Práctica para el examen FE Mechanical: pack de repaso

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.

Equilibrio de un voladizo: un empotramiento puede empujar hacia arriba y además impedir el giro, así que da una reacción vertical R_A y un momento de empotramiento M_A. ΣF_y = 0 da R_A, y los momentos respecto al muro dan M_A = Σ(carga × distancia al muro). Una carga repartida actúa como su resultante en el centroide del diagrama de carga.

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición). En una viga hiperestática, quita un apoyo redundante e impón que la flecha ahí sea nula (compatibilidad).

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Tiro parabólico: sin resistencia del aire, x = v_xt e y = h + v_yt − ½gt². Las dos direcciones son independientes, salvo que comparten el mismo tiempo.

Tiro parabólico: sin resistencia del aire, x = v_xt e y = h + v_yt − ½gt². Las dos direcciones son independientes, salvo que comparten el mismo tiempo.

Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d). La potencia es la fuerza por la velocidad: P = F·v.

Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d).

Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ω_n = √(k/m) en rad/s, y f_n = ω_n/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/c_c, con amortiguamiento crítico c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ω_n = √(k/m) en rad/s, y f_n = ω_n/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/c_c, con amortiguamiento crítico c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Límites del segundo principio: ningún ciclo entre focos a temperaturas absolutas T_H y T_L puede superar al ciclo reversible (de Carnot): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) y COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). La energía siempre se conserva: Q_H = W + Q_L.

Límites del segundo principio: ningún ciclo entre focos a temperaturas absolutas T_H y T_L puede superar al ciclo reversible (de Carnot): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) y COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). La energía siempre se conserva: Q_H = W + Q_L.

Ciclo Diesel (motor de encendido por compresión): 1→2 compresión isentrópica, 2→3 aporte de calor a presión constante, 3→4 expansión isentrópica, 4→1 cesión de calor a volumen constante. Con relación de compresión r = v₁/v₂ y relación de corte r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) y η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Ciclo Brayton (turbina de gas): 1→2 compresión isentrópica, 2→3 aporte de calor a presión constante, 3→4 expansión isentrópica en la turbina, 4→1 cesión de calor a presión constante. Con relación de presiones r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k y η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Trabajo neto w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Con rendimientos isentrópicos, el compresor necesita w_s/η_c y la turbina da η_t·w_s.

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.

Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = h_f + h_m, incluida la pérdida de salida K = 1.

Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = h_f + h_m, incluida la pérdida de salida K = 1.

Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: P_shaft = P_h/η_pump, y el motor absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.

Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: P_shaft = P_h/η_pump, y el motor absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.

Resistencia térmica: el flujo de calor estacionario a través de capas en serie se comporta como la corriente por resistencias en serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) para una capa conductora y R = 1/(hA) para una superficie con convección. La caída de temperatura en cada capa es proporcional a su resistencia.

Resistencia térmica: el flujo de calor estacionario a través de capas en serie se comporta como la corriente por resistencias en serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) para una capa conductora y R = 1/(hA) para una superficie con convección. La caída de temperatura en cada capa es proporcional a su resistencia.

Trenes de engranajes: los engranajes que engranan entre sí tienen la misma velocidad en los dientes, así que n₁·N₁ = n₂·N₂: el engranaje con menos dientes gira más rápido. Los engranajes montados en un mismo eje giran a la misma velocidad. La potencia se transmite (menos las pérdidas), así que el par aumenta cuando la velocidad disminuye: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, y P = T·ω con ω = 2π·n/60.

Trenes epicicloidales: las velocidades del planeta, la corona y el portasatélites están relacionadas por la ecuación de Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: vistos desde el portasatélites, el conjunto es un tren ordinario con los satélites como ruedas locas. Al fijar un elemento, el conjunto se convierte en un reductor de una sola relación.

Transformada de Laplace: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt convierte las derivadas en multiplicaciones por s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pares estándar: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), y un desplazamiento s → s + σ multiplica la función temporal por e^−σt. Para invertir una F(s) racional, descomponla en fracciones parciales: el residuo de un polo simple p es A = [(s − p)·F(s)] en s = p. Teorema del valor final: f(∞) = lim_s→0 s·F(s), válido solo cuando todos los polos de s·F(s) están en el semiplano izquierdo. Teorema del valor inicial: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s).

Transformada de Laplace: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt convierte las derivadas en multiplicaciones por s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pares estándar: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), y un desplazamiento s → s + σ multiplica la función temporal por e^−σt. Para invertir una F(s) racional, descomponla en fracciones parciales: el residuo de un polo simple p es A = [(s − p)·F(s)] en s = p. Teorema del valor final: f(∞) = lim_s→0 s·F(s), válido solo cuando todos los polos de s·F(s) están en el semiplano izquierdo. Teorema del valor inicial: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s).

Álgebra de diagramas de bloques: los bloques en serie se multiplican (G₁·G₂), los bloques en paralelo se suman (G₁ + G₂), y un lazo con camino directo G y camino de realimentación H se reduce a T = G/(1 + G·H) para realimentación negativa y G/(1 − G·H) para realimentación positiva. Reduce primero los lazos internos y avanza hacia fuera. Los polos en lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica 1 + G(s)H(s) = 0. Para un lazo estable, una entrada escalón de tamaño A da la salida en régimen estacionario A·T(0); con realimentación unitaria el error en régimen estacionario ante un escalón es A/(1 + K_p) con K_p = G(0).

Álgebra de diagramas de bloques: los bloques en serie se multiplican (G₁·G₂), los bloques en paralelo se suman (G₁ + G₂), y un lazo con camino directo G y camino de realimentación H se reduce a T = G/(1 + G·H) para realimentación negativa y G/(1 − G·H) para realimentación positiva. Reduce primero los lazos internos y avanza hacia fuera. Los polos en lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica 1 + G(s)H(s) = 0. Para un lazo estable, una entrada escalón de tamaño A da la salida en régimen estacionario A·T(0); con realimentación unitaria el error en régimen estacionario ante un escalón es A/(1 + K_p) con K_p = G(0).

Respuesta al escalón: un sistema de primer orden G(s) = K/(τs + 1) responde a un escalón de tamaño U con y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ): alcanza el 63,2 % del valor final K·U después de una constante de tiempo τ y el 98 % después de 4τ. Un sistema de segundo orden G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) tiene los polos s = −ζωₙ ± jω_d con ω_d = ωₙ√(1 − ζ²). Para 0 < ζ < 1 la respuesta al escalón tiene sobreimpulso: sobreimpulso porcentual %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, tiempo de pico t_p = π/ω_d y tiempo de establecimiento al 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ). Compara el denominador con s² + 2ζωₙs + ωₙ² para obtener ωₙ y ζ. Para un sistema masa–resorte–amortiguador ωₙ = √(k/m) y ζ = c/(2√(km)); para un circuito RLC serie ωₙ = 1/√(LC) y ζ = (R/2)·√(C/L).

Respuesta al escalón: un sistema de primer orden G(s) = K/(τs + 1) responde a un escalón de tamaño U con y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ): alcanza el 63,2 % del valor final K·U después de una constante de tiempo τ y el 98 % después de 4τ. Un sistema de segundo orden G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) tiene los polos s = −ζωₙ ± jω_d con ω_d = ωₙ√(1 − ζ²). Para 0 < ζ < 1 la respuesta al escalón tiene sobreimpulso: sobreimpulso porcentual %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, tiempo de pico t_p = π/ω_d y tiempo de establecimiento al 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ). Compara el denominador con s² + 2ζωₙs + ωₙ² para obtener ωₙ y ζ. Para un sistema masa–resorte–amortiguador ωₙ = √(k/m) y ζ = c/(2√(km)); para un circuito RLC serie ωₙ = 1/√(LC) y ζ = (R/2)·√(C/L).

Error en régimen permanente: en un lazo con realimentación unitaria y función de transferencia de lazo abierto G(s) el error es E(s) = R(s)/(1 + G(s)), y por el teorema del valor final e_ss = lim_s→0 s·E(s). El tipo del sistema es el número de polos de G(s) en s = 0. Las constantes de error son K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) y K_a = lim s²·G(s), todas para s → 0. Un escalón de tamaño A da e_ss = A/(1 + K_p), una rampa A·t da A/K_v y una parábola A·t²/2 da A/K_a. Un lazo de tipo 0 sigue un escalón con un error finito, un lazo de tipo 1 lo sigue exactamente y sigue una rampa con un error finito.

Control P, PI y PID: el controlador C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s actúa sobre el error. Una ganancia proporcional hace el lazo más rápido y reduce el error de una planta de tipo 0, pero nunca lo elimina. El término integral añade un polo en s = 0: el tipo del sistema sube una unidad y un escalón se sigue sin error. El término derivativo añade amortiguamiento. Para elegir las ganancias, escribe el polinomio característico de lazo cerrado y compáralo con s² + 2ζω_ns + ω_n². Entonces %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d con ω_d = ω_n√(1 − ζ²), y t_s ≈ 4/(ζω_n).