Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 42 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Soporta una carga puntual P a 5 m de A y un par antihorario M a 4 m de A. Halla la reacción vertical RA, tomando positivo hacia arriba.
La viga en voladizo está empotrada en el muro en A. Soporta una carga linealmente variable que es nula en el muro y crece hasta 20 kN/m en el extremo libre B, además de una carga puntual P a 3 m del muro. Halla el valor del momento de empotramiento MA en el muro.
Halla el alargamiento δ de la barra de cobre bajo la carga axial.
La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla el alargamiento total δ.
Un eje hueco debe transmitir un par de 1500 N·m. Su diámetro interior debe ser 0,6 veces su diámetro exterior, y la tensión cortante no debe superar 60 MPa. Halla el diámetro exterior mínimo do.
Un eje macizo debe transmitir 20 kW a 300 rpm sin que la tensión cortante supere 50 MPa. Halla el diámetro mínimo d que sirve.
Halla el momento flector Mx en la sección x = 7,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.
Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −10 MPa, σᵧ = 50 MPa y τₓᵧ = 10 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θp desde el eje x hasta la dirección de la tensión principal mayor, entre −90° y 90°.
Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 70 MPa, σᵧ = 80 MPa y τₓᵧ = −10 MPa (tracción positiva). Halla la tensión normal σθ en un plano cuya normal está girada 20° en sentido antihorario respecto al eje x.
Un voladizo soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. Halla la flecha δ en el extremo libre.
Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w y una carga puntual P en el centro del vano. Usando superposición, halla la flecha en el centro δmax.
Un pilar de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.
Un pilar macizo circular de longitud L de aluminio está articulado en ambos extremos. Debe soportar 35 kN con un coeficiente de seguridad de 2 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.
Se chuta una pelota desde un terreno horizontal a 16 m/s y 55° por encima de la horizontal hacia una pared situada a 7 m. Desprecia la resistencia del aire y usa g = 9,81 m/s². ¿A qué altura y pasa la pelota por la pared?
Se lanza una pelota a 35° sobre la horizontal desde lo alto de un acantilado de 5 m. Desprecia la resistencia del aire. Halla la distancia horizontal x recorrida antes de que la pelota toque el suelo.
Un coche de 800 kg sube por una pendiente de 2° a 90 km/h constantes. La resistencia del aire y la resistencia a la rodadura suman en total 500 N. Halla la potencia P que deben entregar las ruedas, en kW.
Se suelta desde el reposo un bloque de 2 kg a una altura de 2 m en una rampa lisa. Abajo cruza una franja horizontal rugosa de 1 m (μ = 0,1) y después choca contra un muelle (k = 4000 N/m) sobre una superficie lisa. Halla la compresión máxima x del muelle.
En un ensayo de vibración libre de un sistema masa–muelle amortiguado, a un pico de desplazamiento de 40 mm le sigue un ciclo después un pico de 21,3 mm. Halla el factor de amortiguamiento ζ.
Una masa de 5 kg cuelga de dos muelles uno al lado del otro (en paralelo), con rigideces k₁ = 10 kN/m y k₂ = 40 kN/m. La masa se mantiene horizontal. Halla la rigidez equivalente keq del sistema de muelles en kN/m.
Una máquina térmica recibe calor de un foco a 600 °C y cede calor al ambiente a 40 °C. Su rendimiento térmico real es del 32 %. Halla su rendimiento exergético (de segundo principio) ηII, el cociente entre el rendimiento real y el de Carnot.
Un frigorífico mantiene su compartimento a 4 °C en una cocina a 32 °C, extrayendo calor del compartimento a razón de 0,5 kW. Halla la potencia mínima de accionamiento Ẇmin.
Un ciclo Diesel ideal tiene una relación de compresión r = 17 y una relación de corte rc = v₃/v₂ = 1,5. Usa las hipótesis de aire estándar frío: el aire es un gas ideal con calores específicos constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) y cv = 0,718 kJ/(kg·K). Halla su rendimiento térmico η en porcentaje.
Una central de turbina de gas funciona según un ciclo Brayton con una relación de presiones en el compresor de 10. El aire entra en el compresor a 290 K y en la turbina a 1400 K. Las dos máquinas son isentrópicas. Usa las hipótesis de aire estándar frío: el aire es un gas ideal con calores específicos constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) y cv = 0,718 kJ/(kg·K). Halla el trabajo neto wnet por kilogramo de aire, en kJ/kg.
Un tubo de Pitot estático en una tubería de agua indica una diferencia de 35 kPa entre la presión de estancamiento y la presión estática. Halla la velocidad del agua v en la punta.
El agua sube por una tubería que se estrecha de 100 mm a 50 mm mientras asciende 1 m. En la sección 1 la presión es 350 kPa y la velocidad 1,5 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p2 en la sección 2.
Agua circula con una velocidad media de 2,7 m/s por una tubería de 1000 m de longitud y 100 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,022 y g = 9,81 m/s². Halla la pérdida de carga por fricción hf.
Dos depósitos abiertos están unidos por una tubería de 100 m de longitud, 150 mm de diámetro interior y factor de fricción de Darcy f = 0,018. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 2 codos (K = 0,3 cada uno), una válvula (K = 5) y la salida al depósito inferior (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². ¿Qué diferencia de nivel de agua Δz entre los depósitos da un caudal de 50 L/s?
Una bomba con un rendimiento del 82 % impulsa 100 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 22 m. Usa g = 9,81 m/s². Halla la potencia en el eje Pshaft necesaria, en kW.
Una bomba impulsa 100 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 12 m más alta. La tubería mide 200 m de longitud, tiene 250 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,022; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 4 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El depósito superior está cerrado y el aire sobre el agua está a una presión manométrica de 400 kPa. Halla la altura H que debe añadir la bomba.
Un muro está formado por 100 mm de ladrillo y 50 mm de madera, con un área de 6 m². Las caras exteriores están a 17 °C y 3 °C. Halla la temperatura Ti en la interfaz entre las dos capas.
Un muro de 200 mm de poliestireno expandido y 100 mm de vidrio separa una habitación a 21 °C del aire exterior a 5 °C. Los coeficientes de convección son 8 W/(m²·K) dentro y 30 W/(m²·K) fuera, y el área del muro es 10 m². Halla la pérdida de calor Q̇ a través del muro.
Una polea de 150 mm a 720 rpm acciona una polea de 500 mm mediante una correa con un 2 % de deslizamiento. Halla la velocidad n2 de la polea conducida.
Una correa abierta conecta una polea motriz de 150 mm a 1500 rpm con una polea de 200 mm; los centros están separados 800 mm. El coeficiente de rozamiento es 0,35 y la tensión del ramal tenso no puede superar 1200 N. Halla la mayor potencia P que puede transmitir la correa sin deslizar, en kW (ignora los efectos centrífugos).
Halla f(t) para F(s) = (s + 16)/(s² + 8s + 52) completando el cuadrado, y evalúa f(0,25).
Un sistema cumple y″ + 11y′ + 30y = 75·u(t). Parte del reposo (y(0) = 0, y′(0) = 0) y la entrada es un escalón u(t) = 2 para t ≥ 0. Usa la transformada de Laplace para hallar la salida y(0,1).
La planta G(s) = K/((s + 6)(s + 12)) está en un lazo de realimentación negativa unitaria. Halla la ganancia K para la que el lazo cerrado está críticamente amortiguado (dos polos reales iguales).
La planta G(s) = K/((s + 4)(s + 6)(s + 8)) está en un lazo de realimentación negativa unitaria. Con la mayor ganancia estable el lazo oscila. Halla la frecuencia de oscilación ω en rad/s.
Un sistema tiene la función de transferencia G(s) = 28/(s² + 3s + 28) y recibe una entrada escalón unitario. Halla el sobreimpulso porcentual %OS de la respuesta al escalón.
Una masa m = 2 kg cuelga de un resorte k = 2000 N/m con un amortiguador viscoso c = 76 N·s/m (m·x″ + c·x′ + k·x = F). En reposo, en equilibrio, se aplica de repente una fuerza constante F = 10 N. Halla el sobreimpulso porcentual %OS del desplazamiento.
Se aplica la entrada r(t) = 2 + 5t (un escalón más una rampa) a un lazo con realimentación unitaria con G(s) = 20/(s(s + 5)). Halla el error en régimen permanente ess.
Un controlador PI C(s) = 2 + 10/s controla la planta G(s) = 5/((s + 4)(s + 10)) en un lazo con realimentación unitaria. Halla el error en régimen permanente ess para la entrada en rampa r(t) = 1t.
Respuesta: RA = 36,5 kN
Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.
Antihorario positivo.
Una reacción negativa actúa hacia abajo.
Respuesta: MA = 420 kN·m
Equilibrio de un voladizo: un empotramiento puede empujar hacia arriba y además impedir el giro, así que da una reacción vertical RA y un momento de empotramiento MA. ΣFy = 0 da RA, y los momentos respecto al muro dan MA = Σ(carga × distancia al muro). Una carga repartida actúa como su resultante en el centroide del diagrama de carga.
Respuesta: δ = 5,169 mm
Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).
E for cobre = 117 GPa = 117000 MPa.
Respuesta: δ = 9,763 mm
Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.
El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.
Respuesta: do = 52,69 mm
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Un eje macizo necesitaría d = 50,31 mm; el hueco es algo mayor pero mucho más ligero.
Respuesta: d = 40,18 mm
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.
Respuesta: Mx = 46,88 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.
Equilibrio de toda la viga.
Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.
Respuesta: F (x = 10 m)
Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.
Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.
Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.
Respuesta: θp = 80,78 °
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.
En el círculo de Mohr, el punto x está a un ángulo 2θp del eje σ; el cuadrante se deduce de los signos de σₓ − σᵧ y τₓᵧ.
Los ángulos positivos son en sentido antihorario.
Respuesta: σθ = 64,74 MPa
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.
Respuesta: δ = 4,36 mm
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).
Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
Respuesta: δmax = 11,29 mm
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).
Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
Respuesta: Pcr = 200,9 kN
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.
Respuesta: d = 37,9 mm
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Comprobación: la esbeltez KL/r es 105,5, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.
Respuesta: y = 7,143 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
En la pared la pelota todavía está subiendo.
Respuesta: x = 76,36 m
Tiro parabólico: sin resistencia del aire, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Las dos direcciones son independientes, salvo que comparten el mismo tiempo.
La velocidad horizontal se mantiene constante; el movimiento vertical tiene una aceleración constante g = 9,81 m/s² hacia abajo.
Resuelve y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 y toma la raíz positiva.
Respuesta: P = 19,35 kW
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d). La potencia es la fuerza por la velocidad: P = F·v.
Respuesta: x = 13,65 cm
Teorema del trabajo y la energía: la variación de energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas. Escribiendo la gravedad y los muelles como energía potencial (mgh y ½kx²), queda un balance: energía inicial = energía final + energía perdida por rozamiento (μN·d).
La rampa es lisa, así que solo la franja quita energía.
Respuesta: ζ = 0,09979
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Respuesta: keq = 50 kN/m
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Los muelles uno al lado del otro comparten la deformación y suman sus fuerzas, así que sus rigideces simplemente se suman: k = k1 + k2.
Respuesta: ηII = 49,89 %
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Respuesta: Ẇmin = 0,05051 kW
Límites del segundo principio: ningún ciclo entre focos a temperaturas absolutas TH y TL puede superar al ciclo reversible (de Carnot): ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) y COPHP,max = TH/(TH − TL). La energía siempre se conserva: QH = W + QL.
El menor trabajo lo necesita una máquina reversible, que tiene el mayor COP.
Respuesta: η = 64,85 %
Ciclo Diesel (motor de encendido por compresión): 1→2 compresión isentrópica, 2→3 aporte de calor a presión constante, 3→4 expansión isentrópica, 4→1 cesión de calor a volumen constante. Con relación de compresión r = v₁/v₂ y relación de corte rc = v₃/v₂: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) y η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).
Respuesta: wnet = 407 kJ/kg
Ciclo Brayton (turbina de gas): 1→2 compresión isentrópica, 2→3 aporte de calor a presión constante, 3→4 expansión isentrópica en la turbina, 4→1 cesión de calor a presión constante. Con relación de presiones rp = P₂/P₁: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k y η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Trabajo neto w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Con rendimientos isentrópicos, el compresor necesita ws/ηc y la turbina da ηt·ws.
Relación de trabajo de retroceso: wc/wt = 39,99%.
Respuesta: v = 8,367 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
El flujo se detiene en la punta, así que su energía cinética aparece como presión adicional.
Respuesta: p2 = 323,3 kPa
Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.
Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.
Respuesta: hf = 81,74 m
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Respuesta: Δz = 7,793 m
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Respuesta: Pshaft = 26,32 kW
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Respuesta: H = 57,34 m
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Las dos superficies están prácticamente en reposo, así que no hay término de altura de velocidad.
Respuesta: Ti = 12,51 °C
Resistencia térmica: el flujo de calor estacionario a través de capas en serie se comporta como la corriente por resistencias en serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) para una capa conductora y R = 1/(hA) para una superficie con convección. La caída de temperatura en cada capa es proporcional a su resistencia.
La temperatura baja Q̇·R₁ a través de la primera capa.
Respuesta: Q̇ = 26,77 W
Resistencia térmica: el flujo de calor estacionario a través de capas en serie se comporta como la corriente por resistencias en serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) para una capa conductora y R = 1/(hA) para una superficie con convección. La caída de temperatura en cada capa es proporcional a su resistencia.
Respuesta: n2 = 211,7 rpm
Transmisiones por correa: sin deslizamiento, ambas poleas tienen la misma velocidad periférica v = π·d·n/60, así que n₁·d₁ = n₂·d₂ y la relación de velocidades es d₂/d₁. El deslizamiento s hace que la polea conducida gire un poco más despacio: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La potencia transmitida es P = (T₁ − T₂)·v, con T₁ la tensión del ramal tenso y T₂ la del ramal flojo. El rozamiento limita la relación de tensiones: T₁/T₂ = eμθ, donde θ es el ángulo de contacto en radianes sobre la polea menor; para una correa abierta θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) con distancia entre centros C.
Respuesta: P = 9,325 kW
Transmisiones por correa: sin deslizamiento, ambas poleas tienen la misma velocidad periférica v = π·d·n/60, así que n₁·d₁ = n₂·d₂ y la relación de velocidades es d₂/d₁. El deslizamiento s hace que la polea conducida gire un poco más despacio: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La potencia transmitida es P = (T₁ − T₂)·v, con T₁ la tensión del ramal tenso y T₂ la del ramal flojo. El rozamiento limita la relación de tensiones: T₁/T₂ = eμθ, donde θ es el ángulo de contacto en radianes sobre la polea menor; para una correa abierta θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) con distancia entre centros C.
Respuesta: f(0.25) = 0,7599
Transformada de Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt convierte las derivadas en multiplicaciones por s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pares estándar: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), y un desplazamiento s → s + σ multiplica la función temporal por e−σt. Para invertir una F(s) racional, descomponla en fracciones parciales: el residuo de un polo simple p es A = [(s − p)·F(s)] en s = p. Teorema del valor final: f(∞) = lims→0 s·F(s), válido solo cuando todos los polos de s·F(s) están en el semiplano izquierdo. Teorema del valor inicial: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Respuesta: y(0.1) = 0,5244
Transformada de Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt convierte las derivadas en multiplicaciones por s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pares estándar: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), y un desplazamiento s → s + σ multiplica la función temporal por e−σt. Para invertir una F(s) racional, descomponla en fracciones parciales: el residuo de un polo simple p es A = [(s − p)·F(s)] en s = p. Teorema del valor final: f(∞) = lims→0 s·F(s), válido solo cuando todos los polos de s·F(s) están en el semiplano izquierdo. Teorema del valor inicial: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Respuesta: K = 9
Álgebra de diagramas de bloques: los bloques en serie se multiplican (G₁·G₂), los bloques en paralelo se suman (G₁ + G₂), y un lazo con camino directo G y camino de realimentación H se reduce a T = G/(1 + G·H) para realimentación negativa y G/(1 − G·H) para realimentación positiva. Reduce primero los lazos internos y avanza hacia fuera. Los polos en lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica 1 + G(s)H(s) = 0. Para un lazo estable, una entrada escalón de tamaño A da la salida en régimen estacionario A·T(0); con realimentación unitaria el error en régimen estacionario ante un escalón es A/(1 + Kp) con Kp = G(0).
Un polinomio cuadrático s² + βs + γ tiene una raíz doble cuando β² = 4γ.
Respuesta: ω = 10,2 rad/s
Álgebra de diagramas de bloques: los bloques en serie se multiplican (G₁·G₂), los bloques en paralelo se suman (G₁ + G₂), y un lazo con camino directo G y camino de realimentación H se reduce a T = G/(1 + G·H) para realimentación negativa y G/(1 − G·H) para realimentación positiva. Reduce primero los lazos internos y avanza hacia fuera. Los polos en lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica 1 + G(s)H(s) = 0. Para un lazo estable, una entrada escalón de tamaño A da la salida en régimen estacionario A·T(0); con realimentación unitaria el error en régimen estacionario ante un escalón es A/(1 + Kp) con Kp = G(0).
Todos los elementos de la primera columna deben ser positivos.
Respuesta: %OS = 39,51 %
Respuesta al escalón: un sistema de primer orden G(s) = K/(τs + 1) responde a un escalón de tamaño U con y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): alcanza el 63,2 % del valor final K·U después de una constante de tiempo τ y el 98 % después de 4τ. Un sistema de segundo orden G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) tiene los polos s = −ζωₙ ± jωd con ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Para 0 < ζ < 1 la respuesta al escalón tiene sobreimpulso: sobreimpulso porcentual %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tiempo de pico tp = π/ωd y tiempo de establecimiento al 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Compara el denominador con s² + 2ζωₙs + ωₙ² para obtener ωₙ y ζ. Para un sistema masa–resorte–amortiguador ωₙ = √(k/m) y ζ = c/(2√(km)); para un circuito RLC serie ωₙ = 1/√(LC) y ζ = (R/2)·√(C/L).
El denominador debe coincidir con s² + 2ζωₙs + ωₙ².
Respuesta: %OS = 9,43 %
Respuesta al escalón: un sistema de primer orden G(s) = K/(τs + 1) responde a un escalón de tamaño U con y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): alcanza el 63,2 % del valor final K·U después de una constante de tiempo τ y el 98 % después de 4τ. Un sistema de segundo orden G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) tiene los polos s = −ζωₙ ± jωd con ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Para 0 < ζ < 1 la respuesta al escalón tiene sobreimpulso: sobreimpulso porcentual %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tiempo de pico tp = π/ωd y tiempo de establecimiento al 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Compara el denominador con s² + 2ζωₙs + ωₙ² para obtener ωₙ y ζ. Para un sistema masa–resorte–amortiguador ωₙ = √(k/m) y ζ = c/(2√(km)); para un circuito RLC serie ωₙ = 1/√(LC) y ζ = (R/2)·√(C/L).
Respuesta: ess = 1,25
Error en régimen permanente: en un lazo con realimentación unitaria y función de transferencia de lazo abierto G(s) el error es E(s) = R(s)/(1 + G(s)), y por el teorema del valor final ess = lims→0 s·E(s). El tipo del sistema es el número de polos de G(s) en s = 0. Las constantes de error son Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) y Ka = lim s²·G(s), todas para s → 0. Un escalón de tamaño A da ess = A/(1 + Kp), una rampa A·t da A/Kv y una parábola A·t²/2 da A/Ka. Un lazo de tipo 0 sigue un escalón con un error finito, un lazo de tipo 1 lo sigue exactamente y sigue una rampa con un error finito.
Respuesta: ess = 0,8
Control P, PI y PID: el controlador C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s actúa sobre el error. Una ganancia proporcional hace el lazo más rápido y reduce el error de una planta de tipo 0, pero nunca lo elimina. El término integral añade un polo en s = 0: el tipo del sistema sube una unidad y un escalón se sigue sin error. El término derivativo añade amortiguamiento. Para elegir las ganancias, escribe el polinomio característico de lazo cerrado y compáralo con s² + 2ζωns + ωn². Entonces %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd con ωd = ωn√(1 − ζ²), y ts ≈ 4/(ζωn).
s·C(s) = 2s + 10 → 10 cuando s → 0.
El controlador PI elimina por completo el error ante escalón; una rampa se sigue con un retardo constante.
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