Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 42 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Halla la reacción vertical RB.
La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Halla la reacción vertical RA.
Halla la deformación axial ε en la barra de latón, en microdeformaciones (µε = 10⁻⁶).
Un tramo de acero (diámetro 20 mm, longitud 500 mm, E = 200 GPa) y un tramo de latón (diámetro 50 mm, longitud 200 mm, E = 100 GPa) se unen extremo con extremo y se fijan entre dos muros rígidos. Una carga axial de 20 kN actúa en la unión, hacia el tramo 2. Halla el valor de la tensión σ2 en el tramo 2.
Un eje macizo escalonado de latón está empotrado en A. El tramo AB tiene un diámetro de 50 mm y una longitud de 0,5 m; el tramo BC tiene un diámetro de 30 mm y una longitud de 2 m. En el extremo libre C actúa un par de 100 N·m. Halla el ángulo de torsión φC del extremo C, en grados.
Un eje macizo de aluminio de 25 mm de diámetro está empotrado en muros rígidos en sus dos extremos A y B. Se aplica un par de 100 N·m en C, a 0,8 m de A y a 2,5 m de B. Halla el ángulo de giro φC de la sección C, en grados.
Halla el esfuerzo cortante Vx en la sección x = 1,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
Halla el momento flector Mx en la sección x = 3,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
Un punto de una placa delgada está en tensión plana: σₓ = 70 MPa, σᵧ = 10 MPa y τₓᵧ = 10 MPa, con σz = 0. Halla la tensión cortante máxima absoluta τabs en el punto (considerando todos los planos en tres dimensiones).
Un punto de una placa delgada está en tensión plana: σₓ = −50 MPa, σᵧ = −70 MPa y τₓᵧ = −20 MPa (σz = 0). El material tiene un límite elástico de 350 MPa. Halla el coeficiente de seguridad n frente a la plastificación según el criterio de von Mises (energía de distorsión).
Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δmax, en el centro del vano.
Una viga de madera simplemente apoyada, de sección rectangular de 75 mm de ancho, soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Su flecha en el centro no puede superar luz/300. Halla el canto mínimo hreq de la sección.
Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y libre arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.
Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y libre arriba. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σcr con la fórmula de Euler.
Se lanza una pelota a 50° sobre la horizontal desde el suelo llano. Desprecia la resistencia del aire. Halla la distancia horizontal x recorrida antes de que la pelota toque el suelo.
Se lanza una pelota a 20° sobre la horizontal desde lo alto de un acantilado de 30 m. Desprecia la resistencia del aire. Halla el tiempo de vuelo t hasta que la pelota toca el suelo.
Un lanzador de juguete tiene un muelle vertical de rigidez 2000 N/m. Se coloca encima una bola de 0,5 kg, se comprime el muelle 4 cm y se suelta. Despreciando la resistencia del aire y la masa del muelle, halla la altura h que sube la bola, medida desde su posición con el muelle comprimido.
Un muelle de rigidez 3000 N/m situado al pie de una pendiente de 35° se comprime 20 cm contra un bloque de 0,5 kg y se suelta. El coeficiente de rozamiento dinámico entre el bloque y la pendiente es 0,15. ¿Qué distancia d recorre el bloque pendiente arriba desde el punto de suelta hasta detenerse? (Desprecia el corto tramo en el que empuja el muelle, es decir, aplica el rozamiento y la gravedad a toda la distancia d.)
Una masa de 5 kg está soportada por un muelle con una rigidez de 1 kN/m y un amortiguador viscoso con un coeficiente de amortiguamiento de 80 N·s/m. Halla el factor de amortiguamiento ζ.
Una masa de 10 kg cuelga de dos muelles unidos uno tras otro (en serie): el muelle superior tiene k₁ = 15 kN/m y el inferior k₂ = 20 kN/m. Halla la rigidez equivalente keq del sistema de muelles en kN/m.
Un frigorífico reversible mantiene una cámara fría a -30 °C extrayendo 9 kW de calor, y cede calor al ambiente a 25 °C. Halla el calor Q̇H que cede por unidad de tiempo.
Una bomba de calor mantiene una casa a 22 °C mientras fuera hay 2 °C, y aporta 5 kW de calor a la casa. Halla el máximo coeficiente de rendimiento posible COPmax.
Un ciclo Diesel ideal tiene una relación de compresión r = 19 y una relación de corte rc = v₃/v₂ = 2,2. Al comienzo de la compresión el aire está a 305 K. Usa las hipótesis de aire estándar frío: el aire es un gas ideal con calores específicos constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) y cv = 0,718 kJ/(kg·K). Halla la temperatura T3 al final del aporte de calor, en K.
Una central de turbina de gas funciona según un ciclo Brayton con una relación de presiones en el compresor de 12. El aire entra en el compresor a 300 K y en la turbina a 1400 K. El compresor tiene un rendimiento isentrópico del 88 % y la turbina del 90 %. Usa las hipótesis de aire estándar frío: el aire es un gas ideal con calores específicos constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) y cv = 0,718 kJ/(kg·K). Halla el trabajo neto wnet por kilogramo de aire, en kJ/kg.
Un depósito grande y abierto se vacía por un orificio de arista viva de 50 mm de diámetro. El nivel del agua se mantiene 4 m por encima del orificio y el coeficiente de descarga es 0,6. Halla el caudal Q. Usa g = 9,81 m/s².
Por un venturímetro horizontal (entrada de 150 mm, garganta de 100 mm) circula agua. Un manómetro diferencial de mercurio en U conectado entre la entrada y la garganta indica una diferencia de nivel de 110 mm. El coeficiente de descarga es 0,95. Halla el caudal Q. Usa ρ = 1000 kg/m³ para el agua, 13 600 kg/m³ para el mercurio y g = 9,81 m/s².
Agua circula a razón de 80 L/s por una tubería de 200 m de longitud y 200 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,028 y g = 9,81 m/s². Halla la pérdida de carga por fricción hf.
Dos depósitos abiertos están unidos por una tubería de 150 m de longitud, 100 mm de diámetro interior y factor de fricción de Darcy f = 0,02. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 2 codos (K = 0,3 cada uno), una válvula (K = 2) y la salida al depósito inferior (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². ¿Qué diferencia de nivel de agua Δz entre los depósitos da un caudal de 25 L/s?
Una bomba con un rendimiento del 75 % impulsa 25 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 74 m. Usa g = 9,81 m/s². Halla la potencia en el eje Pshaft necesaria, en kW.
Una bomba impulsa 120 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 21 m más alta. La tubería mide 600 m de longitud, tiene 250 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,025; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 8 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El rendimiento de la bomba es del 75 %. Halla la potencia en el eje Pshaft en kW.
Un muro está formado por 100 mm de vidrio y 100 mm de poliestireno expandido, con un área de 6 m². Las caras exteriores están a 19 °C y -10 °C. Halla el flujo de calor Q̇ a través del muro.
Un muro de 50 mm de vidrio y 25 mm de placa de yeso separa una habitación a 21 °C del aire exterior a -5 °C. Los coeficientes de convección son 7,7 W/(m²·K) dentro y 25 W/(m²·K) fuera, y el área del muro es 10 m². Halla el coeficiente global de transmisión de calor U del muro.
Un motor de 7,5 kW que gira a 2900 rpm acciona un piñón de 25 dientes, que engrana con una rueda de 80 dientes. El par de engranajes tiene un rendimiento del 95 %. Halla el par T1 en el eje del motor.
Un motor de 5,5 kW a 2900 rpm acciona la rueda A (18 dientes), que engrana con la rueda B (40 dientes). La rueda C (36 dientes), en el mismo eje que B, acciona la rueda D (40 dientes) en el eje de salida. Cada engrane tiene un rendimiento del 98 %. Halla el par de salida Tout.
F(s) = (3s + 14)/(s² + 11s + 24). Su transformada inversa tiene la forma f(t) = A·e−3t + B·e−8t. Halla el coeficiente A por fracciones parciales.
Un sistema se describe con la ecuación diferencial y″ + 4y′ + 13y = 4u′ + 8u, con entrada u(t) y salida y(t). Halla su función de transferencia G(s) = Y(s)/U(s) (condiciones iniciales nulas) y evalúa la respuesta al impulso g(t) en t = 0,3 s. Halla g(0,3).
La planta G(s) = 8/(s + 2) tiene un lazo interno (menor) de realimentación negativa con ganancia H₁ = 0,5. Una ganancia de controlador K = 9 y un lazo externo de realimentación negativa unitaria cierran el sistema. Halla el polo en lazo cerrado p.
Un controlador proporcional K = 29 gobierna la planta G(s) = 1/(s + 7) en un lazo de realimentación negativa unitaria. Una perturbación D entra a la entrada de la planta (se suma a la salida del controlador). Con R = 0, se aplica un escalón de perturbación de tamaño 2. Halla la salida en régimen estacionario css.
Un sistema tiene la función de transferencia G(s) = 57/(s² + 5s + 57) y recibe una entrada escalón unitario. Halla el factor de amortiguamiento ζ.
Un lazo de realimentación negativa unitaria tiene G(s) = 300/(s(s + 5)). Halla el tiempo de establecimiento al 2 % ts de la respuesta al escalón en lazo cerrado, usando ts ≈ 4/(ζωₙ).
Se aplica una rampa r(t) = 0,5t a un lazo con realimentación unitaria con G(s) = 4(s + 2)/(s(s + 1)(s + 4)). Halla el error en régimen permanente ess.
Un controlador PI C(s) = 2 + 0,5/s controla la planta G(s) = 2/((s + 1)(s + 2)) en un lazo con realimentación unitaria. Halla el error en régimen permanente ess para la entrada en rampa r(t) = 2t.
Respuesta: RB = 54 kN
Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.
Sustituye los apoyos por fuerzas de reacción. Un apoyo deslizante da una reacción vertical; con solo cargas verticales, la articulación también da una reacción vertical.
Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.
Respuesta: RA = 17,5 kN
Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.
Sustituye los apoyos por fuerzas de reacción. Un apoyo deslizante da una reacción vertical; con solo cargas verticales, la articulación también da una reacción vertical.
Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.
Respuesta: ε = 353,7 µε
Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).
E for latón = 100 GPa = 100000 MPa.
Respuesta: σ2 = 9,03 MPa
Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, Pi = P·EiAi/ΣEA, y σi = Ei·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.
Respuesta: φC = 3,815 °
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Respuesta: φC = 3,483 °
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω. Cuando ambos extremos están empotrados, la estática por sí sola solo da TA + TB = T₀; la segunda ecuación es la compatibilidad (igual torsión de ambas partes en la sección cargada).
Usa el tramo AC: está empotrado en A y transmite TA.
Respuesta: Vx = 4 kN
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.
Equilibrio de toda la viga.
Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.
Respuesta: Mx = 12 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.
Equilibrio de toda la viga.
Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.
Respuesta: τabs = 35,81 MPa
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. En tres dimensiones la tensión cortante máxima absoluta es (σmax − σmin)/2 entre las tres tensiones principales; en tensión plana la tercera es nula.
Aquí manda el círculo fuera del plano: el máximo absoluto es mayor que el máximo en el plano R.
Respuesta: n = 4,901
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. Criterios de plastificación: von Mises predice la plastificación cuando σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) alcanza σY; Tresca, cuando la tensión cortante máxima absoluta alcanza σY/2.
n > 1 significa que el punto no plastifica; Tresca es algo más conservador que von Mises.
Respuesta: δmax = 12,41 mm
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).
Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
Respuesta: hreq = 208,7 mm
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).
Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
En la práctica, elige el canto normalizado inmediatamente superior a este valor.
Respuesta: Pcr = 20,56 kN
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.
Respuesta: σcr = 12,34 MPa
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.
Respuesta: x = 102,8 m
Tiro parabólico: sin resistencia del aire, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Las dos direcciones son independientes, salvo que comparten el mismo tiempo.
La velocidad horizontal se mantiene constante; el movimiento vertical tiene una aceleración constante g = 9,81 m/s² hacia abajo.
Sale y cae a la misma altura: t = 2vy/g.
Respuesta: t = 3,829 s
Tiro parabólico: sin resistencia del aire, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Las dos direcciones son independientes, salvo que comparten el mismo tiempo.
La velocidad horizontal se mantiene constante; el movimiento vertical tiene una aceleración constante g = 9,81 m/s² hacia abajo.
Resuelve y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 y toma la raíz positiva.
Respuesta: h = 0,3262 m
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d).
Respuesta: d = 17,56 m
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d).
Respuesta: ζ = 0,5657
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, así que el sistema es subamortiguado y oscila mientras se amortigua.
Respuesta: keq = 8,571 kN/m
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Los muelles en serie soportan la misma fuerza y suman sus deformaciones, así que se combinan como inversos: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
Respuesta: Q̇H = 11,04 kW
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Potencia consumida: Ẇ = 2,036 kW.
Respuesta: COPmax = 14,76
Límites del segundo principio: ningún ciclo entre focos a temperaturas absolutas TH y TL puede superar al ciclo reversible (de Carnot): ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) y COPHP,max = TH/(TH − TL). La energía siempre se conserva: QH = W + QL.
Respuesta: T3 = 2179 K
Ciclo Diesel (motor de encendido por compresión): 1→2 compresión isentrópica, 2→3 aporte de calor a presión constante, 3→4 expansión isentrópica, 4→1 cesión de calor a volumen constante. Con relación de compresión r = v₁/v₂ y relación de corte rc = v₃/v₂: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) y η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).
Respuesta: wnet = 289,5 kJ/kg
Ciclo Brayton (turbina de gas): 1→2 compresión isentrópica, 2→3 aporte de calor a presión constante, 3→4 expansión isentrópica en la turbina, 4→1 cesión de calor a presión constante. Con relación de presiones rp = P₂/P₁: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k y η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Trabajo neto w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Con rendimientos isentrópicos, el compresor necesita ws/ηc y la turbina da ηt·ws.
Relación de trabajo de retroceso: wc/wt = 55,03%.
Respuesta: Q = 10,44 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
El coeficiente de descarga tiene en cuenta la contracción del chorro y el rozamiento en la arista.
Respuesta: Q = 43,43 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
La continuidad y Bernoulli juntas dan la velocidad ideal en la garganta.
Respuesta: hf = 9,254 m
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Respuesta: Δz = 17,61 m
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Respuesta: Pshaft = 24,2 kW
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Respuesta: Pshaft = 65,47 kW
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Respuesta: Q̇ = 58,76 W
Resistencia térmica: el flujo de calor estacionario a través de capas en serie se comporta como la corriente por resistencias en serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) para una capa conductora y R = 1/(hA) para una superficie con convección. La caída de temperatura en cada capa es proporcional a su resistencia.
Respuesta: U = 2,71 W/(m²·K)
Resistencia térmica: el flujo de calor estacionario a través de capas en serie se comporta como la corriente por resistencias en serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) para una capa conductora y R = 1/(hA) para una superficie con convección. La caída de temperatura en cada capa es proporcional a su resistencia.
Respuesta: T1 = 24,7 N·m
Trenes de engranajes: los engranajes que engranan entre sí tienen la misma velocidad en los dientes, así que n₁·N₁ = n₂·N₂: el engranaje con menos dientes gira más rápido. Los engranajes montados en un mismo eje giran a la misma velocidad. La potencia se transmite (menos las pérdidas), así que el par aumenta cuando la velocidad disminuye: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, y P = T·ω con ω = 2π·n/60.
Respuesta: Tout = 42,95 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Respuesta: A = 1
Transformada de Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt convierte las derivadas en multiplicaciones por s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pares estándar: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), y un desplazamiento s → s + σ multiplica la función temporal por e−σt. Para invertir una F(s) racional, descomponla en fracciones parciales: el residuo de un polo simple p es A = [(s − p)·F(s)] en s = p. Teorema del valor final: f(∞) = lims→0 s·F(s), válido solo cuando todos los polos de s·F(s) están en el semiplano izquierdo. Teorema del valor inicial: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Multiplica por (s + 3) y haz s = −3: el término de B se anula.
Respuesta: g(0.3) = 1,365
Transformada de Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt convierte las derivadas en multiplicaciones por s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pares estándar: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), y un desplazamiento s → s + σ multiplica la función temporal por e−σt. Para invertir una F(s) racional, descomponla en fracciones parciales: el residuo de un polo simple p es A = [(s − p)·F(s)] en s = p. Teorema del valor final: f(∞) = lims→0 s·F(s), válido solo cuando todos los polos de s·F(s) están en el semiplano izquierdo. Teorema del valor inicial: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Respuesta: p = −78
Álgebra de diagramas de bloques: los bloques en serie se multiplican (G₁·G₂), los bloques en paralelo se suman (G₁ + G₂), y un lazo con camino directo G y camino de realimentación H se reduce a T = G/(1 + G·H) para realimentación negativa y G/(1 − G·H) para realimentación positiva. Reduce primero los lazos internos y avanza hacia fuera. Los polos en lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica 1 + G(s)H(s) = 0. Para un lazo estable, una entrada escalón de tamaño A da la salida en régimen estacionario A·T(0); con realimentación unitaria el error en régimen estacionario ante un escalón es A/(1 + Kp) con Kp = G(0).
Respuesta: css = 0,05556
Álgebra de diagramas de bloques: los bloques en serie se multiplican (G₁·G₂), los bloques en paralelo se suman (G₁ + G₂), y un lazo con camino directo G y camino de realimentación H se reduce a T = G/(1 + G·H) para realimentación negativa y G/(1 − G·H) para realimentación positiva. Reduce primero los lazos internos y avanza hacia fuera. Los polos en lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica 1 + G(s)H(s) = 0. Para un lazo estable, una entrada escalón de tamaño A da la salida en régimen estacionario A·T(0); con realimentación unitaria el error en régimen estacionario ante un escalón es A/(1 + Kp) con Kp = G(0).
Una K mayor reduce el efecto de la perturbación, pero nunca la anula con un controlador proporcional.
Respuesta: ζ = 0,3311
Respuesta al escalón: un sistema de primer orden G(s) = K/(τs + 1) responde a un escalón de tamaño U con y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): alcanza el 63,2 % del valor final K·U después de una constante de tiempo τ y el 98 % después de 4τ. Un sistema de segundo orden G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) tiene los polos s = −ζωₙ ± jωd con ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Para 0 < ζ < 1 la respuesta al escalón tiene sobreimpulso: sobreimpulso porcentual %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tiempo de pico tp = π/ωd y tiempo de establecimiento al 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Compara el denominador con s² + 2ζωₙs + ωₙ² para obtener ωₙ y ζ. Para un sistema masa–resorte–amortiguador ωₙ = √(k/m) y ζ = c/(2√(km)); para un circuito RLC serie ωₙ = 1/√(LC) y ζ = (R/2)·√(C/L).
El denominador debe coincidir con s² + 2ζωₙs + ωₙ².
Respuesta: ts = 1,6 s
Respuesta al escalón: un sistema de primer orden G(s) = K/(τs + 1) responde a un escalón de tamaño U con y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): alcanza el 63,2 % del valor final K·U después de una constante de tiempo τ y el 98 % después de 4τ. Un sistema de segundo orden G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) tiene los polos s = −ζωₙ ± jωd con ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Para 0 < ζ < 1 la respuesta al escalón tiene sobreimpulso: sobreimpulso porcentual %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tiempo de pico tp = π/ωd y tiempo de establecimiento al 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Compara el denominador con s² + 2ζωₙs + ωₙ² para obtener ωₙ y ζ. Para un sistema masa–resorte–amortiguador ωₙ = √(k/m) y ζ = c/(2√(km)); para un circuito RLC serie ωₙ = 1/√(LC) y ζ = (R/2)·√(C/L).
Para este lazo ζωₙ = a/2 sea cual sea K: aumentar K añade sobreimpulso pero no acorta el tiempo de establecimiento.
Respuesta: ess = 0,25
Error en régimen permanente: en un lazo con realimentación unitaria y función de transferencia de lazo abierto G(s) el error es E(s) = R(s)/(1 + G(s)), y por el teorema del valor final ess = lims→0 s·E(s). El tipo del sistema es el número de polos de G(s) en s = 0. Las constantes de error son Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) y Ka = lim s²·G(s), todas para s → 0. Un escalón de tamaño A da ess = A/(1 + Kp), una rampa A·t da A/Kv y una parábola A·t²/2 da A/Ka. Un lazo de tipo 0 sigue un escalón con un error finito, un lazo de tipo 1 lo sigue exactamente y sigue una rampa con un error finito.
Respuesta: ess = 4
Control P, PI y PID: el controlador C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s actúa sobre el error. Una ganancia proporcional hace el lazo más rápido y reduce el error de una planta de tipo 0, pero nunca lo elimina. El término integral añade un polo en s = 0: el tipo del sistema sube una unidad y un escalón se sigue sin error. El término derivativo añade amortiguamiento. Para elegir las ganancias, escribe el polinomio característico de lazo cerrado y compáralo con s² + 2ζωns + ωn². Entonces %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd con ωd = ωn√(1 − ζ²), y ts ≈ 4/(ζωn).
s·C(s) = 2s + 0,5 → 0,5 cuando s → 0.
El controlador PI elimina por completo el error ante escalón; una rampa se sigue con un retardo constante.
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