Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 42 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
La viga en voladizo está empotrada en el muro en A. Soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud y una carga puntual P a 5 m del muro. Halla el valor del momento de empotramiento MA en el muro.
La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Una carga P actúa a 2 m de A, inclinada 45° respecto a la horizontal, y una carga vertical Q actúa a 1 m de A. Halla el valor de la reacción total RA en la articulación A.
Halla la deformación axial ε en la barra de acero, en microdeformaciones (µε = 10⁻⁶).
La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla el alargamiento total δ.
Un eje hueco de latón (diámetro exterior 75 mm, diámetro interior 53 mm, longitud 1,2 m) está empotrado en un extremo y se tuerce con un par de 400 N·m en el otro. Halla el ángulo de torsión φ en grados.
Un eje hueco transmite 75 kW a 1000 rpm. Halla la tensión cortante máxima τmax en el eje.
La viga simplemente apoyada soporta dos cargas puntuales. Halla el momento flector máximo Mmax en la viga.
Halla el momento flector Mx en la sección x = 4 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 160 MPa, σᵧ = −40 MPa y τₓᵧ = 30 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θp desde el eje x hasta la dirección de la tensión principal mayor, entre −90° y 90°.
Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 130 MPa, σᵧ = 70 MPa y τₓᵧ = −10 MPa (tracción positiva). Halla la tensión normal σθ en un plano cuya normal está girada 30° en sentido antihorario respecto al eje x.
Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla el giro θA de la viga en el apoyo A, en radianes.
Una viga de madera simplemente apoyada, de sección rectangular de 150 mm de ancho, soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Su flecha en el centro no puede superar luz/300. Halla el canto mínimo hreq de la sección.
Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.
Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y libre arriba. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σcr con la fórmula de Euler.
Se lanza una pelota a 30° sobre la horizontal desde el suelo llano. Desprecia la resistencia del aire. Halla la altura máxima H que alcanza la pelota.
Se lanza una pelota a 29 m/s y 60° por encima de la horizontal desde lo alto de un acantilado de 60 m. Desprecia la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². Halla la altura máxima H sobre el suelo al pie del acantilado.
Un coche que circula a 90 km/h por una carretera horizontal frena bruscamente y derrapa hasta detenerse con las ruedas bloqueadas. El coeficiente de rozamiento dinámico entre neumáticos y carretera es 0,8. Halla la distancia de frenado d.
Se suelta desde el reposo un bloque de 1 kg a una altura de 1,5 m en una rampa lisa. Abajo cruza una franja horizontal rugosa de 2,5 m (μ = 0,25) y después choca contra un muelle (k = 5000 N/m) sobre una superficie lisa. Halla la velocidad v del bloque cuando llega al muelle.
En un ensayo de vibración libre de un sistema masa–muelle amortiguado, a un pico de desplazamiento de 10 mm le sigue 3 ciclos después un pico de 0,6 mm. Halla el factor de amortiguamiento ζ.
Una masa de 50 kg cuelga de dos muelles uno al lado del otro (en paralelo), con rigideces k₁ = 60 kN/m y k₂ = 50 kN/m. La masa se mantiene horizontal. Desprecia el amortiguamiento y las masas de los muelles. Halla la frecuencia natural fn de vibración vertical en Hz.
Un frigorífico reversible mantiene una cámara fría a -25 °C extrayendo 5,5 kW de calor, y cede calor al ambiente a 28 °C. Halla el calor Q̇H que cede por unidad de tiempo.
Una bomba de calor mantiene una casa a 21 °C mientras fuera hay -10 °C, y aporta 5 kW de calor a la casa. Halla la potencia mínima de accionamiento Ẇmin.
Un ciclo Diesel ideal tiene una relación de compresión r = 18 y una relación de corte rc = v₃/v₂ = 1,8. Al comienzo de la compresión el aire está a 300 K. Usa las hipótesis de aire estándar frío: el aire es un gas ideal con calores específicos constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) y cv = 0,718 kJ/(kg·K). Halla la temperatura T3 al final del aporte de calor, en K.
Un ciclo Brayton ideal funciona con una relación de presiones en el compresor de 18. Usa las hipótesis de aire estándar frío: el aire es un gas ideal con calores específicos constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) y cv = 0,718 kJ/(kg·K). Halla su rendimiento térmico η en porcentaje.
Por un venturímetro horizontal con un diámetro de entrada de 200 mm y un diámetro de garganta de 100 mm circula agua. La presión en la entrada es 59 kPa mayor que en la garganta. Despreciando las pérdidas, halla el caudal Q.
Una manguera de 32 mm de diámetro interior saca agua por sifón de un depósito abierto. El punto más alto C de la manguera está 1 m por encima de la superficie del agua, y la salida (abierta al aire) está 5 m por debajo de la superficie del agua. Desprecia las pérdidas y toma g = 9,81 m/s². Halla la presión absoluta pC en el punto C. La presión atmosférica es 101,3 kPa.
Agua (ρ = 1000 kg/m³) circula a 0,9 m/s por una tubería horizontal de 150 m de longitud y 100 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,015 y g = 9,81 m/s². Halla la caída de presión Δp en la tubería en kPa.
Dos depósitos abiertos están unidos por una tubería de 400 m de longitud, 250 mm de diámetro interior y factor de fricción de Darcy f = 0,015. La superficie libre del depósito superior está 18 m por encima de la del inferior. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 4 codos (K = 0,3 cada uno), una válvula (K = 2) y la salida al depósito inferior (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Halla el caudal Q en L/s.
En un ensayo, una bomba impulsa 30 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 40 m mientras su eje absorbe 14,7 kW. Usa g = 9,81 m/s². Halla el rendimiento de la bomba η en porcentaje.
Una bomba impulsa 40 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 12 m más alta. La tubería mide 100 m de longitud, tiene 150 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,018; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 6 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El rendimiento de la bomba es del 70 %. Halla la potencia en el eje Pshaft en kW.
Un muro está formado por 200 mm de madera y 75 mm de hormigón, con un área de 4 m². Las caras exteriores están a 18 °C y -1 °C. Halla la temperatura Ti en la interfaz entre las dos capas.
Un muro de 100 mm de lana mineral y 25 mm de madera separa una habitación a 22 °C del aire exterior a -3 °C. Los coeficientes de convección son 7,7 W/(m²·K) dentro y 25 W/(m²·K) fuera, y el área del muro es 15 m². Halla la temperatura Ts de la cara interior del muro.
Una polea de 150 mm a 1450 rpm acciona una polea de 500 mm mediante una correa con un 4 % de deslizamiento. Halla la velocidad n2 de la polea conducida.
Un motor de 11 kW a 1440 rpm acciona la rueda A (12 dientes), que engrana con la rueda B (20 dientes). La rueda C (30 dientes), en el mismo eje que B, acciona la rueda D (80 dientes) en el eje de salida. Cada engrane tiene un rendimiento del 98 %. Halla el par de salida Tout.
Halla f(t) para F(s) = 55/(s(s + 2)(s + 3)) por fracciones parciales, y evalúa f(0,6).
Un sistema se describe con la ecuación diferencial y″ + 5y′ + 4y = u′ + 14u, con entrada u(t) y salida y(t). Halla su función de transferencia G(s) = Y(s)/U(s) (condiciones iniciales nulas) y evalúa la respuesta al impulso g(t) en t = 0,8 s. Halla g(0,8).
La planta G(s) = K/((s + 1)(s + 12)) está en un lazo de realimentación negativa unitaria. Halla la ganancia K para la que el lazo cerrado está críticamente amortiguado (dos polos reales iguales).
Un controlador proporcional K = 22 gobierna la planta G(s) = 5/(s + 10) en un lazo de realimentación negativa unitaria. Una perturbación D entra a la entrada de la planta (se suma a la salida del controlador). Con R = 0, se aplica un escalón de perturbación de tamaño 1. Halla la salida en régimen estacionario css.
Un sistema tiene la función de transferencia G(s) = 18,5/(s² + 4s + 37) y recibe una entrada escalón unitario. Halla el sobreimpulso porcentual %OS de la respuesta al escalón.
Un sistema de segundo orden sin ceros debe tener una respuesta al escalón con un sobreimpulso del 10 %. Halla la razón de amortiguamiento ζ.
Se aplica la entrada r(t) = 2 + 1t (un escalón más una rampa) a un lazo con realimentación unitaria con G(s) = 10/(s(s + 2)(s + 5)). Halla el error en régimen permanente ess.
Un controlador PD C(s) = 25 + Kd·s controla la planta G(s) = 5/(s(s + 1)) en un lazo con realimentación unitaria. Halla la ganancia derivativa Kd que da al lazo cerrado un coeficiente de amortiguamiento ζ = 0,6.
Respuesta: MA = 525 kN·m
Equilibrio de un voladizo: un empotramiento puede empujar hacia arriba y además impedir el giro, así que da una reacción vertical RA y un momento de empotramiento MA. ΣFy = 0 da RA, y los momentos respecto al muro dan MA = Σ(carga × distancia al muro). Una carga repartida actúa como su resultante en el centroide del diagrama de carga.
Respuesta: RA = 16,63 kN
Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.
Respuesta: ε = 557 µε
Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).
E for acero = 200 GPa = 200000 MPa.
Respuesta: δ = 16,63 mm
Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.
El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.
Respuesta: φ = 0,3024 °
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Respuesta: τmax = 24,7 MPa
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Respuesta: Mmax = 202,5 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.
Equilibrio de toda la viga.
Quédate con la parte a la izquierda de cada carga.
Respuesta: Mx = 30 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.
Equilibrio de toda la viga.
Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.
Respuesta: θp = 8,35 °
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.
En el círculo de Mohr, el punto x está a un ángulo 2θp del eje σ; el cuadrante se deduce de los signos de σₓ − σᵧ y τₓᵧ.
Los ángulos positivos son en sentido antihorario.
Respuesta: σθ = 106,3 MPa
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.
Respuesta: θA = 0,005661 rad
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición). El giro θ = dv/dx es la primera integral de M/(EI); con unidades coherentes sale en radianes.
Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
Eso son 0,3244°.
Respuesta: hreq = 230,7 mm
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).
Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
En la práctica, elige el canto normalizado inmediatamente superior a este valor.
Respuesta: Pcr = 79,59 kN
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.
Respuesta: σcr = 5,483 MPa
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.
Respuesta: H = 11,47 m
Tiro parabólico: sin resistencia del aire, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Las dos direcciones son independientes, salvo que comparten el mismo tiempo.
La velocidad horizontal se mantiene constante; el movimiento vertical tiene una aceleración constante g = 9,81 m/s² hacia abajo.
En lo más alto la velocidad vertical es cero: vy² = 2gH.
Respuesta: H = 92,15 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Respuesta: d = 39,82 m
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d).
Duplicar la velocidad cuadruplica la distancia de frenado.
Respuesta: v = 4,143 m/s
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d).
La rampa es lisa, así que solo la franja quita energía.
Respuesta: ζ = 0,1476
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Respuesta: fn = 7,465 Hz
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Los muelles uno al lado del otro comparten la deformación y suman sus fuerzas, así que sus rigideces simplemente se suman: k = k1 + k2.
Respuesta: Q̇H = 6,675 kW
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Potencia consumida: Ẇ = 1,175 kW.
Respuesta: Ẇmin = 0,5269 kW
Límites del segundo principio: ningún ciclo entre focos a temperaturas absolutas TH y TL puede superar al ciclo reversible (de Carnot): ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) y COPHP,max = TH/(TH − TL). La energía siempre se conserva: QH = W + QL.
El menor trabajo lo necesita una máquina reversible, que tiene el mayor COP.
Respuesta: T3 = 1716 K
Ciclo Diesel (motor de encendido por compresión): 1→2 compresión isentrópica, 2→3 aporte de calor a presión constante, 3→4 expansión isentrópica, 4→1 cesión de calor a volumen constante. Con relación de compresión r = v₁/v₂ y relación de corte rc = v₃/v₂: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) y η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).
Respuesta: η = 56,21 %
Ciclo Brayton (turbina de gas): 1→2 compresión isentrópica, 2→3 aporte de calor a presión constante, 3→4 expansión isentrópica en la turbina, 4→1 cesión de calor a presión constante. Con relación de presiones rp = P₂/P₁: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k y η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Trabajo neto w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Con rendimientos isentrópicos, el compresor necesita ws/ηc y la turbina da ηt·ws.
Respuesta: Q = 88,11 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
La tubería es horizontal, así que solo cambian la presión y la velocidad.
Respuesta: pC = 42,44 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
La superficie y la salida están abiertas al aire, así que los términos de presión se anulan.
Si esta presión baja hasta la presión de vapor del agua, el sifón deja de funcionar.
Respuesta: Δp = 9,113 kPa
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
La tubería es horizontal y la velocidad no cambia, así que la ecuación de la energía se reduce a Δp = ρ·g·hf.
Respuesta: Q = 172,2 L/s
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Las dos superficies están abiertas al aire y prácticamente en reposo, así que todo Δz se pierde en la tubería.
Respuesta: η = 80,08 %
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Respuesta: Pshaft = 9,362 kW
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Respuesta: Ti = −0,1725 °C
Resistencia térmica: el flujo de calor estacionario a través de capas en serie se comporta como la corriente por resistencias en serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) para una capa conductora y R = 1/(hA) para una superficie con convección. La caída de temperatura en cada capa es proporcional a su resistencia.
La temperatura baja Q̇·R₁ a través de la primera capa.
Respuesta: Ts = 20,85 °C
Resistencia térmica: el flujo de calor estacionario a través de capas en serie se comporta como la corriente por resistencias en serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) para una capa conductora y R = 1/(hA) para una superficie con convección. La caída de temperatura en cada capa es proporcional a su resistencia.
Respuesta: n2 = 417,6 rpm
Transmisiones por correa: sin deslizamiento, ambas poleas tienen la misma velocidad periférica v = π·d·n/60, así que n₁·d₁ = n₂·d₂ y la relación de velocidades es d₂/d₁. El deslizamiento s hace que la polea conducida gire un poco más despacio: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La potencia transmitida es P = (T₁ − T₂)·v, con T₁ la tensión del ramal tenso y T₂ la del ramal flojo. El rozamiento limita la relación de tensiones: T₁/T₂ = eμθ, donde θ es el ángulo de contacto en radianes sobre la polea menor; para una correa abierta θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) con distancia entre centros C.
Respuesta: Tout = 311,4 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Respuesta: f(0.6) = 3,914
Transformada de Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt convierte las derivadas en multiplicaciones por s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pares estándar: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), y un desplazamiento s → s + σ multiplica la función temporal por e−σt. Para invertir una F(s) racional, descomponla en fracciones parciales: el residuo de un polo simple p es A = [(s − p)·F(s)] en s = p. Teorema del valor final: f(∞) = lims→0 s·F(s), válido solo cuando todos los polos de s·F(s) están en el semiplano izquierdo. Teorema del valor inicial: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Respuesta: g(0.8) = 1,811
Transformada de Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt convierte las derivadas en multiplicaciones por s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pares estándar: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), y un desplazamiento s → s + σ multiplica la función temporal por e−σt. Para invertir una F(s) racional, descomponla en fracciones parciales: el residuo de un polo simple p es A = [(s − p)·F(s)] en s = p. Teorema del valor final: f(∞) = lims→0 s·F(s), válido solo cuando todos los polos de s·F(s) están en el semiplano izquierdo. Teorema del valor inicial: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Respuesta: K = 30,25
Álgebra de diagramas de bloques: los bloques en serie se multiplican (G₁·G₂), los bloques en paralelo se suman (G₁ + G₂), y un lazo con camino directo G y camino de realimentación H se reduce a T = G/(1 + G·H) para realimentación negativa y G/(1 − G·H) para realimentación positiva. Reduce primero los lazos internos y avanza hacia fuera. Los polos en lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica 1 + G(s)H(s) = 0. Para un lazo estable, una entrada escalón de tamaño A da la salida en régimen estacionario A·T(0); con realimentación unitaria el error en régimen estacionario ante un escalón es A/(1 + Kp) con Kp = G(0).
Un polinomio cuadrático s² + βs + γ tiene una raíz doble cuando β² = 4γ.
Respuesta: css = 0,04167
Álgebra de diagramas de bloques: los bloques en serie se multiplican (G₁·G₂), los bloques en paralelo se suman (G₁ + G₂), y un lazo con camino directo G y camino de realimentación H se reduce a T = G/(1 + G·H) para realimentación negativa y G/(1 − G·H) para realimentación positiva. Reduce primero los lazos internos y avanza hacia fuera. Los polos en lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica 1 + G(s)H(s) = 0. Para un lazo estable, una entrada escalón de tamaño A da la salida en régimen estacionario A·T(0); con realimentación unitaria el error en régimen estacionario ante un escalón es A/(1 + Kp) con Kp = G(0).
Una K mayor reduce el efecto de la perturbación, pero nunca la anula con un controlador proporcional.
Respuesta: %OS = 33,5 %
Respuesta al escalón: un sistema de primer orden G(s) = K/(τs + 1) responde a un escalón de tamaño U con y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): alcanza el 63,2 % del valor final K·U después de una constante de tiempo τ y el 98 % después de 4τ. Un sistema de segundo orden G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) tiene los polos s = −ζωₙ ± jωd con ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Para 0 < ζ < 1 la respuesta al escalón tiene sobreimpulso: sobreimpulso porcentual %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tiempo de pico tp = π/ωd y tiempo de establecimiento al 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Compara el denominador con s² + 2ζωₙs + ωₙ² para obtener ωₙ y ζ. Para un sistema masa–resorte–amortiguador ωₙ = √(k/m) y ζ = c/(2√(km)); para un circuito RLC serie ωₙ = 1/√(LC) y ζ = (R/2)·√(C/L).
El denominador debe coincidir con s² + 2ζωₙs + ωₙ².
Respuesta: ζ = 0,5912
Respuesta al escalón: un sistema de primer orden G(s) = K/(τs + 1) responde a un escalón de tamaño U con y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): alcanza el 63,2 % del valor final K·U después de una constante de tiempo τ y el 98 % después de 4τ. Un sistema de segundo orden G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) tiene los polos s = −ζωₙ ± jωd con ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Para 0 < ζ < 1 la respuesta al escalón tiene sobreimpulso: sobreimpulso porcentual %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tiempo de pico tp = π/ωd y tiempo de establecimiento al 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Compara el denominador con s² + 2ζωₙs + ωₙ² para obtener ωₙ y ζ. Para un sistema masa–resorte–amortiguador ωₙ = √(k/m) y ζ = c/(2√(km)); para un circuito RLC serie ωₙ = 1/√(LC) y ζ = (R/2)·√(C/L).
Respuesta: ess = 1
Error en régimen permanente: en un lazo con realimentación unitaria y función de transferencia de lazo abierto G(s) el error es E(s) = R(s)/(1 + G(s)), y por el teorema del valor final ess = lims→0 s·E(s). El tipo del sistema es el número de polos de G(s) en s = 0. Las constantes de error son Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) y Ka = lim s²·G(s), todas para s → 0. Un escalón de tamaño A da ess = A/(1 + Kp), una rampa A·t da A/Kv y una parábola A·t²/2 da A/Ka. Un lazo de tipo 0 sigue un escalón con un error finito, un lazo de tipo 1 lo sigue exactamente y sigue una rampa con un error finito.
Respuesta: Kd = 2,483 s
Control P, PI y PID: el controlador C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s actúa sobre el error. Una ganancia proporcional hace el lazo más rápido y reduce el error de una planta de tipo 0, pero nunca lo elimina. El término integral añade un polo en s = 0: el tipo del sistema sube una unidad y un escalón se sigue sin error. El término derivativo añade amortiguamiento. Para elegir las ganancias, escribe el polinomio característico de lazo cerrado y compáralo con s² + 2ζωns + ωn². Entonces %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd con ωd = ωn√(1 − ζ²), y ts ≈ 4/(ζωn).
El término derivativo añade amortiguamiento sin cambiar ωₙ.
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