Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 42 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Halla la reacción vertical RA.
La viga en voladizo está empotrada en el muro en A. Soporta una carga linealmente variable que es nula en el muro y crece hasta 8 kN/m en el extremo libre B, además de una carga puntual P a 4,5 m del muro. Halla el valor del momento de empotramiento MA en el muro.
Una varilla de acero (diámetro 20 mm, E = 200 GPa) está dentro de un tubo de latón (diámetro exterior 80 mm, diámetro interior 50 mm, E = 100 GPa). Ambos miden 800 mm de largo y se comprimen juntos entre placas rígidas con 100 kN. Halla el acortamiento δ.
Un tramo de acero (diámetro 25 mm, longitud 300 mm, E = 200 GPa) y un tramo de cobre (diámetro 50 mm, longitud 400 mm, E = 120 GPa) se unen extremo con extremo y se fijan entre dos muros rígidos. Una carga axial de 100 kN actúa en la unión, hacia el tramo 2. Halla el valor de la tensión σ2 en el tramo 2.
En un ensayo de torsión, una probeta maciza de 12 mm de diámetro se tuerce con un par de 30 N·m. Los dos extremos de una longitud de medida de 200 mm giran 6,49° uno respecto al otro (el material sigue en régimen elástico). Halla el módulo de elasticidad transversal G del material.
Un eje hueco debe transmitir 100 kW a 500 rpm. Su diámetro interior debe ser 0,75 veces su diámetro exterior, y la tensión cortante no debe superar 75 MPa. Halla el diámetro exterior mínimo do.
La viga simplemente apoyada soporta dos cargas puntuales. Halla el momento flector máximo Mmax en la viga.
Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.
En un punto σₓ = 20 MPa, σᵧ = −50 MPa y τₓᵧ = 50 MPa (tracción positiva). El elemento se gira 20° en sentido horario. Halla la tensión normal σy′ en las caras del elemento girado perpendiculares al eje girado y′.
Un punto de una placa delgada está en tensión plana: σₓ = 90 MPa, σᵧ = −40 MPa y τₓᵧ = 60 MPa (σz = 0). El material tiene un límite elástico de 300 MPa. Halla el coeficiente de seguridad n frente a la plastificación según el criterio de von Mises (energía de distorsión).
Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δmax, en el centro del vano.
Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo Ireq que cumple este límite.
Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y libre arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.
Un pilar macizo circular de longitud L de acero está empotrado en ambos extremos. Debe soportar 135 kN con un coeficiente de seguridad de 2,5 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.
Se lanza una pelota desde un terreno horizontal a 26 m/s y debe caer a 35 m. Desprecia la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². Halla el menor de los dos ángulos de lanzamiento posibles θ.
Se lanza una pelota a 12 m/s y 15° por encima de la horizontal desde lo alto de un acantilado de 35 m. Desprecia la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². Halla la velocidad v con la que llega al suelo.
Un bloque baja desde el reposo por una rampa inclinada 45° respecto a la horizontal. El coeficiente de rozamiento dinámico es 0,35. Halla su velocidad v tras deslizar 17 m por la rampa.
Se suelta desde el reposo un bloque de 5 kg a una altura de 1,5 m en una rampa lisa. Abajo cruza una franja horizontal rugosa de 2 m (μ = 0,2) y después choca contra un muelle (k = 2000 N/m) sobre una superficie lisa. Halla la compresión máxima x del muelle.
Una masa de 15 kg está soportada por un muelle con una rigidez de 15 kN/m y un amortiguador viscoso con un coeficiente de amortiguamiento de 90 N·s/m. Halla el factor de amortiguamiento ζ.
Una masa de 5 kg cuelga del muelle k₃ = 15 kN/m. El extremo superior de k₃ está unido a una barra rígida que cuelga de dos muelles uno al lado del otro, k₁ = 15 kN/m y k₂ = 60 kN/m; la barra se mantiene horizontal. Desprecia el amortiguamiento y las masas de los muelles y de la barra. Halla la frecuencia natural fn de vibración vertical en Hz.
Una máquina térmica funciona entre un foco caliente a 700 °C y un foco frío a 5 °C. Absorbe 3200 kJ de calor. Halla el trabajo máximo Wmax que podría producir.
Una bomba de calor aporta 7,5 kW de calor a un sistema de calefacción a 55 °C, tomando calor de un foco a 2 °C. Su COP real es el 55 % del COP de Carnot entre estas temperaturas. Halla la potencia eléctrica Ẇ que consume.
Un ciclo Diesel ideal tiene una relación de compresión r = 20 y una relación de corte rc = v₃/v₂ = 2,5. Al comienzo de la compresión el aire está a 320 K. Usa las hipótesis de aire estándar frío: el aire es un gas ideal con calores específicos constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) y cv = 0,718 kJ/(kg·K). Halla la temperatura T3 al final del aporte de calor, en K.
Una central de turbina de gas funciona según un ciclo Brayton con una relación de presiones en el compresor de 16. El aire entra en el compresor a 300 K y en la turbina a 1400 K. Las dos máquinas son isentrópicas. Usa las hipótesis de aire estándar frío: el aire es un gas ideal con calores específicos constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) y cv = 0,718 kJ/(kg·K). Halla el trabajo neto wnet por kilogramo de aire, en kJ/kg.
El agua circula por una tubería horizontal que se estrecha de 75 mm a 25 mm. En el tramo ancho la presión es 180 kPa y la velocidad 1,5 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p2 en el tramo estrecho.
El agua sube por una tubería que se estrecha de 75 mm a 50 mm mientras asciende 2 m. En la sección 1 la presión es 380 kPa y la velocidad 1,25 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p2 en la sección 2.
Agua circula a razón de 5 L/s por una tubería de 50 m de longitud y 75 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,03 y g = 9,81 m/s². Halla la pérdida de carga por fricción hf.
Dos depósitos abiertos están unidos por una tubería de 150 m de longitud, 150 mm de diámetro interior y factor de fricción de Darcy f = 0,025. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 4 codos (K = 0,3 cada uno), una válvula (K = 2) y la salida al depósito inferior (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². ¿Qué diferencia de nivel de agua Δz entre los depósitos da un caudal de 50 L/s?
En un ensayo, una bomba impulsa 10 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 38 m mientras su eje absorbe 4,7 kW. Usa g = 9,81 m/s². Halla el rendimiento de la bomba η en porcentaje.
Una bomba impulsa 75 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 16 m más alta. La tubería mide 200 m de longitud, tiene 200 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,022; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 6 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El depósito superior está cerrado y el aire sobre el agua está a una presión manométrica de 200 kPa. Halla la altura H que debe añadir la bomba.
Un muro está formado por 150 mm de placa de yeso y 25 mm de vidrio, con un área de 15 m². Las caras exteriores están a 24 °C y 2 °C. Halla la temperatura Ti en la interfaz entre las dos capas.
Un muro de 150 mm de poliestireno expandido y 25 mm de madera separa una habitación a 22 °C del aire exterior a -2 °C. Los coeficientes de convección son 10 W/(m²·K) dentro y 25 W/(m²·K) fuera, y el área del muro es 10 m². Halla el coeficiente global de transmisión de calor U del muro.
Una polea de 125 mm a 720 rpm acciona una polea de 400 mm mediante una correa con un 2 % de deslizamiento. Halla la velocidad n2 de la polea conducida.
Un motor de 5,5 kW a 1440 rpm acciona la rueda A (32 dientes), que engrana con la rueda B (48 dientes). La rueda C (16 dientes), en el mismo eje que B, acciona la rueda D (32 dientes) en el eje de salida. Cada engrane tiene un rendimiento del 95 %. Halla el par de salida Tout.
F(s) = (2s + 12)/(s² + 5s + 4). Su transformada inversa tiene la forma f(t) = A·e−t + B·e−4t. Halla el coeficiente A por fracciones parciales.
Un sistema cumple y″ + 6y′ + 5y = 25·u(t). Parte del reposo (y(0) = 0, y′(0) = 0) y la entrada es un escalón u(t) = 5 para t ≥ 0. Usa la transformada de Laplace para hallar la salida y(0,6).
La planta G(s) = K/((s + 10)(s + 12)) está en un lazo de realimentación negativa unitaria. Halla la ganancia K para la que el lazo cerrado está críticamente amortiguado (dos polos reales iguales).
La planta G(s) = K/(s(s + 5)(s + 6)) está en un lazo de realimentación negativa unitaria. Con la mayor ganancia estable el lazo oscila. Halla la frecuencia de oscilación ω en rad/s.
Un sistema tiene la función de transferencia G(s) = 84/(s² + 10s + 42) y recibe una entrada escalón unitario. Halla el tiempo de pico tp de la respuesta al escalón.
Una masa m = 1 kg cuelga de un resorte k = 200 N/m con un amortiguador viscoso c = 6 N·s/m (m·x″ + c·x′ + k·x = F). En reposo, en equilibrio, se aplica de repente una fuerza constante F = 50 N. Halla el factor de amortiguamiento ζ.
Se aplica la entrada parabólica r(t) = 0,5·t²/2 a un lazo con realimentación unitaria con G(s) = 5(s + 3)/(s²(s + 1)). Halla el error en régimen permanente ess.
Un controlador proporcional K = 10 controla la planta G(s) = 1/(s(s + 2)) en un lazo con realimentación unitaria. Halla el tiempo de pico tp de la respuesta al escalón.
Respuesta: RA = 58 kN
Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.
Sustituye los apoyos por fuerzas de reacción. Un apoyo deslizante da una reacción vertical; con solo cargas verticales, la articulación también da una reacción vertical.
Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.
Respuesta: MA = 381,7 kN·m
Equilibrio de un voladizo: un empotramiento puede empujar hacia arriba y además impedir el giro, así que da una reacción vertical RA y un momento de empotramiento MA. ΣFy = 0 da RA, y los momentos respecto al muro dan MA = Σ(carga × distancia al muro). Una carga repartida actúa como su resultante en el centroide del diagrama de carga.
Respuesta: δ = 0,2167 mm
Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, Pi = P·EiAi/ΣEA, y σi = Ei·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.
Respuesta: σ2 = 32,74 MPa
Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, Pi = P·EiAi/ΣEA, y σi = Ei·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.
Respuesta: G = 26,02 GPa
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Compara: acero ≈ 80 GPa, latón ≈ 39 GPa, aluminio ≈ 26 GPa.
Respuesta: do = 57,46 mm
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Un eje macizo necesitaría d = 50,62 mm; el hueco es algo mayor pero mucho más ligero.
Respuesta: Mmax = 108 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.
Equilibrio de toda la viga.
Quédate con la parte a la izquierda de cada carga.
Respuesta: B (x = 1 m)
Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.
Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.
Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.
Respuesta: σy′ = −9,672 MPa
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.
La suma de las tensiones normales no cambia con el giro.
Respuesta: n = 1,932
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. Criterios de plastificación: von Mises predice la plastificación cuando σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) alcanza σY; Tresca, cuando la tensión cortante máxima absoluta alcanza σY/2.
n > 1 significa que el punto no plastifica; Tresca es algo más conservador que von Mises.
Respuesta: δmax = 4,762 mm
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).
Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
Respuesta: Ireq = 213,1 × 10⁶ mm⁴
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).
Respuesta: Pcr = 4,205 kN
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.
Respuesta: d = 68,31 mm
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Comprobación: la esbeltez KL/r es 146,4, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.
Respuesta: θ = 15,26 °
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
La otra solución es 90° − θ = 74,74°.
Respuesta: v = 28,82 m/s
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Energía, o v² = v₀² + 2as en la dirección vertical.
Comprobación con la energía: v² = v₀² + 2gh.
Respuesta: v = 12,38 m/s
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d).
El bloque baja una altura d·sin θ mientras el rozamiento le quita μmg·cos θ·d. La masa se cancela.
Respuesta: x = 23,23 cm
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d).
La rampa es lisa, así que solo la franja quita energía.
Respuesta: ζ = 0,09487
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, así que el sistema es subamortiguado y oscila mientras se amortigua.
Respuesta: fn = 7,958 Hz
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Solo k1 y k2 están en paralelo. Ese par está en serie con k3, así que combínalos como inversos.
Respuesta: Wmax = 2285 kJ
Límites del segundo principio: ningún ciclo entre focos a temperaturas absolutas TH y TL puede superar al ciclo reversible (de Carnot): ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) y COPHP,max = TH/(TH − TL). La energía siempre se conserva: QH = W + QL.
Respuesta: Ẇ = 2,202 kW
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Respuesta: T3 = 2652 K
Ciclo Diesel (motor de encendido por compresión): 1→2 compresión isentrópica, 2→3 aporte de calor a presión constante, 3→4 expansión isentrópica, 4→1 cesión de calor a volumen constante. Con relación de compresión r = v₁/v₂ y relación de corte rc = v₃/v₂: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) y η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).
Respuesta: wnet = 405,6 kJ/kg
Ciclo Brayton (turbina de gas): 1→2 compresión isentrópica, 2→3 aporte de calor a presión constante, 3→4 expansión isentrópica en la turbina, 4→1 cesión de calor a presión constante. Con relación de presiones rp = P₂/P₁: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k y η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Trabajo neto w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Con rendimientos isentrópicos, el compresor necesita ws/ηc y la turbina da ηt·ws.
Relación de trabajo de retroceso: wc/wt = 47,32%.
Respuesta: p2 = 90 kPa
Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.
Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.
Respuesta: p2 = 357,2 kPa
Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.
Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.
Respuesta: hf = 1,306 m
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Respuesta: Δz = 12,12 m
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Respuesta: η = 79,31 %
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Respuesta: H = 44,52 m
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Las dos superficies están prácticamente en reposo, así que no hay término de altura de velocidad.
Respuesta: Ti = 2,631 °C
Resistencia térmica: el flujo de calor estacionario a través de capas en serie se comporta como la corriente por resistencias en serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) para una capa conductora y R = 1/(hA) para una superficie con convección. La caída de temperatura en cada capa es proporcional a su resistencia.
La temperatura baja Q̇·R₁ a través de la primera capa.
Respuesta: U = 0,2187 W/(m²·K)
Resistencia térmica: el flujo de calor estacionario a través de capas en serie se comporta como la corriente por resistencias en serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) para una capa conductora y R = 1/(hA) para una superficie con convección. La caída de temperatura en cada capa es proporcional a su resistencia.
Respuesta: n2 = 220,5 rpm
Transmisiones por correa: sin deslizamiento, ambas poleas tienen la misma velocidad periférica v = π·d·n/60, así que n₁·d₁ = n₂·d₂ y la relación de velocidades es d₂/d₁. El deslizamiento s hace que la polea conducida gire un poco más despacio: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La potencia transmitida es P = (T₁ − T₂)·v, con T₁ la tensión del ramal tenso y T₂ la del ramal flojo. El rozamiento limita la relación de tensiones: T₁/T₂ = eμθ, donde θ es el ángulo de contacto en radianes sobre la polea menor; para una correa abierta θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) con distancia entre centros C.
Respuesta: Tout = 98,75 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Respuesta: A = 3,333
Transformada de Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt convierte las derivadas en multiplicaciones por s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pares estándar: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), y un desplazamiento s → s + σ multiplica la función temporal por e−σt. Para invertir una F(s) racional, descomponla en fracciones parciales: el residuo de un polo simple p es A = [(s − p)·F(s)] en s = p. Teorema del valor final: f(∞) = lims→0 s·F(s), válido solo cuando todos los polos de s·F(s) están en el semiplano izquierdo. Teorema del valor inicial: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Multiplica por (s + 1) y haz s = −1: el término de B se anula.
Respuesta: y(0.6) = 8,161
Transformada de Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt convierte las derivadas en multiplicaciones por s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pares estándar: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), y un desplazamiento s → s + σ multiplica la función temporal por e−σt. Para invertir una F(s) racional, descomponla en fracciones parciales: el residuo de un polo simple p es A = [(s − p)·F(s)] en s = p. Teorema del valor final: f(∞) = lims→0 s·F(s), válido solo cuando todos los polos de s·F(s) están en el semiplano izquierdo. Teorema del valor inicial: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Respuesta: K = 1
Álgebra de diagramas de bloques: los bloques en serie se multiplican (G₁·G₂), los bloques en paralelo se suman (G₁ + G₂), y un lazo con camino directo G y camino de realimentación H se reduce a T = G/(1 + G·H) para realimentación negativa y G/(1 − G·H) para realimentación positiva. Reduce primero los lazos internos y avanza hacia fuera. Los polos en lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica 1 + G(s)H(s) = 0. Para un lazo estable, una entrada escalón de tamaño A da la salida en régimen estacionario A·T(0); con realimentación unitaria el error en régimen estacionario ante un escalón es A/(1 + Kp) con Kp = G(0).
Un polinomio cuadrático s² + βs + γ tiene una raíz doble cuando β² = 4γ.
Respuesta: ω = 5,477 rad/s
Álgebra de diagramas de bloques: los bloques en serie se multiplican (G₁·G₂), los bloques en paralelo se suman (G₁ + G₂), y un lazo con camino directo G y camino de realimentación H se reduce a T = G/(1 + G·H) para realimentación negativa y G/(1 − G·H) para realimentación positiva. Reduce primero los lazos internos y avanza hacia fuera. Los polos en lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica 1 + G(s)H(s) = 0. Para un lazo estable, una entrada escalón de tamaño A da la salida en régimen estacionario A·T(0); con realimentación unitaria el error en régimen estacionario ante un escalón es A/(1 + Kp) con Kp = G(0).
Todos los elementos de la primera columna deben ser positivos.
Respuesta: tp = 0,7619 s
Respuesta al escalón: un sistema de primer orden G(s) = K/(τs + 1) responde a un escalón de tamaño U con y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): alcanza el 63,2 % del valor final K·U después de una constante de tiempo τ y el 98 % después de 4τ. Un sistema de segundo orden G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) tiene los polos s = −ζωₙ ± jωd con ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Para 0 < ζ < 1 la respuesta al escalón tiene sobreimpulso: sobreimpulso porcentual %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tiempo de pico tp = π/ωd y tiempo de establecimiento al 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Compara el denominador con s² + 2ζωₙs + ωₙ² para obtener ωₙ y ζ. Para un sistema masa–resorte–amortiguador ωₙ = √(k/m) y ζ = c/(2√(km)); para un circuito RLC serie ωₙ = 1/√(LC) y ζ = (R/2)·√(C/L).
El denominador debe coincidir con s² + 2ζωₙs + ωₙ².
Respuesta: ζ = 0,2121
Respuesta al escalón: un sistema de primer orden G(s) = K/(τs + 1) responde a un escalón de tamaño U con y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): alcanza el 63,2 % del valor final K·U después de una constante de tiempo τ y el 98 % después de 4τ. Un sistema de segundo orden G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) tiene los polos s = −ζωₙ ± jωd con ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Para 0 < ζ < 1 la respuesta al escalón tiene sobreimpulso: sobreimpulso porcentual %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tiempo de pico tp = π/ωd y tiempo de establecimiento al 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Compara el denominador con s² + 2ζωₙs + ωₙ² para obtener ωₙ y ζ. Para un sistema masa–resorte–amortiguador ωₙ = √(k/m) y ζ = c/(2√(km)); para un circuito RLC serie ωₙ = 1/√(LC) y ζ = (R/2)·√(C/L).
Respuesta: ess = 0,03333
Error en régimen permanente: en un lazo con realimentación unitaria y función de transferencia de lazo abierto G(s) el error es E(s) = R(s)/(1 + G(s)), y por el teorema del valor final ess = lims→0 s·E(s). El tipo del sistema es el número de polos de G(s) en s = 0. Las constantes de error son Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) y Ka = lim s²·G(s), todas para s → 0. Un escalón de tamaño A da ess = A/(1 + Kp), una rampa A·t da A/Kv y una parábola A·t²/2 da A/Ka. Un lazo de tipo 0 sigue un escalón con un error finito, un lazo de tipo 1 lo sigue exactamente y sigue una rampa con un error finito.
Respuesta: tp = 1,047 s
Control P, PI y PID: el controlador C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s actúa sobre el error. Una ganancia proporcional hace el lazo más rápido y reduce el error de una planta de tipo 0, pero nunca lo elimina. El término integral añade un polo en s = 0: el tipo del sistema sube una unidad y un escalón se sigue sin error. El término derivativo añade amortiguamiento. Para elegir las ganancias, escribe el polinomio característico de lazo cerrado y compáralo con s² + 2ζωns + ωn². Entonces %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd con ωd = ωn√(1 − ζ²), y ts ≈ 4/(ζωn).
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