La bobina no lleva corriente antes de que el interruptor se cierre en t = 0. ¿Cuánto tiempo después de cerrar el interruptor alcanza la corriente el 80 % de su valor final? Halla t.
Vs = 5 VR = 47 ΩL = 33 mH
t = ms
8.Transitorios RC y RLDifícil
El interruptor lleva mucho tiempo cerrado, así que el circuito está en régimen permanente. En t = 0 se abre el interruptor. Halla la corriente i2 por R2 en t = 500 ms.
Vs = 9 VR1 = 6,8 kΩR2 = 10 kΩC = 33 µFt = 500 ms
i2 = mA
9.Impedancia y fasores en alternaMedia
Un circuito RLC en serie está conectado a una alimentación de 24 V (eficaces) y 50 Hz. Halla la potencia activa P que se toma de la alimentación.
V = 24 V (rms)f = 50 HzR = 10 ΩL = 250 mHC = 100 µF
P = W
10.Impedancia y fasores en alternaDifícil
Un circuito RLC en serie está conectado a una alimentación de 230 V (eficaces) y 200 Hz. Halla la tensión eficaz VC en el condensador.
V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF
VC = V
11.Potencia en alterna y factor de potenciaMedia
Dos cargas están conectadas en paralelo a una alimentación monofásica de 400 V: una carga de 5 kW con un factor de potencia de 0,8 inductivo y una carga de 2 kW con un factor de potencia de 0,9 capacitivo. Halla el factor de potencia global cos φ que ve la alimentación.
12.Potencia en alterna y factor de potenciaDifícil
Una fuente de 50 V (eficaces) y 1000 Hz tiene una impedancia interna Zs = 5 + j40 Ω. La impedancia de carga ZL puede elegirse libremente. Halla la potencia activa máxima Pmax que puede entregarse a la carga.
Vs = 50 V (rms)f = 1000 HzZs = 5 + j40 Ω
Pmax = W
13.Potencia trifásicaMedia
Una carga equilibrada conectada en estrella, con una impedancia de 9 + j12 Ω por fase, se conecta a una alimentación trifásica equilibrada con una tensión de línea de 400 V. Halla la potencia activa total P que absorbe la carga en kW.
VL = 400 VZ = 9 + j12 Ω por fase
P = kW
14.Potencia trifásicaDifícil
Una carga trifásica equilibrada consume 80 kW con un factor de potencia de 0,72 inductivo de una alimentación de 400 V (de línea) y 60 Hz. Una batería trifásica de condensadores en paralelo con la carga debe elevar el factor de potencia total a 0,98 inductivo. La potencia activa no cambia. Los condensadores están conectados en estrella. Halla la capacidad Cph de cada condensador en µF.
P = 80 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,98VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
15.TransformadoresMedia
Un transformador monofásico de 250 kVA, 10000/400 V, funciona a su carga nominal. Considéralo ideal. Halla la corriente IHV en el devanado de alta tensión.
S = 250 kVAV1 = 10000 VV2 = 400 V
IHV = A
16.TransformadoresDifícil
Un transformador monofásico de 250 kVA tiene unas pérdidas en el hierro de 2000 W y unas pérdidas en el cobre de 8000 W a carga nominal. Suministra el 25 % de sus kVA nominales con un factor de potencia de 0,85 inductivo. Halla las pérdidas totales Ploss en vatios con esta carga.
Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.
Combina las resistencias desde el extremo más lejano
Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.
R3 + R4 = 5 + 15 = 20 Ω
R2 ∥ 20 = 4·20/(4+20) = 3,333 Ω
Req = R1 + 3,333 = 2 + 3,333 = 5,333 Ω
Corriente de la fuente
La fuente solo ve Req, así que la ley de Ohm da la corriente que entrega. Esa corriente pasa por R₁.
IR1 = V1/Req = 30/5,333 = 5,625 A
Corriente por R₂
Resta la caída en R₁ para obtener la tensión en el nodo A, que es la tensión en R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 5,625·2 = 18,75 V
IR2 = VA/R2 = 18,75/4 = 4,688 A
Respuesta
IR2 = 4,688 A
2.Resistencias en serie y en paralelo
Respuesta: Req = 13,91 Ω
Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.
Combina las resistencias desde el extremo más lejano
Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.
R5 + R6 = 6 + 2 = 8 Ω
R4 ∥ 8 = 4 Ω
R3 + 4 = 24 Ω
R2 ∥ 24 = 10,91 Ω
Req = R1 + 10,91 = 3 + 10,91 = 13,91 Ω
Respuesta
Req = 13,91 Ω
3.Análisis nodal
Respuesta: IR1 = 0,6495 A
Análisis nodal: elige un nodo de referencia, nombra las tensiones de nodo desconocidas, escribe la ley de corrientes de Kirchhoff en cada nodo desconocido usando la ley de Ohm (I = ΔV/R) y resuelve las ecuaciones resultantes.
Plantea los nodos
La tierra es el cable inferior. Las tensiones de nodo conocidas salen directamente de las fuentes (V1 = 15 V). Incógnitas: VA, VB.
LCK en el nodo A
Las corrientes que salen de A por las resistencias igualan la corriente que las fuentes inyectan en A.
VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/12 + (VA − 15)/5 + (VA − VB)/5 = 0
0,4833·VA − 0,2·VB = 3
LCK en el nodo B
Las corrientes que salen de B por las resistencias igualan la corriente que las fuentes inyectan en B.
VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/20 + (VB − VA)/5 = 1
−0,2·VA + 0,25·VB = 1
Resuelve
Δ = (0,4833)(0,25) − (−0,2)(−0,2) = 0,08083
VA = Δ1/Δ = 0,95/0,08083 = 11,75 V
VB = Δ2/Δ = 1,083/0,08083 = 13,4 V
Respuesta
IR1 = (V1 − VA)/R1 = (15 − 11,75)/5 = 0,6495 A
4.Análisis nodal
Respuesta: IR2 = −0,653 A
Análisis nodal: elige un nodo de referencia, nombra las tensiones de nodo desconocidas, escribe la ley de corrientes de Kirchhoff en cada nodo desconocido usando la ley de Ohm (I = ΔV/R) y resuelve las ecuaciones resultantes.
Plantea los nodos
La tierra es el cable inferior. Las tensiones de nodo conocidas salen directamente de las fuentes (V1 = 5 V, V2 = 15 V). Incógnitas: VA, VB.
LCK en el nodo A
Las corrientes que salen de A por las resistencias igualan la corriente que las fuentes inyectan en A.
VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/15 + (VA − 5)/5 + (VA − VB)/20 = 0
0,3167·VA − 0,05·VB = 1
LCK en el nodo B
Las corrientes que salen de B por las resistencias igualan la corriente que las fuentes inyectan en B.
Teorema de Thévenin: toda red lineal de dos terminales se comporta como una única fuente de tensión Vth en serie con una resistencia Rth. El teorema de Norton da la misma red como una fuente de corriente IN = Vth/Rth en paralelo con Rth.
Halla Rth con todas las fuentes apagadas
Sustituye las fuentes de tensión por cortocircuitos y las de corriente por circuitos abiertos, y mira el circuito desde a–b.
R1 ∥ R2 = 6·10/(6+10) = 3,75 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,75 + 4 = 7,75 Ω
Halla Vth, la tensión en circuito abierto
Con a–b abiertos, no circula corriente por R₃, así que no hay caída en ella y V_b = V_A. R₁ y R₂ forman un divisor de tensión.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 6·10/(6+10) = 3,75 V
Equivalente de Norton
Una fuente de Norton es el mismo circuito visto como una fuente de corriente en paralelo con R_th. Su corriente es la corriente de cortocircuito en a–b.
IN = Vth/Rth = 3,75/7,75 = 0,4839 A
6.Thévenin y Norton
Respuesta: PL = 99,37 W
Teorema de Thévenin: toda red lineal de dos terminales se comporta como una única fuente de tensión Vth en serie con una resistencia Rth. El teorema de Norton da la misma red como una fuente de corriente IN = Vth/Rth en paralelo con Rth.
Halla Rth con todas las fuentes apagadas
Sustituye las fuentes de tensión por cortocircuitos y las de corriente por circuitos abiertos, y mira el circuito desde a–b.
R1 ∥ R2 = 15·20/(15+20) = 8,571 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 8,571 + 12 = 20,57 Ω
Halla Vth, la tensión en circuito abierto
Con a–b abiertos, el único camino para Iₛ es por R₃ hacia el nodo A. Halla V_A por superposición de V₁ e Iₛ y luego suma la caída en R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 8,571 + 4·8,571 = 42,86 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 42,86 + 4·12 = 90,86 V
Conecta la carga al equivalente de Thévenin
La fuente de Thévenin y R_th en serie se comportan exactamente como el circuito original en a–b, así que la carga ve un simple lazo en serie.
IL = Vth/(Rth + RL) = 90,86/(20,57 + 25) = 1,994 A
PL = IL²·RL = 1,994²·25 = 99,37 W
7.Transitorios RC y RL
Respuesta: t = 1,13 ms
Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.
Constante de tiempo y corriente final
Mucho después de cerrar el interruptor la bobina se comporta como un cortocircuito, así que la corriente final la fija solo R.
τ = L/R = 33 mH / 47 Ω = 0,7021 ms
i(∞) = Vs/R = 5/47 = 0,1064 A
Despeja el tiempo
0,8 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,8)
t = −0,7021·ln(0,2) = 1,13 ms
Respuesta
t = 1,13 ms
8.Transitorios RC y RL
Respuesta: i2 = 0,1177 mA
Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.
Tensión inicial del condensador
En régimen permanente el condensador es un circuito abierto, así que R₁ y R₂ forman un divisor de tensión. La tensión del condensador no puede saltar al abrirse el interruptor.
vC(0) = 9·10/(6,8 + 10) = 5,357 V
Constante de tiempo tras abrirse el interruptor
τ = R2·C = 10·33 = 330 ms
Descarga
vC(t) = 5,357·e−500/330 = 1,177 V
i2 = vC/R2 = 1,177/10 = 0,1177 mA
Respuesta
i2 = 0,1177 mA
9.Impedancia y fasores en alterna
Respuesta: P = 2,524 W
Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.
Reactancias
XL = 78,54 Ω, XC = 31,83 Ω
Impedancia
|Z| = √(10² + (46,71)²) = 47,77 Ω
Potencia activa
Las bobinas y los condensadores solo almacenan y devuelven energía; la resistencia absorbe toda la potencia activa.
I = 24/47,77 = 0,5024 A
P = I²·R = 0,5024²·10 = 2,524 W
Respuesta
P = 2,524 W
10.Impedancia y fasores en alterna
Respuesta: VC = 318,6 V
Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.
Reactancias
ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0,05 = 62,83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·4,7·10⁻⁶) = 169,3 Ω
Impedancia
En serie, las impedancias se suman como números complejos: Z = R + j(XL − XC).
La misma corriente pasa por todos los elementos de un circuito en serie.
I = V/|Z| = 230/122,2 = 1,882 A
Tensión en el condensador
VC = I·XC = 1,882·169,3 = 318,6 V
Respuesta
VC = 318,6 V
11.Potencia en alterna y factor de potencia
Respuesta: cos φ = 0,9293
Potencia en alterna: la potencia aparente S = V·I (VA) se divide en potencia activa P = S·cos φ (W), que hace trabajo útil, y potencia reactiva Q = S·sin φ (var), que va y viene entre fuente y carga. El factor de potencia es cos φ. Un condensador en paralelo aporta potencia reactiva en el propio punto, así que la corriente de línea baja para la misma potencia activa.
Potencia reactiva de cada carga
Una carga inductiva consume potencia reactiva (Q > 0); una carga capacitiva la entrega (Q < 0).
Q1 = 5·tan(arccos 0,8) = 3,75 kvar
Q2 = −2·tan(arccos 0,9) = −0,9686 kvar
Totales
P = 5 + 2 = 7 kW
Q = 3,75 + (−0,9686) = 2,781 kvar
S = √(7² + 2,781²) = 7,532 kVA
Factor de potencia global
cos φ = P/S = 7/7,532 = 0,9293 inductivo
Respuesta
cos φ = 0,9293
12.Potencia en alterna y factor de potencia
Respuesta: Pmax = 125 W
Potencia en alterna: la potencia aparente S = V·I (VA) se divide en potencia activa P = S·cos φ (W), que hace trabajo útil, y potencia reactiva Q = S·sin φ (var), que va y viene entre fuente y carga. El factor de potencia es cos φ. Un condensador en paralelo aporta potencia reactiva en el propio punto, así que la corriente de línea baja para la misma potencia activa.
Adaptación conjugada
La reactancia de la carga anula la reactancia de la fuente, y la resistencia de la carga es igual a la resistencia de la fuente.
ZL = Zs* = 5 − j40 Ω
Potencia máxima
I = Vs/(2Rs) = 50/10 = 5 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 50²/(4·5) = 125 W
Respuesta
Pmax = 125 W
13.Potencia trifásica
Respuesta: P = 6,4 kW
Sistemas trifásicos equilibrados: en una conexión en Y (estrella) la tensión de línea es √3 veces la tensión de fase, VL = √3·Vph, y la corriente de línea es igual a la corriente de fase. En una conexión en Δ (triángulo) la tensión de línea es igual a la tensión de fase y la corriente de línea es √3 veces la corriente de fase, IL = √3·Iph. La potencia total es tres veces la potencia de una fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Tensión de fase
Vph = 400/√3 = 230,9 V
Corriente de fase
|Z| = √(9² + 12²) = 15 Ω
Iph = 230,9/15 = 15,4 A
Potencia activa total
Solo la parte resistiva de cada impedancia absorbe potencia activa.
P = 3·Iph²·R = 3·15,4²·9 = 6,4 kW
Respuesta
P = 6,4 kW
Comprobación: cos φ = R/|Z| = 0,6, y √3·VL·IL·cos φ da la misma potencia.
14.Potencia trifásica
Respuesta: Cph = 1009 µF
Sistemas trifásicos equilibrados: en una conexión en Y (estrella) la tensión de línea es √3 veces la tensión de fase, VL = √3·Vph, y la corriente de línea es igual a la corriente de fase. En una conexión en Δ (triángulo) la tensión de línea es igual a la tensión de fase y la corriente de línea es √3 veces la corriente de fase, IL = √3·Iph. La potencia total es tres veces la potencia de una fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Corrección del factor de potencia: los condensadores aportan potencia reactiva en el propio punto, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada uno de los tres condensadores aporta QC/3 = V²·ω·C, donde V es la tensión en ese condensador: VL en una batería en triángulo, VL/√3 en una batería en estrella.
Potencia reactiva antes y después
La potencia activa no cambia, así que cada factor de potencia fija la potencia reactiva: Q = P·tan φ.
Q1 = 80·tan(acos 0,72) = 80·0,9639 = 77,11 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0,98) = 80·0,2031 = 16,24 kvar
Potencia reactiva de los condensadores
QC = Q1 − Q2 = 60,86 kvar
Capacidad por fase
En una batería en estrella cada condensador está conectado entre una línea y el centro de la estrella.
Transformador ideal: las tensiones están en la relación de las espiras y las corrientes en la relación inversa: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a e I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, así que la potencia de entrada es igual a la de salida, V₁·I₁ = V₂·I₂. Una impedancia de carga Z en el secundario se ve como a²·Z desde el primario.
Corriente nominal
Los dos devanados transportan la misma potencia aparente.
IHV = S/V = 250000/10000 = 25 A
Respuesta
IHV = 25 A
16.Transformadores
Respuesta: Ploss = 2500 W
Pérdidas del transformador: las pérdidas en el hierro (histéresis y corrientes de Foucault) dependen de la tensión y son las mismas con cualquier carga. Las pérdidas en el cobre de los devanados van con el cuadrado de la corriente, así que a una fracción x de la carga nominal valen x²·Pcu,fl. Rendimiento η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), con Pout = x·S·pf. El rendimiento es máximo con la carga a la que las pérdidas en el cobre igualan a las pérdidas en el hierro.
Pérdidas en el cobre con esta carga
Pcu = x²·Pcu,fl = 0,0625·8000 = 500 W
Pérdidas totales
Las pérdidas en el hierro son las mismas con cualquier carga.