula corriente por R₃, así que no hay caída en ella y V_b = V_A. R₁ y R₂ forman un divisor de tensión.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 12·10/(8+10) = 6,667 V
Conecta la carga al equivalente de Thévenin
La fuente de Thévenin y R_th en serie se comportan exactamente como el circuito original en a–b, así que la carga ve un simple lazo en serie.
IL = Vth/(Rth + RL) = 6,667/(10,44 + 15) = 0,262 A
6.Thévenin y Norton
Respuesta: PL = 143,9 W
Teorema de Thévenin: toda red lineal de dos terminales se comporta como una única fuente de tensión Vth en serie con una resistencia Rth. El teorema de Norton da la misma red como una fuente de corriente IN = Vth/Rth en paralelo con Rth.
Halla Rth con todas las fuentes apagadas
Sustituye las fuentes de tensión por cortocircuitos y las de corriente por circuitos abiertos, y mira el circuito desde a–b.
R1 ∥ R2 = 2·6/(2+6) = 1,5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,5 + 10 = 11,5 Ω
Halla Vth, la tensión en circuito abierto
Con a–b abiertos, el único camino para Iₛ es por R₃ hacia el nodo A. Halla V_A por superposición de V₁ e Iₛ y luego suma la caída en R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 27 + 5·1,5 = 34,5 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 34,5 + 5·10 = 84,5 V
Conecta la carga al equivalente de Thévenin
La fuente de Thévenin y R_th en serie se comportan exactamente como el circuito original en a–b, así que la carga ve un simple lazo en serie.
IL = Vth/(Rth + RL) = 84,5/(11,5 + 20) = 2,683 A
PL = IL²·RL = 2,683²·20 = 143,9 W
7.Transitorios RC y RL
Respuesta: vL = 0,966 V
Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.
Constante de tiempo y corriente final
Mucho después de cerrar el interruptor la bobina se comporta como un cortocircuito, así que la corriente final la fija solo R.
τ = L/R = 33 mH / 100 Ω = 0,33 ms
i(∞) = Vs/R = 20/100 = 0,2 A
Tensión en la bobina
En t = 0 toda la tensión de alimentación aparece en la bobina; después cae a cero.
vL(t) = Vs·e−t/τ = 20·e−1/0,33 = 0,966 V
Respuesta
vL = 0,966 V
8.Transitorios RC y RL
Respuesta: t = 0,6015 ms
Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.
Valor inicial, valor final, constante de tiempo
Antes de t = 0 ambas resistencias están en el lazo; después el interruptor cerrado puentea R₂.
Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.
Reactancia
XC = 1/(ωC) = 1/(2π·500·2,2·10⁻⁶) = 144,7 Ω
Corrientes de rama
Ambas ramas están conectadas directamente a la alimentación, así que cada una ve la tensión completa V.
IR = V/R = 24/50 = 0,48 A
IX = V/XC = 24/144,7 = 0,1659 A
Corriente total
La corriente de la resistencia está en fase con V y la corriente reactiva está desfasada 90°, así que se suman como los catetos de un triángulo rectángulo.
I = √(IR² + IX²) = √(0,48² + 0,1659²) = 0,5079 A
Ángulo de fase
La corriente del condensador va adelantada respecto a V, así que la corriente total va adelantada y el ángulo es negativo.
Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.
Resonancia
En resonancia las reactancias se anulan, así que la impedancia es simplemente R.
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,02·0,47·10⁻⁶) = 10314 rad/s
I = V/R = 1/20 = 0,05 A
Tensión en la bobina
XL = ω₀L = 10314·0,02 = 206,3 Ω
VL = I·XL = 0,05·206,3 = 10,31 V
Respuesta
VL = 10,31 V
Esto es Q = 10,31 veces la tensión de alimentación.
11.Potencia en alterna y factor de potencia
Respuesta: S = 3527 VA
Potencia en alterna: la potencia aparente S = V·I (VA) se divide en potencia activa P = S·cos φ (W), que hace trabajo útil, y potencia reactiva Q = S·sin φ (var), que va y viene entre fuente y carga. El factor de potencia es cos φ. Un condensador en paralelo aporta potencia reactiva en el propio punto, así que la corriente de línea baja para la misma potencia activa.
Corriente
|Z| = √(12² + 9²) = 15 Ω
I = V/|Z| = 230/15 = 15,33 A
Potencia aparente
S = V·I = 230·15,33 = 3527 VA
Respuesta
S = 3527 VA
12.Potencia en alterna y factor de potencia
Respuesta: ΔP = 29,41 kW
Potencia en alterna: la potencia aparente S = V·I (VA) se divide en potencia activa P = S·cos φ (W), que hace trabajo útil, y potencia reactiva Q = S·sin φ (var), que va y viene entre fuente y carga. El factor de potencia es cos φ. Un condensador en paralelo aporta potencia reactiva en el propio punto, así que la corriente de línea baja para la misma potencia activa.
Potencia reactiva de la carga existente
Q1 = 18·tan(arccos 0,75) = 15,87 kvar
Potencia activa total máxima
A plena carga nominal S = Smax, y la carga resistiva no cambia Q.
P = √(Smax² − Q1²) = √(50² − 15,87²) = 47,41 kW
Potencia activa adicional
ΔP = 47,41 − 18 = 29,41 kW
Respuesta
ΔP = 29,41 kW
13.Potencia trifásica
Respuesta: P = 13,16 kW
Sistemas trifásicos equilibrados: en una conexión en Y (estrella) la tensión de línea es √3 veces la tensión de fase, VL = √3·Vph, y la corriente de línea es igual a la corriente de fase. En una conexión en Δ (triángulo) la tensión de línea es igual a la tensión de fase y la corriente de línea es √3 veces la corriente de fase, IL = √3·Iph. La potencia total es tres veces la potencia de una fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Potencia aparente
S = √3·VL·IL = √3·400·20 = 13,86 kVA
Potencia activa
P = S·cos φ = 13,86·0,95 = 13,16 kW
Respuesta
P = 13,16 kW
14.Potencia trifásica
Respuesta: Cph = 59,71 µF
Sistemas trifásicos equilibrados: en una conexión en Y (estrella) la tensión de línea es √3 veces la tensión de fase, VL = √3·Vph, y la corriente de línea es igual a la corriente de fase. En una conexión en Δ (triángulo) la tensión de línea es igual a la tensión de fase y la corriente de línea es √3 veces la corriente de fase, IL = √3·Iph. La potencia total es tres veces la potencia de una fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Corrección del factor de potencia: los condensadores aportan potencia reactiva en el propio punto, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada uno de los tres condensadores aporta QC/3 = V²·ω·C, donde V es la tensión en ese condensador: VL en una batería en triángulo, VL/√3 en una batería en estrella.
Potencia reactiva antes y después
La potencia activa no cambia, así que cada factor de potencia fija la potencia reactiva: Q = P·tan φ.
Q1 = 60·tan(acos 0,7) = 60·1,02 = 61,21 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0,9) = 60·0,4843 = 29,06 kvar
Potencia reactiva de los condensadores
QC = Q1 − Q2 = 32,15 kvar
Capacidad por fase
En una batería en triángulo cada condensador está conectado entre dos líneas.
V = 690 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 10718/(377·690²) = 59,71 µF
Respuesta
Cph = 59,71 µF
15.Transformadores
Respuesta: a = 3
Transformador ideal: las tensiones están en la relación de las espiras y las corrientes en la relación inversa: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a e I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, así que la potencia de entrada es igual a la de salida, V₁·I₁ = V₂·I₂. Una impedancia de carga Z en el secundario se ve como a²·Z desde el primario.
Adapta la carga referida
a²·50 = 450
a = √(450/50) = √9 = 3
Respuesta
a = 3
16.Transformadores
Respuesta: Pcu,fl = 1789 W
Pérdidas del transformador: las pérdidas en el hierro (histéresis y corrientes de Foucault) dependen de la tensión y son las mismas con cualquier carga. Las pérdidas en el cobre de los devanados van con el cuadrado de la corriente, así que a una fracción x de la carga nominal valen x²·Pcu,fl. Rendimiento η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), con Pout = x·S·pf. El rendimiento es máximo con la carga a la que las pérdidas en el cobre igualan a las pérdidas en el hierro.