Mecánica de fluidos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Fuerza hidrostática

Presión a una profundidad: p = ρgh
Fuerza sobre una pared vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de presiones: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectángulo: I_c = bH³/12

Continuidad y Bernoulli

Continuidad: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Caudal: Q = A·v
Área del círculo: A = πd²/4

Fricción en tuberías y pérdida de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régimen de flujo: laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
Velocidad media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pérdidas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
Caída de presión: Δp = ρ·g·h_f
Dos depósitos abiertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Salida libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas y potencia de bombeo

Potencia hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potencia en el eje: P_shaft = P_h/η_pump
Potencia eléctrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura de la bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pérdidas del sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Problemas de práctica

1.Fuerza hidrostáticaMedia

Una compuerta rectangular vertical de 3 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 3 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.

d = 3 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Fuerza hidrostáticaDifícil

Una compuerta rectangular vertical de 3 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 2 m bajo la superficie. Halla la profundidad y_cp del centro de presiones bajo la superficie.

d = 2 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidad y BernoulliMedia

El agua circula por una tubería horizontal que se estrecha de 150 mm a 75 mm. En el tramo ancho la presión es 110 kPa y la velocidad 0,75 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p₂ en el tramo estrecho.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 110 kPav₁ = 0,75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuidad y BernoulliDifícil

La tobera de una fuente apunta verticalmente hacia arriba. Justo debajo de la tobera, la tubería de alimentación tiene un diámetro de 75 mm y una presión manométrica de 70 kPa. El diámetro de salida de la tobera es 25 mm, y la diferencia de altura a través de la tobera es despreciable. Despreciando las pérdidas y la resistencia del aire, halla la altura H que sube el chorro por encima de la tobera. Usa g = 9,81 m/s².

d₁ = 75 mmp₁ = 70 kPa (manométrica)d₂ = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia

Agua circula a razón de 12 L/s por una tubería de 300 m de longitud y 100 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,018 y g = 9,81 m/s². Halla la pérdida de carga por fricción h_f.

Q = 12 L/sL = 300 mD = 100 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil

Una tubería de 100 m de longitud y 250 mm de diámetro interior (factor de fricción de Darcy f = 0,015) sale de un depósito abierto y descarga como chorro libre a la atmósfera. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 4 codos (K = 0,3 cada uno) y una válvula (K = 10). Usa g = 9,81 m/s². ¿A qué altura H debe estar la superficie del depósito sobre la salida de la tubería para un caudal de 80 L/s?

Q = 80 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10

H = m

7.Bombas y potencia de bombeoMedia

Una bomba con un rendimiento del 70 % impulsa 60 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 42 m. Usa g = 9,81 m/s². Halla la potencia en el eje P_shaft necesaria, en kW.

Q = 60 L/sH = 42 mη = 70%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Bombas y potencia de bombeoDifícil

Una bomba impulsa 50 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 5 m más alta. La tubería mide 150 m de longitud, tiene 150 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,018; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 4 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El rendimiento de la bomba es del 78 %. Halla la potencia en el eje P_shaft en kW.

Q = 50 L/sΔz = 5 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,018ΣK = 4η = 78%

P_shaft = kW

3Disoluciones

1.Fuerza hidrostática

Respuesta: F = 103 kN

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3,5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·3 = 103 kN

Respuesta

F = 103 kN

2.Fuerza hidrostática

Respuesta: y_cp = 3,41 m

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·7,5 = 239,1 kN

Centro de presiones

La presión aumenta con la profundidad, así que la resultante actúa por debajo del centroide.

I_c = b·H³/12 = 3·2,5³/12 = 3,906 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,25 + 3,906/(3,25·7,5) = 3,41 m

Respuesta

y_cp = 3,41 m

3.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: p₂ = 105,8 kPa

Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.

Continuidad y Bernoulli

Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,75·(150/75)² = 3 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,75² − 3²)/1000 = −4,219 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 110 + (−4,219) = 105,8 kPa

Respuesta

p₂ = 105,8 kPa

4.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: H = 7,225 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidad de salida

β = 25/75 = 0,3333

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·70000/(1000·0,9877)) = 11,91 m/s

Altura del chorro

Bernoulli a lo largo del chorro: en lo más alto la velocidad es nula y la presión vuelve a ser la atmosférica.

H = v₂²/(2g) = 11,91²/(2·9,81) = 7,225 m

Respuesta

H = 7,225 m

5.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: h_f = 6,425 m

Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = h_f + h_m, incluida la pérdida de salida K = 1.

Velocidad media

A = π·0,1²/4 = 0,007854 m²

V = Q/A = 0,012/0,007854 = 1,528 m/s

Altura de velocidad

V²/(2g) = 1,528²/(2·9,81) = 0,119 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(300/0,1)·1,528²/(2·9,81) = 6,425 m

Respuesta

h_f = 6,425 m

6.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: H = 2,532 m

Velocidad

V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s

V²/(2g) = 0,1354 m

Coeficientes de pérdida

f·L/D = 0,015·100/0,25 = 6

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 = 11,7

Ecuación de la energía

El chorro de salida conserva su altura de velocidad; no es una pérdida, pero hay que aportarla.

H = (1 + 6 + 11,7)·0,1354 = 2,532 m

Respuesta

H = 2,532 m

7.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: P_shaft = 35,32 kW

Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: P_shaft = P_h/η_pump, y el motor absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.

Potencia hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·42 = 24,72 kW

Potencia en el eje

P_shaft = P_h/η = 24,72/0,7 = 35,32 kW

Respuesta

P_shaft = 35,32 kW

8.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: P_shaft = 8,789 kW

Velocidad

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Pérdidas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 4)·0,408 = 8,977 m

Altura de la bomba

H = Δz + h_L = 5 + 8,977 = 13,98 m

Potencia en el eje

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·13,98/0,78 = 8,789 kW

Respuesta

P_shaft = 8,789 kW

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