Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 30 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Halla la reacción vertical RB.
La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Halla la reacción vertical RA.
Exactamente un miembro de esta cercha no soporta ninguna fuerza con estas cargas. ¿Cuál es el miembro de fuerza nula? Haz clic en él en el diagrama.
Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FAC en la barra AC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.
Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.
La viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida sobre parte de su luz. Halla el momento flector máximo Mmax en la viga.
Un voladizo soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. Halla la flecha δ en el extremo libre.
Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo Ireq que cumple este límite.
Un pilar de longitud L de aluminio está articulado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.
Un pilar macizo circular de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Debe soportar 105 kN con un coeficiente de seguridad de 3 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.
Una placa de 150 mm × 300 mm tiene un agujero circular de diámetro 40 mm en su línea central vertical, con su centro a 120 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia Ix respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.
Una placa de 120 mm × 240 mm tiene un recorte rectangular de 40 mm de ancho y 30 mm de alto, centrado en la línea central vertical con su centro a 144 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia Ix respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.
Para el perfil de suelo mostrado, halla la presión intersticial u en el punto X.
Para el perfil de suelo mostrado, halla la tensión vertical total σ en el punto X.
Un estrato de arcilla sobreconsolidada de 4,5 m de espesor tiene Cc = 0,25, Cr = 0,05 y e₀ = 1,1. A media profundidad la tensión vertical efectiva es 105 kPa y la presión de preconsolidación es 155 kPa. Un edificio nuevo añade 170 kPa de tensión vertical a media profundidad. Halla el asiento por consolidación primaria S en mm.
En un ensayo edométrico de laboratorio, una probeta de arcilla de 19 mm de espesor, drenada por arriba y por abajo, alcanza el 50 % de consolidación en 5 min. En el campo la misma arcilla forma un estrato de 10 m de espesor. Descansa sobre roca impermeable, con arena encima, así que el agua solo drena por arriba. ¿Cuántos días t tarda el estrato de campo en alcanzar el 50 % de consolidación?
Una compuerta rectangular vertical de 3 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 2,5 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.
Una compuerta rectangular vertical de 2 m de ancho está en la pared de un depósito de agua de mar, con su borde superior a 3 m bajo la superficie. Halla la profundidad ycp del centro de presiones bajo la superficie.
Agua circula a razón de 75 L/s por una tubería de 150 m de longitud y 250 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,015 y g = 9,81 m/s². Halla la pérdida de carga por fricción hf.
Dos depósitos abiertos están unidos por una tubería de 200 m de longitud, 300 mm de diámetro interior y factor de fricción de Darcy f = 0,022. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 4 codos (K = 0,3 cada uno), una válvula (K = 0,2) y la salida al depósito inferior (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². ¿Qué diferencia de nivel de agua Δz entre los depósitos da un caudal de 80 L/s?
Un colector de pluviales de hormigón de 300 mm de diámetro interior funciona a media sección. n de Manning = 0,013 y la pendiente es S = 0,0015. Halla el caudal Q en m³/s.
Un canal trapecial de grava con una anchura de fondo de 3,5 m y taludes de 3:1 (horizontal:vertical) debe transportar 33 m³/s en régimen uniforme con un calado de 1,6 m. n de Manning = 0,025. Halla la pendiente del fondo necesaria S (en m/m).
En un ensayo, una bomba impulsa 10 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 72 m mientras su eje absorbe 8,8 kW. Usa g = 9,81 m/s². Halla el rendimiento de la bomba η en porcentaje.
Una bomba impulsa 40 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 8 m más alta. La tubería mide 150 m de longitud, tiene 150 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,025; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 6 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². Halla la altura H que debe añadir la bomba.
Necesitas €20 000 dentro de 10 años. Una cuenta paga un 6 % anual con capitalización mensual. ¿Cuánto debes ingresar hoy? Calcula el valor actual PV.
Un préstamo de €25 000 se devuelve en cuotas mensuales iguales durante 3 años. El tipo de interés es del 5,4 % anual con capitalización mensual. Calcula la cuota mensual A.
Una inversión de €45 000 genera estos flujos al final de los años 1 a 4: €16 000, €18 000, €20 000, €18 000. El coste de capital es del 15 %. Calcula el valor actual neto NPV.
Un proyecto cuesta €25 000 y devuelve €9 500, €15 000, €9 000 al final de los años 1 a 3. Calcula su tasa interna de rentabilidad IRR en porcentaje.
Supón que las puntuaciones de CI siguen una distribución normal con media 100 puntos y desviación típica 15 puntos. ¿Qué fracción está entre 93,25 y 127,75 puntos? Da P como número decimal.
Supón que las estaturas de los hombres adultos siguen una distribución normal con media 178 cm y desviación típica 7 cm. Halla el valor x por debajo del cual queda el 80 % de los datos (el percentil 80).
Respuesta: RB = 56 kN
Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.
Sustituye los apoyos por fuerzas de reacción. Un apoyo deslizante da una reacción vertical; con solo cargas verticales, la articulación también da una reacción vertical.
Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.
Respuesta: RA = 35,42 kN
Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.
Sustituye los apoyos por fuerzas de reacción. Un apoyo deslizante da una reacción vertical; con solo cargas verticales, la articulación también da una reacción vertical.
Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.
Respuesta: miembro CG
Miembros de fuerza nula: en un nudo, las fuerzas deben equilibrarse en todas las direcciones. Si un nudo no tiene carga ni apoyo, y dos de sus tres miembros están alineados, el equilibrio perpendicular a esa línea involucra solo al tercer miembro, así que su fuerza es cero. Si en un nudo sin carga solo se unen dos miembros y no están alineados, ambos son nulos.
BC y CD están en una misma línea recta y el nudo no tiene carga. Al equilibrar las fuerzas perpendicularmente a esa línea queda solo CG.
Resolver todos los nudos da estas fuerzas en los miembros (T = tracción, C = compresión).
Respuesta: FAC = 2,083 kN
Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.
Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.
El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.
Respuesta: E (x = 8 m)
Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.
Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.
Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.
Respuesta: Mmax = 25,52 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.
Equilibrio de toda la viga.
El cortante empieza en RA, se mantiene constante en los tramos descargados y disminuye con pendiente w dentro de la carga.
Respuesta: δ = 5,273 mm
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).
Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
Respuesta: Ireq = 133,2 × 10⁶ mm⁴
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).
Respuesta: Pcr = 16,38 kN
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.
Respuesta: d = 42,46 mm
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Comprobación: la esbeltez KL/r es 94,2, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.
Respuesta: Ix = 336,2 × 10⁶ mm⁴
Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene Ic = bh³/12 y un círculo Ic = πd⁴/64.
Respuesta: Ix = 137,4 × 10⁶ mm⁴
Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene Ic = bh³/12 y un círculo Ic = πd⁴/64.
Respuesta: u = 39,24 kPa
Tensión efectiva (Terzaghi): el esqueleto del suelo soporta σ′ = σ − u. La tensión total σ es el peso de todo lo que hay sobre el punto, Σγ·h, usando el peso específico seco por encima del nivel freático y el saturado por debajo. Bajo el nivel freático la presión intersticial es hidrostática: u = γw·(profundidad bajo el nivel freático).
La presión del agua crece con la profundidad bajo el nivel freático.
Respuesta: σ = 125,5 kPa
Tensión efectiva (Terzaghi): el esqueleto del suelo soporta σ′ = σ − u. La tensión total σ es el peso de todo lo que hay sobre el punto, Σγ·h, usando el peso específico seco por encima del nivel freático y el saturado por debajo. Bajo el nivel freático la presión intersticial es hidrostática: u = γw·(profundidad bajo el nivel freático).
Suma el peso de cada capa de suelo sobre X. Por encima del nivel freático usa el peso específico seco; por debajo, el saturado.
Respuesta: S = 151,5 mm
Consolidación primaria de un estrato de arcilla de espesor H, usando la tensión efectiva en el centro del estrato: σ′f = σ′0 + Δσ. Arcilla normalmente consolidada: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Una arcilla sobreconsolidada se recomprime según Cr hasta la presión de preconsolidación σ′p y solo sigue Cc por encima de ella. Tiempo: t = Tv·Hdr²/cv, donde la longitud de drenaje Hdr es H/2 cuando el agua puede salir por arriba y por abajo, y H cuando solo drena una cara.
Recompresión hasta σ′p, compresión noval por encima.
Respuesta: t = 3847 días
Consolidación primaria de un estrato de arcilla de espesor H, usando la tensión efectiva en el centro del estrato: σ′f = σ′0 + Δσ. Arcilla normalmente consolidada: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Una arcilla sobreconsolidada se recomprime según Cr hasta la presión de preconsolidación σ′p y solo sigue Cc por encima de ella. Tiempo: t = Tv·Hdr²/cv, donde la longitud de drenaje Hdr es H/2 cuando el agua puede salir por arriba y por abajo, y H cuando solo drena una cara.
t = Tv·Hdr²/cv con los mismos T_v y cv en laboratorio y en campo.
Respuesta: F = 206 kN
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·yc·A. Actúa en el centro de presiones, ycp = yc + Ic/(ycA), que siempre está por debajo del centroide.
Respuesta: ycp = 4,667 m
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·yc·A. Actúa en el centro de presiones, ycp = yc + Ic/(ycA), que siempre está por debajo del centroide.
La presión aumenta con la profundidad, así que la resultante actúa por debajo del centroide.
Respuesta: hf = 1,071 m
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Respuesta: Δz = 1,147 m
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Respuesta: Q = 0,01873 m³/s
Ecuación de Manning (SI): para flujo uniforme en un canal abierto V = (1/n)·R2/3·S1/2 y Q = A·V, con n el coeficiente de rugosidad, S la pendiente del fondo (m/m) y R = A/P el radio hidráulico: área de la sección mojada dividida entre el perímetro mojado. En P solo cuenta el contorno en contacto con el agua, no la superficie libre. Rectángulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapecio con taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Una tubería circular llena o a media sección tiene R = D/4.
Respuesta: S = 0,003991 m/m
Ecuación de Manning (SI): para flujo uniforme en un canal abierto V = (1/n)·R2/3·S1/2 y Q = A·V, con n el coeficiente de rugosidad, S la pendiente del fondo (m/m) y R = A/P el radio hidráulico: área de la sección mojada dividida entre el perímetro mojado. En P solo cuenta el contorno en contacto con el agua, no la superficie libre. Rectángulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapecio con taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Una tubería circular llena o a media sección tiene R = D/4.
Eso supone un desnivel de 3,991 m por kilómetro.
Respuesta: η = 80,26 %
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Respuesta: H = 16,1 m
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Las dos superficies están abiertas y prácticamente en reposo, así que los términos de presión y velocidad se anulan.
Respuesta: PV = 10993 €
Valor temporal del dinero: el dinero de hoy vale más que la misma cantidad en el futuro, porque puede generar intereses. Con un tipo de interés i por periodo, una cantidad crece a FV = PV·(1 + i)n. Una serie de pagos iguales (una renta) se valora sumando cada pago, de donde salen las fórmulas de rentas.
Respuesta: A = 753,8 €
Valor temporal del dinero: el dinero de hoy vale más que la misma cantidad en el futuro, porque puede generar intereses. Con un tipo de interés i por periodo, una cantidad crece a FV = PV·(1 + i)n. Una serie de pagos iguales (una renta) se valora sumando cada pago, de donde salen las fórmulas de rentas.
El valor actual de N pagos iguales A es A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguálalo al préstamo y despeja A.
Respuesta: NPV = 5966 €
Valor actual neto: descuenta cada flujo de caja hasta hoy con la rentabilidad exigida r y súmalos: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un proyecto con NPV > 0 rinde más que r y crea valor. La tasa interna de rentabilidad (TIR) es el tipo para el que NPV = 0.
El VAN es positivo, así que el proyecto rinde más que la rentabilidad exigida.
Respuesta: IRR = 16,25 %
Valor actual neto: descuenta cada flujo de caja hasta hoy con la rentabilidad exigida r y súmalos: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un proyecto con NPV > 0 rinde más que r y crea valor. La tasa interna de rentabilidad (TIR) es el tipo para el que NPV = 0.
El VAN baja al subir el tipo, así que la TIR está entre un tipo con VAN positivo y otro con VAN negativo.
La interpolación lineal da una primera estimación; repetirla (o la función TIR de una calculadora) da el tipo exacto.
Respuesta: P = 0,6415
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
Respuesta: x = 183,9 cm
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
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