Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 30 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
La viga en voladizo está empotrada en el muro en A. Soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud y una carga puntual P a 3 m del muro. Halla la reacción vertical RA en el muro.
La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Una carga P actúa a 1 m de A, inclinada 50° respecto a la horizontal, y una carga vertical Q actúa a 6 m de A. Halla el valor de la reacción total RA en la articulación A.
Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FBC en la barra BC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.
Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FBC en la barra BC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.
El voladizo está empotrado en A. Soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud y una carga puntual P a 2 m de A. Halla el momento flector Mx en la sección x = 0,5 m desde el empotramiento A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.
Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δmax, en el centro del vano.
Una viga de madera simplemente apoyada, de sección rectangular de 75 mm de ancho, soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Su flecha en el centro no puede superar luz/250. Halla el canto mínimo hreq de la sección.
Un pilar de longitud L de aluminio está articulado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.
Un pilar de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σcr con la fórmula de Euler.
Una sección en U está colocada con el lado abierto hacia arriba: una placa de base de 120 mm de ancho con dos alas verticales de 70 mm de altura total. La base y las alas tienen todas 10 mm de espesor. Halla la altura ȳ del centroide sobre el borde inferior.
Una placa de 100 mm × 300 mm tiene un recorte rectangular de 30 mm de ancho y 40 mm de alto, centrado en la línea central vertical con su centro a 195 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia Ix respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.
Para el perfil de suelo mostrado, halla la presión intersticial u en el punto X.
Para el perfil de suelo mostrado, halla la presión intersticial u en el punto X.
Un estrato de arcilla sobreconsolidada de 2 m de espesor tiene Cc = 0,5, Cr = 0,03 y e₀ = 0,75. A media profundidad la tensión vertical efectiva es 95 kPa y la razón de sobreconsolidación es OCR = 2. Un edificio nuevo añade 100 kPa de tensión vertical a media profundidad. Halla el asiento por consolidación primaria S en mm.
En un ensayo edométrico de laboratorio, una probeta de arcilla de 19 mm de espesor, drenada por arriba y por abajo, alcanza el 50 % de consolidación en 4 min. En el campo la misma arcilla forma un estrato de 2,5 m de espesor. Descansa sobre roca impermeable, con arena encima, así que el agua solo drena por arriba. ¿Cuántos días t tarda el estrato de campo en alcanzar el 50 % de consolidación?
Una compuerta rectangular vertical de 1,5 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 4 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.
Una compuerta rectangular vertical de 2 m de ancho está en la pared de un depósito de agua de mar, con su borde superior a 0,5 m bajo la superficie. Halla la profundidad ycp del centro de presiones bajo la superficie.
Agua circula a razón de 80 L/s por una tubería de 300 m de longitud y 300 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,03 y g = 9,81 m/s². Halla la pérdida de carga por fricción hf.
Dos depósitos abiertos están unidos por una tubería de 200 m de longitud, 150 mm de diámetro interior y factor de fricción de Darcy f = 0,018. La superficie libre del depósito superior está 15 m por encima de la del inferior. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 3 codos (K = 0,3 cada uno), una válvula (K = 5) y la salida al depósito inferior (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Halla el caudal Q en L/s.
Un canal rectangular de tierra revestida de hierba mide 3,5 m de anchura. El agua circula en régimen uniforme con un calado de 1,2 m. n de Manning = 0,03 y la pendiente del fondo es S = 0,0008. Halla el caudal Q en m³/s.
Un colector de hormigón de 250 mm de diámetro interior (n de Manning = 0,013) debe alcanzar una velocidad de autolimpieza de 1 m/s cuando funciona justo lleno. Halla la pendiente mínima S (en m/m).
En un ensayo, una bomba impulsa 60 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 60 m mientras su eje absorbe 43,1 kW. Usa g = 9,81 m/s². Halla el rendimiento de la bomba η en porcentaje.
Una bomba impulsa 15 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 5 m más alta. La tubería mide 150 m de longitud, tiene 100 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,02; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 8 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². Halla la altura H que debe añadir la bomba.
Inviertes €2 000 a un tipo nominal del 2 % anual con capitalización mensual. Calcula el valor FV de la inversión al cabo de 7 años.
Quieres tener €30 000 dentro de 8 años. Ahorras la misma cantidad al final de cada mes en una cuenta que paga un 7,2 % anual con capitalización mensual. Halla el ingreso mensual A.
Una inversión de €60 000 genera estos flujos al final de los años 1 a 3: €20 000, €22 000, €20 000. El coste de capital es del 10 %. Calcula el valor actual neto NPV.
El proyecto A cuesta €30 000 y genera €17 500, €12 000, €7 000 al final de los años 1 a 3. El proyecto B cuesta €35 000 y genera €10 500, €14 500, €18 000. Halla el tipo de cruce de Fisher r* con el que ambos proyectos tienen el mismo VAN, en porcentaje.
Supón que las duraciones de las baterías siguen una distribución normal con media 500 h y desviación típica 40 h. ¿Qué fracción está entre 490 y 550 h? Da P como número decimal.
El tiempo por vuelta X del corredor A y el tiempo por vuelta Y del corredor B son independientes y normales: X tiene media 52 s y desviación típica 4 s, Y tiene media 48 s y desviación típica 3 s. Halla la probabilidad P de que X sea mayor que Y. Redondea z a dos decimales.
Respuesta: RA = 90 kN
Equilibrio de un voladizo: un empotramiento puede empujar hacia arriba y además impedir el giro, así que da una reacción vertical RA y un momento de empotramiento MA. ΣFy = 0 da RA, y los momentos respecto al muro dan MA = Σ(carga × distancia al muro). Una carga repartida actúa como su resultante en el centroide del diagrama de carga.
Respuesta: RA = 77,98 kN
Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.
Respuesta: FBC = −10,61 kN
Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.
Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.
El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.
Respuesta: FBC = −44,72 kN
Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.
Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.
El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.
Respuesta: Mx = −107,3 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.
Negativo significa tracción en la cara superior.
Respuesta: C (x = 2 m)
Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.
Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.
Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.
Respuesta: δmax = 6,349 mm
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).
Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
Respuesta: hreq = 248,5 mm
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).
Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
En la práctica, elige el canto normalizado inmediatamente superior a este valor.
Respuesta: Pcr = 63,97 kN
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.
Respuesta: σcr = 31,58 MPa
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.
Respuesta: ȳ = 22,5 mm
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.
Toma la base con su ancho completo y las dos alas encima de ella (altura h − t), para no contar nada dos veces.
Respuesta: Ix = 222,3 × 10⁶ mm⁴
Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene Ic = bh³/12 y un círculo Ic = πd⁴/64.
Respuesta: u = 49,05 kPa
Tensión efectiva (Terzaghi): el esqueleto del suelo soporta σ′ = σ − u. La tensión total σ es el peso de todo lo que hay sobre el punto, Σγ·h, usando el peso específico seco por encima del nivel freático y el saturado por debajo. Bajo el nivel freático la presión intersticial es hidrostática: u = γw·(profundidad bajo el nivel freático).
La presión del agua crece con la profundidad bajo el nivel freático.
Respuesta: u = 58,86 kPa
Tensión efectiva (Terzaghi): el esqueleto del suelo soporta σ′ = σ − u. La tensión total σ es el peso de todo lo que hay sobre el punto, Σγ·h, usando el peso específico seco por encima del nivel freático y el saturado por debajo. Bajo el nivel freático la presión intersticial es hidrostática: u = γw·(profundidad bajo el nivel freático).
La presión del agua crece con la profundidad bajo el nivel freático.
Respuesta: S = 16,77 mm
Consolidación primaria de un estrato de arcilla de espesor H, usando la tensión efectiva en el centro del estrato: σ′f = σ′0 + Δσ. Arcilla normalmente consolidada: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Una arcilla sobreconsolidada se recomprime según Cr hasta la presión de preconsolidación σ′p y solo sigue Cc por encima de ella. Tiempo: t = Tv·Hdr²/cv, donde la longitud de drenaje Hdr es H/2 cuando el agua puede salir por arriba y por abajo, y H cuando solo drena una cara.
Recompresión hasta σ′p, compresión noval por encima.
Respuesta: t = 192,4 días
Consolidación primaria de un estrato de arcilla de espesor H, usando la tensión efectiva en el centro del estrato: σ′f = σ′0 + Δσ. Arcilla normalmente consolidada: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Una arcilla sobreconsolidada se recomprime según Cr hasta la presión de preconsolidación σ′p y solo sigue Cc por encima de ella. Tiempo: t = Tv·Hdr²/cv, donde la longitud de drenaje Hdr es H/2 cuando el agua puede salir por arriba y por abajo, y H cuando solo drena una cara.
t = Tv·Hdr²/cv con los mismos T_v y cv en laboratorio y en campo.
Respuesta: F = 104,8 kN
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·yc·A. Actúa en el centro de presiones, ycp = yc + Ic/(ycA), que siempre está por debajo del centroide.
Respuesta: ycp = 2,375 m
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·yc·A. Actúa en el centro de presiones, ycp = yc + Ic/(ycA), que siempre está por debajo del centroide.
La presión aumenta con la profundidad, así que la resultante actúa por debajo del centroide.
Respuesta: hf = 1,959 m
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Respuesta: Q = 54,1 L/s
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Las dos superficies están abiertas al aire y prácticamente en reposo, así que todo Δz se pierde en la tubería.
Respuesta: Q = 3,157 m³/s
Ecuación de Manning (SI): para flujo uniforme en un canal abierto V = (1/n)·R2/3·S1/2 y Q = A·V, con n el coeficiente de rugosidad, S la pendiente del fondo (m/m) y R = A/P el radio hidráulico: área de la sección mojada dividida entre el perímetro mojado. En P solo cuenta el contorno en contacto con el agua, no la superficie libre. Rectángulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapecio con taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Una tubería circular llena o a media sección tiene R = D/4.
Respuesta: S = 0,006814 m/m
Ecuación de Manning (SI): para flujo uniforme en un canal abierto V = (1/n)·R2/3·S1/2 y Q = A·V, con n el coeficiente de rugosidad, S la pendiente del fondo (m/m) y R = A/P el radio hidráulico: área de la sección mojada dividida entre el perímetro mojado. En P solo cuenta el contorno en contacto con el agua, no la superficie libre. Rectángulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapecio con taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Una tubería circular llena o a media sección tiene R = D/4.
Eso supone un desnivel de 6,814 m por kilómetro.
Respuesta: η = 81,94 %
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Respuesta: H = 12,06 m
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Las dos superficies están abiertas y prácticamente en reposo, así que los términos de presión y velocidad se anulan.
Respuesta: FV = 2300 €
Valor temporal del dinero: el dinero de hoy vale más que la misma cantidad en el futuro, porque puede generar intereses. Con un tipo de interés i por periodo, una cantidad crece a FV = PV·(1 + i)n. Una serie de pagos iguales (una renta) se valora sumando cada pago, de donde salen las fórmulas de rentas.
Respuesta: A = 232 €
Valor temporal del dinero: el dinero de hoy vale más que la misma cantidad en el futuro, porque puede generar intereses. Con un tipo de interés i por periodo, una cantidad crece a FV = PV·(1 + i)n. Una serie de pagos iguales (una renta) se valora sumando cada pago, de donde salen las fórmulas de rentas.
Respuesta: NPV = −8610 €
Valor actual neto: descuenta cada flujo de caja hasta hoy con la rentabilidad exigida r y súmalos: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un proyecto con NPV > 0 rinde más que r y crea valor. La tasa interna de rentabilidad (TIR) es el tipo para el que NPV = 0.
El VAN es negativo, así que el proyecto rinde menos que la rentabilidad exigida.
Respuesta: r* = 5,414 %
Tipo de cruce (tasa de Fisher): el tipo de descuento con el que dos proyectos tienen el mismo VAN. Es la TIR de la diferencia de sus flujos de caja (B − A). Por debajo de él, el proyecto con flujos más tardíos y grandes tiene mayor VAN; por encima, gana el otro.
Comprobación: al 5,414% ambos VAN valen €3 376,11.
Respuesta: P = 0,4931
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
Respuesta: P = 0,7881
Sumas y diferencias de variables normales: si X e Y son independientes y normales, X + Y y X − Y también son normales. Las medias se suman o se restan: E(X ± Y) = μX ± μY. Las varianzas siempre se suman, también en una diferencia: Var(X ± Y) = σX² + σY², así que σ = √(σX² + σY²). Las desviaciones típicas nunca se suman directamente. El total de n elementos independientes con la misma distribución tiene media n·μ y desviación típica σ·√n. Después estandariza como de costumbre: z = (x − media)/σ y lee Φ(z).
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