Fuerza hidrostática
- Presión a una profundidad
- p = ρgh
- Fuerza sobre una pared vertical
- F = ρg·hc·A
- Centro de presiones
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectángulo
- Ic = bH³/12
Mecánica de fluidos: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Continuidad y Bernoulli
- Continuidad
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Caudal
- Q = A·v
- Área del círculo
- A = πd²/4
Fricción en tuberías y pérdida de carga
- Número de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régimen de flujo
- laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
- Velocidad media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pérdidas localizadas
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valores típicos de K
- entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
- Caída de presión
- Δp = ρ·g·hf
- Dos depósitos abiertos
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Salida libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Bombas y potencia de bombeo
- Potencia hidráulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potencia en el eje
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potencia eléctrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Altura de la bomba
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pérdidas del sistema
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Problemas de práctica
1.Fuerza hidrostáticaMedia
Una compuerta rectangular vertical de 1,5 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 2 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.
d = 2 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Fuerza hidrostáticaDifícil
Una compuerta rectangular vertical de 2 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 1 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.
d = 1 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuidad y BernoulliMedia
Un depósito grande y abierto se vacía por un orificio de arista viva de 40 mm de diámetro. El nivel del agua se mantiene 5 m por encima del orificio y el coeficiente de descarga es 0,6. Halla el caudal Q. Usa g = 9,81 m/s².
d = 40 mmh = 5 mCd = 0,6g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.Continuidad y BernoulliDifícil
El agua sube por una tubería que se estrecha de 100 mm a 75 mm mientras asciende 1 m. En la sección 1 la presión es 360 kPa y la velocidad 1 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p2 en la sección 2.
d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 360 kPav1 = 1 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia
Agua circula a razón de 75 L/s por una tubería de 400 m de longitud y 200 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,022 y g = 9,81 m/s². Halla la pérdida de carga por fricción hf.
Q = 75 L/sL = 400 mD = 200 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil
Dos depósitos abiertos están unidos por una tubería de 200 m de longitud, 300 mm de diámetro interior y factor de fricción de Darcy f = 0,018. La superficie libre del depósito superior está 34 m por encima de la del inferior. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 4 codos (K = 0,3 cada uno), una válvula (K = 5) y la salida al depósito inferior (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Halla el caudal Q en L/s.
Δz = 34 mL = 200 mD = 300 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Bombas y potencia de bombeoMedia
En un ensayo, una bomba impulsa 40 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 30 m mientras su eje absorbe 15,1 kW. Usa g = 9,81 m/s². Halla el rendimiento de la bomba η en porcentaje.
Q = 40 L/sH = 30 mPshaft = 15,1 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Bombas y potencia de bombeoDifícil
Una bomba impulsa 50 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 13 m más alta. La tubería mide 100 m de longitud, tiene 200 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,015; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 8 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El rendimiento de la bomba es del 80 %. Halla la potencia en el eje Pshaft en kW.
Q = 50 L/sΔz = 13 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 8η = 80%
Pshaft = kW
3Disoluciones
1.Fuerza hidrostática
Respuesta: F = 36,79 kN
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·yc·A. Actúa en el centro de presiones, ycp = yc + Ic/(ycA), que siempre está por debajo del centroide.
Profundidad del centroide y área
yc = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m
A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²
Fuerza resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,5·1,5 = 36,79 kN
Respuesta
F = 36,79 kN
2.Fuerza hidrostática
Respuesta: F = 110,4 kN
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·yc·A. Actúa en el centro de presiones, ycp = yc + Ic/(ycA), que siempre está por debajo del centroide.
Profundidad del centroide y área
yc = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m
A = H·b = 2,5·2 = 5 m²
Fuerza resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,25·5 = 110,4 kN
Respuesta
F = 110,4 kN
3.Continuidad y Bernoulli
Respuesta: Q = 7,468 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Velocidad ideal del chorro
√(2gh) = √(2·9,81·5) = 9,905 m/s
Caudal real
El coeficiente de descarga tiene en cuenta la contracción del chorro y el rozamiento en la arista.
Q = Cd·A·√(2gh) = 0,6·0,001257·9,905 = 0,007468 m³/s = 7,468 L/s
Respuesta
Q = 7,468 L/s
4.Continuidad y Bernoulli
Respuesta: p2 = 349,1 kPa
Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.
Continuidad y Bernoulli
Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1·(100/75)² = 1,778 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1² − 1,778²)/1000 = −1,08 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·1/1000 = 9,81 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 360 + (−1,08) − 9,81 = 349,1 kPa
Respuesta
p2 = 349,1 kPa
5.Fricción en tuberías y pérdida de carga
Respuesta: hf = 12,78 m
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Velocidad media
A = π·0,2²/4 = 0,03142 m²
V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s
Altura de velocidad
V²/(2g) = 2,387²/(2·9,81) = 0,2905 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(400/0,2)·2,387²/(2·9,81) = 12,78 m
Respuesta
hf = 12,78 m
6.Fricción en tuberías y pérdida de carga
Respuesta: Q = 411,3 L/s
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Coeficientes de pérdida
f·L/D = 0,018·200/0,3 = 12
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7
Ecuación de la energía
Las dos superficies están abiertas al aire y prácticamente en reposo, así que todo Δz se pierde en la tubería.
34 = (12 + 7,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·34/19,7) = 5,819 m/s
Caudal
Q = V·π·D²/4 = 5,819·0,07069 = 0,4113 m³/s = 411,3 L/s
Respuesta
Q = 411,3 L/s
7.Bombas y potencia de bombeo
Respuesta: η = 77,96 %
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Potencia hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·30 = 11,77 kW
Rendimiento
η = Ph/Pshaft = 11,77/15,1 = 77,96%
Respuesta
η = 77,96%
8.Bombas y potencia de bombeo
Respuesta: Pshaft = 9,198 kW
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Velocidad
V = Q/A = 0,05/0,03142 = 1,592 m/s
V²/(2g) = 0,1291 m
Pérdidas de carga
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (7,5 + 8)·0,1291 = 2,001 m
Altura de la bomba
H = Δz + hL = 13 + 2,001 = 15 m
Potencia en el eje
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·15/0,8 = 9,198 kW
Respuesta
Pshaft = 9,198 kW
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