Hay tres ramas conectadas entre el nodo A y tierra, como se muestra. Usa el análisis nodal para hallar la corriente I1 en la rama 1, que sube hacia el nodo A en el sentido de la flecha.
El rombo es una fuente de corriente controlada por tensión que inyecta una corriente de 0,1·VA (en A, con VA en V) hacia arriba al nodo B. Usa el análisis nodal para hallar la corriente IR4 por R4 en el sentido de la flecha.
Halla la resistencia de Thévenin Rth vista desde los terminales a–b.
V1 = 18 VR1 = 10 ΩR2 = 6 ΩR3 = 2 Ω
Rth = Ω
6.Thévenin y NortonDifícil
Halla la corriente de Norton IN: la corriente que circula de a a b si se cortocircuitan los terminales.
V1 = 12 VIs = 3 AR1 = 6 ΩR2 = 25 ΩR3 = 3 Ω
IN = A
7.Transitorios RC y RLMedia
La fuente Vₛ carga el condensador a través de R₁, y R₂ está conectada en paralelo con C. El condensador está descargado cuando el interruptor se cierra en t = 0. Halla la constante de tiempo τ del circuito después de cerrar el interruptor.
Vs = 9 VR1 = 10 kΩR2 = 4,7 kΩC = 100 µF
τ = ms
8.Transitorios RC y RLDifícil
Justo antes de que el interruptor se cierre en t = 0, el condensador tiene 6 V con la polaridad indicada. Halla la tensión del condensador vC en t = 150 ms.
Vs = 5 VR = 2,2 kΩC = 220 µFvC(0) = 6 Vt = 150 ms
vC = V
9.Impedancia y fasores en alternaMedia
Una resistencia y un condensador están conectados en paralelo a una alimentación de 24 V (eficaces) y 500 Hz. Halla el ángulo de fase φ de la impedancia, en grados (positivo cuando la corriente va retrasada respecto a la tensión).
V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 25 ΩC = 47 µF
φ = °
10.Impedancia y fasores en alternaDifícil
Una resistencia R1 está conectada en serie con una combinación en paralelo de R2 y un condensador C, a una alimentación de 100 V (eficaces) y 60 Hz. Halla el módulo de la impedancia |Z|.
V = 100 V (rms)f = 60 HzR1 = 15 ΩR2 = 150 ΩC = 47 µF
|Z| = Ω
11.Potencia en alterna y factor de potenciaMedia
Un motor monofásico consume 10 kW con un factor de potencia de 0,9 inductivo de una alimentación de 400 V. Halla la corriente de línea I.
P = 10 kWpf = 0,9V = 400 V
I = A
12.Potencia en alterna y factor de potenciaDifícil
Un transformador monofásico de 150 kVA alimenta una carga de 101 kW con un factor de potencia de 0,8 inductivo. ¿Cuánta potencia activa adicional ΔP se puede añadir como carga resistiva (factor de potencia unidad) antes de que el transformador alcance su potencia nominal en kVA?
Smax = 150 kVAP1 = 101 kWpf1 = 0,8
ΔP = kW
13.Potencia trifásicaMedia
Un motor de inducción trifásico entrega 37 kW de potencia mecánica útil a plena carga. Con esta carga su rendimiento es del 92 % y su factor de potencia es 0,85 inductivo. La alimentación tiene una tensión de línea de 480 V. Halla la corriente de línea IL.
Pout = 37 kWη = 92%cos φ = 0,85VL = 480 V
IL = A
14.Potencia trifásicaDifícil
Una carga trifásica equilibrada consume 100 kW con un factor de potencia de 0,78 inductivo de una alimentación de 400 V (de línea) y 50 Hz. Una batería trifásica de condensadores en paralelo con la carga debe elevar el factor de potencia total a 0,95 inductivo. La potencia activa no cambia. Los condensadores están conectados en estrella. Halla la capacidad Cph de cada condensador en µF.
P = 100 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,95VL = 400 Vf = 50 Hz
Cph = µF
15.TransformadoresMedia
Un transformador monofásico de 100 kVA, 4800/240 V, funciona a su carga nominal. Considéralo ideal. Halla la corriente ILV en el devanado de baja tensión.
S = 100 kVAV1 = 4800 VV2 = 240 V
ILV = A
16.TransformadoresDifícil
Un transformador monofásico de 25 kVA tiene unas pérdidas en el hierro de 100 W y unas pérdidas en el cobre de 400 W a carga nominal. Suministra el 50 % de sus kVA nominales con un factor de potencia de 0,9 inductivo. Halla las pérdidas totales Ploss en vatios con esta carga.
Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.
Combina las resistencias desde el extremo más lejano
Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.
R3 + R4 = 4 + 20 = 24 Ω
R2 ∥ 24 = 10·24/(10+24) = 7,059 Ω
Req = R1 + 7,059 = 15 + 7,059 = 22,06 Ω
Respuesta
Req = 22,06 Ω
2.Resistencias en serie y en paralelo
Respuesta: IR1 = 0,7558 A
Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.
Combina las resistencias desde el extremo más lejano
Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.
R5 + R6 = 3 + 25 = 28 Ω
R4 ∥ 28 = 4,242 Ω
R3 + 4,242 = 16,24 Ω
R2 ∥ 16,24 = 9,846 Ω
Req = R1 + 9,846 = 10 + 9,846 = 19,85 Ω
Corriente de la fuente
La fuente solo ve Req, así que la ley de Ohm da la corriente que entrega. Esa corriente pasa por R₁.
IR1 = V1/Req = 15/19,85 = 0,7558 A
Respuesta
IR1 = 0,7558 A
3.Análisis nodal
Respuesta: I1 = −3,156 A
Análisis nodal: elige un nodo de referencia, nombra las tensiones de nodo desconocidas, escribe la ley de corrientes de Kirchhoff en cada nodo desconocido usando la ley de Ohm (I = ΔV/R) y resuelve las ecuaciones resultantes.
LCK en el nodo A
Toma el conductor inferior como tierra. Cada rama lleva (VA − Vk)/Rk saliendo de A, donde Vk es la tensión de su fuente (cero para una resistencia sola). Las corrientes que salen de A suman cero.
(VA − (−10))/4 + (VA − 9)/3 + (VA − 15)/12 = 0
Despeja VA
VA = ((−10)/4 + 9/3 + 15/12) / (1/4 + 1/3 + 1/12) = 1,75/0,6667 = 2,625 V
Corriente de rama
La flecha apunta hacia arriba por la rama, hacia el nodo A.
Un resultado negativo significa que la corriente real circula en contra de la flecha.
4.Análisis nodal
Respuesta: IR4 = 1,161 A
Análisis nodal: elige un nodo de referencia, nombra las tensiones de nodo desconocidas, escribe la ley de corrientes de Kirchhoff en cada nodo desconocido usando la ley de Ohm (I = ΔV/R) y resuelve las ecuaciones resultantes.
LCK en el nodo A
Las corrientes que salen de A por las resistencias son iguales a la corriente que las fuentes inyectan en A.
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
0,2733·VA − 0,1667·VB = 1,2
LCK en el nodo B
La fuente dependiente inyecta g·VA en el nodo B. Trátala como una fuente independiente y luego pasa el término en VA al lado izquierdo.
Teorema de Thévenin: toda red lineal de dos terminales se comporta como una única fuente de tensión Vth en serie con una resistencia Rth. El teorema de Norton da la misma red como una fuente de corriente IN = Vth/Rth en paralelo con Rth.
Halla Rth con todas las fuentes apagadas
Sustituye las fuentes de tensión por cortocircuitos y las de corriente por circuitos abiertos, y mira el circuito desde a–b.
R1 ∥ R2 = 10·6/(10+6) = 3,75 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,75 + 2 = 5,75 Ω
6.Thévenin y Norton
Respuesta: IN = 4,235 A
Teorema de Thévenin: toda red lineal de dos terminales se comporta como una única fuente de tensión Vth en serie con una resistencia Rth. El teorema de Norton da la misma red como una fuente de corriente IN = Vth/Rth en paralelo con Rth.
Halla Rth con todas las fuentes apagadas
Sustituye las fuentes de tensión por cortocircuitos y las de corriente por circuitos abiertos, y mira el circuito desde a–b.
R1 ∥ R2 = 6·25/(6+25) = 4,839 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4,839 + 3 = 7,839 Ω
Halla Vth, la tensión en circuito abierto
Con a–b abiertos, el único camino para Iₛ es por R₃ hacia el nodo A. Halla V_A por superposición de V₁ e Iₛ y luego suma la caída en R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 9,677 + 3·4,839 = 24,19 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 24,19 + 3·3 = 33,19 V
Equivalente de Norton
Una fuente de Norton es el mismo circuito visto como una fuente de corriente en paralelo con R_th. Su corriente es la corriente de cortocircuito en a–b.
IN = Vth/Rth = 33,19/7,839 = 4,235 A
7.Transitorios RC y RL
Respuesta: τ = 319,7 ms
Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.
Equivalente de Thévenin visto por el condensador
Cortocircuita la fuente para hallar Rth; deja abierto el condensador para hallar la tensión a la que se estabilizará.
Rth = R1 ∥ R2 = 10·4,7/(10 + 4,7) = 3,197 kΩ
vC(∞) = 9·4,7/(10 + 4,7) = 2,878 V
Constante de tiempo
τ = Rth·C = 3,197·100 = 319,7 ms
Respuesta
τ = 319,7 ms
8.Transitorios RC y RL
Respuesta: vC = 5,734 V
Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.
Valor inicial, valor final, constante de tiempo
La tensión del condensador no puede saltar, así que parte de su valor almacenado y tiende a la tensión de la fuente.
vC(0) = 6 V, vC(∞) = Vs = 5 V
τ = R·C = 2,2 kΩ · 220 µF = 484 ms
vC(t) = 5 + (6 − 5)·e−t/τ
Tensión en el instante dado
vC(150) = 5 + (1)·e−150/484 = 5,734 V
Respuesta
vC = 5,734 V
9.Impedancia y fasores en alterna
Respuesta: φ = −74,84 °
Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.
Reactancia
XC = 1/(ωC) = 1/(2π·500·47·10⁻⁶) = 6,773 Ω
Corrientes de rama
Ambas ramas están conectadas directamente a la alimentación, así que cada una ve la tensión completa V.
IR = V/R = 24/25 = 0,96 A
IX = V/XC = 24/6,773 = 3,544 A
Corriente total
La corriente de la resistencia está en fase con V y la corriente reactiva está desfasada 90°, así que se suman como los catetos de un triángulo rectángulo.
I = √(IR² + IX²) = √(0,96² + 3,544²) = 3,671 A
Ángulo de fase
La corriente del condensador va adelantada respecto a V, así que la corriente total va adelantada y el ángulo es negativo.
Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.
Reactancia
XC = 1/(2π·60·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω
Combinación en paralelo
Multiplica numerador y denominador por el conjugado complejo para separar Zp en parte real e imaginaria.
Potencia en alterna: la potencia aparente S = V·I (VA) se divide en potencia activa P = S·cos φ (W), que hace trabajo útil, y potencia reactiva Q = S·sin φ (var), que va y viene entre fuente y carga. El factor de potencia es cos φ. Un condensador en paralelo aporta potencia reactiva en el propio punto, así que la corriente de línea baja para la misma potencia activa.
Corriente de línea
Solo la parte activa de la potencia hace trabajo, así que divide entre el factor de potencia.
I = P/(V·cos φ) = 10000/(400·0,9) = 27,78 A
Respuesta
I = 27,78 A
12.Potencia en alterna y factor de potencia
Respuesta: ΔP = 28,47 kW
Potencia en alterna: la potencia aparente S = V·I (VA) se divide en potencia activa P = S·cos φ (W), que hace trabajo útil, y potencia reactiva Q = S·sin φ (var), que va y viene entre fuente y carga. El factor de potencia es cos φ. Un condensador en paralelo aporta potencia reactiva en el propio punto, así que la corriente de línea baja para la misma potencia activa.
Potencia reactiva de la carga existente
Q1 = 101·tan(arccos 0,8) = 75,75 kvar
Potencia activa total máxima
A plena carga nominal S = Smax, y la carga resistiva no cambia Q.
P = √(Smax² − Q1²) = √(150² − 75,75²) = 129,5 kW
Potencia activa adicional
ΔP = 129,5 − 101 = 28,47 kW
Respuesta
ΔP = 28,47 kW
13.Potencia trifásica
Respuesta: IL = 56,91 A
Sistemas trifásicos equilibrados: en una conexión en Y (estrella) la tensión de línea es √3 veces la tensión de fase, VL = √3·Vph, y la corriente de línea es igual a la corriente de fase. En una conexión en Δ (triángulo) la tensión de línea es igual a la tensión de fase y la corriente de línea es √3 veces la corriente de fase, IL = √3·Iph. La potencia total es tres veces la potencia de una fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Potencia eléctrica absorbida
Pin = Pout/η = 37/0,92 = 40,22 kW
Corriente de línea
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 40217/(√3·480·0,85) = 56,91 A
Respuesta
IL = 56,91 A
14.Potencia trifásica
Respuesta: Cph = 942,2 µF
Sistemas trifásicos equilibrados: en una conexión en Y (estrella) la tensión de línea es √3 veces la tensión de fase, VL = √3·Vph, y la corriente de línea es igual a la corriente de fase. En una conexión en Δ (triángulo) la tensión de línea es igual a la tensión de fase y la corriente de línea es √3 veces la corriente de fase, IL = √3·Iph. La potencia total es tres veces la potencia de una fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Corrección del factor de potencia: los condensadores aportan potencia reactiva en el propio punto, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada uno de los tres condensadores aporta QC/3 = V²·ω·C, donde V es la tensión en ese condensador: VL en una batería en triángulo, VL/√3 en una batería en estrella.
Potencia reactiva antes y después
La potencia activa no cambia, así que cada factor de potencia fija la potencia reactiva: Q = P·tan φ.
Q1 = 100·tan(acos 0,78) = 100·0,8023 = 80,23 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0,95) = 100·0,3287 = 32,87 kvar
Potencia reactiva de los condensadores
QC = Q1 − Q2 = 47,36 kvar
Capacidad por fase
En una batería en estrella cada condensador está conectado entre una línea y el centro de la estrella.
Transformador ideal: las tensiones están en la relación de las espiras y las corrientes en la relación inversa: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a e I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, así que la potencia de entrada es igual a la de salida, V₁·I₁ = V₂·I₂. Una impedancia de carga Z en el secundario se ve como a²·Z desde el primario.
Corriente nominal
Los dos devanados transportan la misma potencia aparente.
ILV = S/V = 100000/240 = 416,7 A
Respuesta
ILV = 416,7 A
16.Transformadores
Respuesta: Ploss = 200 W
Pérdidas del transformador: las pérdidas en el hierro (histéresis y corrientes de Foucault) dependen de la tensión y son las mismas con cualquier carga. Las pérdidas en el cobre de los devanados van con el cuadrado de la corriente, así que a una fracción x de la carga nominal valen x²·Pcu,fl. Rendimiento η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), con Pout = x·S·pf. El rendimiento es máximo con la carga a la que las pérdidas en el cobre igualan a las pérdidas en el hierro.
Pérdidas en el cobre con esta carga
Pcu = x²·Pcu,fl = 0,25·400 = 100 W
Pérdidas totales
Las pérdidas en el hierro son las mismas con cualquier carga.