La fuente de tensión Vₛ entre A y B tiene su borne + en B, así que impone VB − VA = Vₛ. Usa el análisis nodal con un supernodo para hallar la corriente Ix por la fuente de tensión, de A a B como indica la flecha.
Is = 2,5 AVs = 5 VR1 = 15 ΩR2 = 3 Ω
Ix = A
4.Análisis nodalDifícil
Usa el análisis nodal para hallar la corriente IR2 por R2 en el sentido de la flecha.
Halla la resistencia de Thévenin Rth vista desde los terminales a–b.
V1 = 10 VR1 = 8 ΩR2 = 15 ΩR3 = 15 Ω
Rth = Ω
6.Thévenin y NortonDifícil
Halla la tensión de Thévenin Vth vista desde los terminales a–b.
V1 = 6 VIs = 6 AR1 = 8 ΩR2 = 15 ΩR3 = 30 Ω
Vth = V
7.Transitorios RC y RLMedia
La bobina no lleva corriente antes de que el interruptor se cierre en t = 0. Halla la energía W almacenada en la bobina en t = 20 ms, en mJ.
Vs = 12 VR = 5 ΩL = 150 mHt = 20 ms
W = mJ
8.Transitorios RC y RLDifícil
Un temporizador empieza a cargar en t = 0 un condensador descargado a través de una resistencia desde una alimentación de 9 V. Debe dispararse cuando la tensión del condensador llegue a 5,4 V, exactamente 100 ms después del inicio. Con R = 1 kΩ, halla la capacidad C necesaria.
Vs = 9 VVth = 5,4 VT = 100 msR = 1 kΩ
C = µF
9.Impedancia y fasores en alternaMedia
Un circuito RLC en serie está conectado a una alimentación de 12 V (eficaces) y 200 Hz. Halla la corriente eficaz I.
V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 25 ΩL = 20 mHC = 10 µF
I = A
10.Impedancia y fasores en alternaDifícil
Un circuito RLC en serie está conectado a una alimentación de 100 V (eficaces) y 60 Hz. Halla la corriente eficaz I.
V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 22 µF
I = A
11.Potencia en alterna y factor de potenciaMedia
Dos cargas están conectadas en paralelo a una alimentación monofásica de 230 V: una carga de 20 kW con un factor de potencia de 0,85 inductivo y una carga de 12 kW con un factor de potencia de 0,7 inductivo. Halla la corriente total I que se toma de la alimentación.
12.Potencia en alterna y factor de potenciaDifícil
Un transformador monofásico de 100 kVA alimenta una carga de 53 kW con un factor de potencia de 0,75 inductivo. ¿Cuánta potencia activa adicional ΔP se puede añadir como carga resistiva (factor de potencia unidad) antes de que el transformador alcance su potencia nominal en kVA?
Smax = 100 kVAP1 = 53 kWpf1 = 0,75
ΔP = kW
13.Potencia trifásicaMedia
Un motor de inducción trifásico entrega 55 kW de potencia mecánica útil a plena carga. Con esta carga su rendimiento es del 90 % y su factor de potencia es 0,86 inductivo. La alimentación tiene una tensión de línea de 400 V. Halla la corriente de línea IL.
Pout = 55 kWη = 90%cos φ = 0,86VL = 400 V
IL = A
14.Potencia trifásicaDifícil
Una carga trifásica equilibrada consume 100 kW con un factor de potencia de 0,7 inductivo de una alimentación de 690 V (de línea) y 60 Hz. Una batería trifásica de condensadores en paralelo con la carga debe elevar el factor de potencia total a 0,92 inductivo. La potencia activa no cambia. Los condensadores están conectados en triángulo. Halla la capacidad Cph de cada condensador en µF.
P = 100 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,92VL = 690 Vf = 60 Hz
Cph = µF
15.TransformadoresMedia
Se conecta una resistencia de 8 Ω en el devanado secundario de un transformador ideal con una relación de transformación N₁:N₂ = 6:1. Halla la resistencia R1′ vista desde el devanado primario.
N1:N2 = 6:1RL = 8 Ω
R1′ = Ω
16.TransformadoresDifícil
Un transformador monofásico de 150 kVA tiene unas pérdidas en el hierro de 600 W. A carga nominal y con un factor de potencia de 0,85 inductivo su rendimiento es del 96 %. Halla las pérdidas en el cobre a plena carga Pcu,fl en vatios.
S = 150 kVAPcore = 600 Wpf = 0,85η = 96%
Pcu,fl = W
3Disoluciones
1.Resistencias en serie y en paralelo
Respuesta: Req = 9,75 Ω
Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.
Combina las resistencias desde el extremo más lejano
Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.
R3 + R4 = 4 + 10 = 14 Ω
R2 ∥ 14 = 2·14/(2+14) = 1,75 Ω
Req = R1 + 1,75 = 8 + 1,75 = 9,75 Ω
Respuesta
Req = 9,75 Ω
2.Resistencias en serie y en paralelo
Respuesta: IR2 = 0,04361 A
Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.
Combina las resistencias desde el extremo más lejano
Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.
R5 + R6 = 5 + 15 = 20 Ω
R4 ∥ 20 = 8,571 Ω
R3 + 8,571 = 12,57 Ω
R2 ∥ 12,57 = 8,365 Ω
Req = R1 + 8,365 = 30 + 8,365 = 38,37 Ω
Corriente de la fuente
La fuente solo ve Req, así que la ley de Ohm da la corriente que entrega. Esa corriente pasa por R₁.
IR1 = V1/Req = 5/38,37 = 0,1303 A
Corriente por R₂
Resta la caída en R₁ para obtener la tensión en el nodo A, que es la tensión en R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 5 − 0,1303·30 = 1,09 V
IR2 = VA/R2 = 1,09/25 = 0,04361 A
Respuesta
IR2 = 0,04361 A
3.Análisis nodal
Respuesta: Ix = 2,361 A
Análisis nodal: elige un nodo de referencia, nombra las tensiones de nodo desconocidas, escribe la ley de corrientes de Kirchhoff en cada nodo desconocido usando la ley de Ohm (I = ΔV/R) y resuelve las ecuaciones resultantes.
Forma un supernodo
La fuente de tensión entre A y B conduce una corriente desconocida, así que no se puede escribir la LCK en A ni en B por separado. Encierra A, B y la fuente en un supernodo: la corriente que entra es igual a la que sale.
VB = VA + Vs = VA + 5
VA/R1 + VB/R2 = Is
Resuelve
VA/15 + (VA + 5)/3 = 2,5
VA = (2,5 − 5/3)/(1/15 + 1/3) = 2,083 V
VB = 2,083 + 5 = 7,083 V
Corriente por la fuente de tensión
Todo lo que pasa por la fuente de A a B sale del nodo B por R₂.
Ix = VB/R2 = 7,083/3 = 2,361 A
Respuesta
Ix = 2,361 A
Un resultado negativo significa que la corriente real circula en contra de la flecha.
4.Análisis nodal
Respuesta: IR2 = 0,1764 A
Análisis nodal: elige un nodo de referencia, nombra las tensiones de nodo desconocidas, escribe la ley de corrientes de Kirchhoff en cada nodo desconocido usando la ley de Ohm (I = ΔV/R) y resuelve las ecuaciones resultantes.
Plantea los nodos
La tierra es el cable inferior. Las tensiones de nodo conocidas salen directamente de las fuentes (V1 = 6 V, V2 = −30 V). Incógnitas: VA, VB.
LCK en el nodo A
Las corrientes que salen de A por las resistencias igualan la corriente que las fuentes inyectan en A.
VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/4 + (VA − 6)/25 + (VA − VB)/15 = 0
0,3567·VA − 0,06667·VB = 0,24
LCK en el nodo B
Las corrientes que salen de B por las resistencias igualan la corriente que las fuentes inyectan en B.
Teorema de Thévenin: toda red lineal de dos terminales se comporta como una única fuente de tensión Vth en serie con una resistencia Rth. El teorema de Norton da la misma red como una fuente de corriente IN = Vth/Rth en paralelo con Rth.
Halla Rth con todas las fuentes apagadas
Sustituye las fuentes de tensión por cortocircuitos y las de corriente por circuitos abiertos, y mira el circuito desde a–b.
R1 ∥ R2 = 8·15/(8+15) = 5,217 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5,217 + 15 = 20,22 Ω
6.Thévenin y Norton
Respuesta: Vth = −207,4 V
Teorema de Thévenin: toda red lineal de dos terminales se comporta como una única fuente de tensión Vth en serie con una resistencia Rth. El teorema de Norton da la misma red como una fuente de corriente IN = Vth/Rth en paralelo con Rth.
Halla Rth con todas las fuentes apagadas
Sustituye las fuentes de tensión por cortocircuitos y las de corriente por circuitos abiertos, y mira el circuito desde a–b.
R1 ∥ R2 = 8·15/(8+15) = 5,217 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5,217 + 30 = 35,22 Ω
Halla Vth, la tensión en circuito abierto
Con a–b abiertos, el único camino para Iₛ es por R₃ hacia el nodo A. Halla V_A por superposición de V₁ e Iₛ y luego suma la caída en R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 3,913 + (−6)·5,217 = −27,39 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −27,39 + (−6)·30 = −207,4 V
7.Transitorios RC y RL
Respuesta: W = 102,3 mJ
Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.
Constante de tiempo y corriente final
Mucho después de cerrar el interruptor la bobina se comporta como un cortocircuito, así que la corriente final la fija solo R.
τ = L/R = 150 mH / 5 Ω = 30 ms
i(∞) = Vs/R = 12/5 = 2,4 A
Corriente en el instante dado
i(t) = 2,4·(1 − e−20/30) = 1,168 A
Energía almacenada
W = ½·L·i² = ½·150·1,168² = 102,3 mJ
Respuesta
W = 102,3 mJ
8.Transitorios RC y RL
Respuesta: C = 109,1 µF
Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.
Constante de tiempo necesaria
5,4 = 9·(1 − e−100/τ) → τ = 100/ln(9/(9 − 5,4))
τ = 100/0,9163 = 109,1 ms
Capacidad
kΩ por µF da milisegundos.
C = τ/R = 109,1/1 = 109,1 µF
Respuesta
C = 109,1 µF
9.Impedancia y fasores en alterna
Respuesta: I = 0,2003 A
Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.
Reactancias
ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0,02 = 25,13 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·10·10⁻⁶) = 79,58 Ω
Impedancia
En serie, las impedancias se suman como números complejos: Z = R + j(XL − XC).
La misma corriente pasa por todos los elementos de un circuito en serie.
I = V/|Z| = 12/59,91 = 0,2003 A
Respuesta
I = 0,2003 A
10.Impedancia y fasores en alterna
Respuesta: I = 0,9671 A
Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.
Reactancias
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0,25 = 94,25 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·22·10⁻⁶) = 120,6 Ω
Impedancia
En serie, las impedancias se suman como números complejos: Z = R + j(XL − XC).
La misma corriente pasa por todos los elementos de un circuito en serie.
I = V/|Z| = 100/103,4 = 0,9671 A
Respuesta
I = 0,9671 A
11.Potencia en alterna y factor de potencia
Respuesta: I = 175,6 A
Potencia en alterna: la potencia aparente S = V·I (VA) se divide en potencia activa P = S·cos φ (W), que hace trabajo útil, y potencia reactiva Q = S·sin φ (var), que va y viene entre fuente y carga. El factor de potencia es cos φ. Un condensador en paralelo aporta potencia reactiva en el propio punto, así que la corriente de línea baja para la misma potencia activa.
Potencia reactiva de cada carga
Una carga inductiva consume potencia reactiva (Q > 0); una carga capacitiva la entrega (Q < 0).
Q1 = 20·tan(arccos 0,85) = 12,39 kvar
Q2 = 12·tan(arccos 0,7) = 12,24 kvar
Totales
P = 20 + 12 = 32 kW
Q = 12,39 + 12,24 = 24,64 kvar
S = √(32² + 24,64²) = 40,39 kVA
Corriente total
I = S/V = 40386/230 = 175,6 A
Respuesta
I = 175,6 A
12.Potencia en alterna y factor de potencia
Respuesta: ΔP = 35,4 kW
Potencia en alterna: la potencia aparente S = V·I (VA) se divide en potencia activa P = S·cos φ (W), que hace trabajo útil, y potencia reactiva Q = S·sin φ (var), que va y viene entre fuente y carga. El factor de potencia es cos φ. Un condensador en paralelo aporta potencia reactiva en el propio punto, así que la corriente de línea baja para la misma potencia activa.
Potencia reactiva de la carga existente
Q1 = 53·tan(arccos 0,75) = 46,74 kvar
Potencia activa total máxima
A plena carga nominal S = Smax, y la carga resistiva no cambia Q.
P = √(Smax² − Q1²) = √(100² − 46,74²) = 88,4 kW
Potencia activa adicional
ΔP = 88,4 − 53 = 35,4 kW
Respuesta
ΔP = 35,4 kW
13.Potencia trifásica
Respuesta: IL = 102,6 A
Sistemas trifásicos equilibrados: en una conexión en Y (estrella) la tensión de línea es √3 veces la tensión de fase, VL = √3·Vph, y la corriente de línea es igual a la corriente de fase. En una conexión en Δ (triángulo) la tensión de línea es igual a la tensión de fase y la corriente de línea es √3 veces la corriente de fase, IL = √3·Iph. La potencia total es tres veces la potencia de una fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Potencia eléctrica absorbida
Pin = Pout/η = 55/0,9 = 61,11 kW
Corriente de línea
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 61111/(√3·400·0,86) = 102,6 A
Respuesta
IL = 102,6 A
14.Potencia trifásica
Respuesta: Cph = 110,4 µF
Sistemas trifásicos equilibrados: en una conexión en Y (estrella) la tensión de línea es √3 veces la tensión de fase, VL = √3·Vph, y la corriente de línea es igual a la corriente de fase. En una conexión en Δ (triángulo) la tensión de línea es igual a la tensión de fase y la corriente de línea es √3 veces la corriente de fase, IL = √3·Iph. La potencia total es tres veces la potencia de una fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Corrección del factor de potencia: los condensadores aportan potencia reactiva en el propio punto, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada uno de los tres condensadores aporta QC/3 = V²·ω·C, donde V es la tensión en ese condensador: VL en una batería en triángulo, VL/√3 en una batería en estrella.
Potencia reactiva antes y después
La potencia activa no cambia, así que cada factor de potencia fija la potencia reactiva: Q = P·tan φ.
Q1 = 100·tan(acos 0,7) = 100·1,02 = 102 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0,92) = 100·0,426 = 42,6 kvar
Potencia reactiva de los condensadores
QC = Q1 − Q2 = 59,42 kvar
Capacidad por fase
En una batería en triángulo cada condensador está conectado entre dos líneas.
V = 690 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 19807/(377·690²) = 110,4 µF
Respuesta
Cph = 110,4 µF
15.Transformadores
Respuesta: R1′ = 288 Ω
Transformador ideal: las tensiones están en la relación de las espiras y las corrientes en la relación inversa: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a e I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, así que la potencia de entrada es igual a la de salida, V₁·I₁ = V₂·I₂. Una impedancia de carga Z en el secundario se ve como a²·Z desde el primario.
Resistencia referida
La tensión sube en un factor a y la corriente baja en un factor a, así que el cociente V/I sube en un factor a².
R1′ = a²·RL = 6²·8 = 288 Ω
Respuesta
R1′ = 288 Ω
16.Transformadores
Respuesta: Pcu,fl = 4713 W
Pérdidas del transformador: las pérdidas en el hierro (histéresis y corrientes de Foucault) dependen de la tensión y son las mismas con cualquier carga. Las pérdidas en el cobre de los devanados van con el cuadrado de la corriente, así que a una fracción x de la carga nominal valen x²·Pcu,fl. Rendimiento η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), con Pout = x·S·pf. El rendimiento es máximo con la carga a la que las pérdidas en el cobre igualan a las pérdidas en el hierro.