Mecánica de fluidos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Fuerza hidrostática

Presión a una profundidad: p = ρgh
Fuerza sobre una pared vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de presiones: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectángulo: I_c = bH³/12

Continuidad y Bernoulli

Continuidad: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Caudal: Q = A·v
Área del círculo: A = πd²/4

Fricción en tuberías y pérdida de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régimen de flujo: laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
Velocidad media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pérdidas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
Caída de presión: Δp = ρ·g·h_f
Dos depósitos abiertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Salida libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas y potencia de bombeo

Potencia hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potencia en el eje: P_shaft = P_h/η_pump
Potencia eléctrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura de la bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pérdidas del sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Problemas de práctica

1.Fuerza hidrostáticaMedia

Una compuerta rectangular vertical de 2 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 1,5 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.

d = 1,5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Fuerza hidrostáticaDifícil

Una compuerta rectangular vertical de 1,5 m de ancho está en la pared de un depósito de agua de mar, con su borde superior a 4 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.

d = 4 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidad y BernoulliMedia

Por una tubería horizontal que se estrecha de 100 mm a 75 mm circulan 16 L/s de agua. La presión en la sección estrecha es 120 kPa. Despreciando las pérdidas, halla la presión p₁ en la sección ancha.

Q = 16 L/sd₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₂ = 120 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuidad y BernoulliDifícil

Una manguera de 32 mm de diámetro interior saca agua por sifón de un depósito abierto. El punto más alto C de la manguera está 0,5 m por encima de la superficie del agua, y la salida (abierta al aire) está 3,5 m por debajo de la superficie del agua. Desprecia las pérdidas y toma g = 9,81 m/s². Halla la presión absoluta p_C en el punto C. La presión atmosférica es 101,3 kPa.

d = 32 mmz_C = +0,5 mz₂ = −3,5 mg = 9,81 m/s²p_atm = 101,3 kPa

p_C = kPa

5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia

Agua (ρ = 1000 kg/m³) circula a 1,9 m/s por una tubería horizontal de 300 m de longitud y 75 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,025 y g = 9,81 m/s². Halla la caída de presión Δp en la tubería en kPa.

V = 1,9 m/sL = 300 mD = 75 mmf = 0,025ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil

Una tubería de 500 m de longitud y 300 mm de diámetro interior (factor de fricción de Darcy f = 0,018) sale de un depósito abierto y descarga como chorro libre a la atmósfera. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 4 codos (K = 0,3 cada uno) y una válvula (K = 5). Usa g = 9,81 m/s². ¿A qué altura H debe estar la superficie del depósito sobre la salida de la tubería para un caudal de 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 500 mD = 300 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5

H = m

7.Bombas y potencia de bombeoMedia

Una bomba impulsa 80 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 68 m. El rendimiento de la bomba es del 60 % y el motor eléctrico que la acciona tiene un rendimiento del 95 %. Usa g = 9,81 m/s². Halla la potencia eléctrica P_el que absorbe el motor, en kW.

Q = 80 L/sH = 68 mη_pump = 60%η_motor = 95%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Bombas y potencia de bombeoDifícil

Una bomba impulsa 80 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 26 m más alta. La tubería mide 150 m de longitud, tiene 200 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,02; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 6 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El depósito superior está cerrado y el aire sobre el agua está a una presión manométrica de 100 kPa. Halla la altura H que debe añadir la bomba.

Q = 80 L/sΔz = 26 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 6p_tank = 100 kPa

H = m

3Disoluciones

1.Fuerza hidrostática

Respuesta: F = 98,1 kN

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·4 = 98,1 kN

Respuesta

F = 98,1 kN

2.Fuerza hidrostática

Respuesta: F = 107,5 kN

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·4,75·2,25 = 107,5 kN

Respuesta

F = 107,5 kN

3.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: p₁ = 124,5 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidades

v₁ = Q/A₁ = 0,016/0,007854 = 2,037 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,016/0,004418 = 3,622 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 120 + ½·1000·(3,622² − 2,037²)/1000 = 120 + 4,483 = 124,5 kPa

Respuesta

p₁ = 124,5 kPa

4.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: p_C = 62,06 kPa

Velocidad en la manguera

La superficie y la salida están abiertas al aire, así que los términos de presión se anulan.

v = √(2g·3,5) = √(2·9,81·3,5) = 8,287 m/s

Bernoulli de la superficie a C

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101,3 − 1000·(8,287²/2 + 9,81·0,5)/1000 = 101,3 − 39,24 = 62,06 kPa

Respuesta

p_C = 62,06 kPa

Si esta presión baja hasta la presión de vapor del agua, el sifón deja de funcionar.

5.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: Δp = 180,5 kPa

Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = h_f + h_m, incluida la pérdida de salida K = 1.

Pérdida de carga

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(300/0,075)·1,9²/(2·9,81) = 18,4 m

Caída de presión

La tubería es horizontal y la velocidad no cambia, así que la ecuación de la energía se reduce a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·18,4 = 180500 Pa = 180,5 kPa

Respuesta

Δp = 180,5 kPa

6.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: H = 2,163 m

Velocidad

V = Q/A = 0,075/0,07069 = 1,061 m/s

V²/(2g) = 0,05738 m

Coeficientes de pérdida

f·L/D = 0,018·500/0,3 = 30

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 = 6,7

Ecuación de la energía

El chorro de salida conserva su altura de velocidad; no es una pérdida, pero hay que aportarla.

H = (1 + 30 + 6,7)·0,05738 = 2,163 m

Respuesta

H = 2,163 m

7.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: P_el = 93,63 kW

Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: P_shaft = P_h/η_pump, y el motor absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.

Potencia hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·68 = 53,37 kW

Potencia en el eje

P_shaft = 53,37/0,6 = 88,94 kW

Potencia eléctrica

P_el = 88,94/0,95 = 93,63 kW

Respuesta

P_el = 93,63 kW

8.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: H = 43,13 m

Velocidad

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Pérdidas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 6)·0,3305 = 6,941 m

Altura de presión

p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m

Altura de la bomba

Las dos superficies están prácticamente en reposo, así que no hay término de altura de velocidad.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 26 + 10,19 + 6,941 = 43,13 m

Respuesta

H = 43,13 m

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