Mecánica de fluidos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Fuerza hidrostática

Presión a una profundidad: p = ρgh
Fuerza sobre una pared vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de presiones: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectángulo: I_c = bH³/12

Continuidad y Bernoulli

Continuidad: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Caudal: Q = A·v
Área del círculo: A = πd²/4

Fricción en tuberías y pérdida de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régimen de flujo: laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
Velocidad media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pérdidas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
Caída de presión: Δp = ρ·g·h_f
Dos depósitos abiertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Salida libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas y potencia de bombeo

Potencia hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potencia en el eje: P_shaft = P_h/η_pump
Potencia eléctrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura de la bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pérdidas del sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Problemas de práctica

1.Fuerza hidrostáticaMedia

Una compuerta rectangular vertical de 3 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 2 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.

d = 2 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Fuerza hidrostáticaDifícil

Una compuerta rectangular vertical de 1,5 m de ancho está en la pared de un depósito de agua de mar, con su borde superior a 4 m bajo la superficie. Halla la profundidad y_cp del centro de presiones bajo la superficie.

d = 4 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidad y BernoulliMedia

Por un venturímetro horizontal con un diámetro de entrada de 200 mm y un diámetro de garganta de 100 mm circula agua. La presión en la entrada es 60 kPa mayor que en la garganta. Despreciando las pérdidas, halla el caudal Q.

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ − p₂ = 60 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Continuidad y BernoulliDifícil

El agua sube por una tubería que se estrecha de 100 mm a 50 mm mientras asciende 4 m. En la sección 1 la presión es 360 kPa y la velocidad 1,75 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p₂ en la sección 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 360 kPav₁ = 1,75 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia

Agua (ρ = 1000 kg/m³) circula a 2,5 m/s por una tubería horizontal de 100 m de longitud y 50 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,028 y g = 9,81 m/s². Halla la caída de presión Δp en la tubería en kPa.

V = 2,5 m/sL = 100 mD = 50 mmf = 0,028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil

Dos depósitos abiertos están unidos por una tubería de 100 m de longitud, 300 mm de diámetro interior y factor de fricción de Darcy f = 0,02. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 3 codos (K = 0,3 cada uno), una válvula (K = 5) y la salida al depósito inferior (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². ¿Qué diferencia de nivel de agua Δz entre los depósitos da un caudal de 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Bombas y potencia de bombeoMedia

Una bomba con un rendimiento del 80 % impulsa 60 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 52 m. Usa g = 9,81 m/s². Halla la potencia en el eje P_shaft necesaria, en kW.

Q = 60 L/sH = 52 mη = 80%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Bombas y potencia de bombeoDifícil

Una bomba impulsa 40 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 9 m más alta. La tubería mide 100 m de longitud, tiene 200 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,018; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 8 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El rendimiento de la bomba es del 72 %. Halla la potencia en el eje P_shaft en kW.

Q = 40 L/sΔz = 9 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 8η = 72%

P_shaft = kW

3Disoluciones

1.Fuerza hidrostática

Respuesta: F = 309 kN

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·9 = 309 kN

Respuesta

F = 309 kN

2.Fuerza hidrostática

Respuesta: y_cp = 5,349 m

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·5,25·3,75 = 198 kN

Centro de presiones

La presión aumenta con la profundidad, así que la resultante actúa por debajo del centroide.

I_c = b·H³/12 = 1,5·2,5³/12 = 1,953 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5,25 + 1,953/(5,25·3,75) = 5,349 m

Respuesta

y_cp = 5,349 m

3.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: Q = 88,86 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Continuidad

v₁ = v₂·(100/200)² = 0,25·v₂

Bernoulli entre la entrada y la garganta

La tubería es horizontal, así que solo cambian la presión y la velocidad.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·60000/(1000·(1 − 0,0625))) = 11,31 m/s

v₁ = 2,828 m/s

Caudal

Q = A₂·v₂ = 0,007854·11,31 = 0,08886 m³/s = 88,86 L/s

Respuesta

Q = 88,86 L/s

4.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: p₂ = 297,8 kPa

Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.

Continuidad y Bernoulli

Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,75·(100/50)² = 7 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,75² − 7²)/1000 = −22,97 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·4/1000 = 39,24 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 360 + (−22,97) − 39,24 = 297,8 kPa

Respuesta

p₂ = 297,8 kPa

5.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: Δp = 175 kPa

Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = h_f + h_m, incluida la pérdida de salida K = 1.

Pérdida de carga

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(100/0,05)·2,5²/(2·9,81) = 17,84 m

Caída de presión

La tubería es horizontal y la velocidad no cambia, así que la ecuación de la energía se reduce a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·17,84 = 175000 Pa = 175 kPa

Respuesta

Δp = 175 kPa

6.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: Δz = 0,8071 m

Velocidad

V = Q/A = 0,075/0,07069 = 1,061 m/s

V²/(2g) = 0,05738 m

Coeficientes de pérdida

f·L/D = 0,02·100/0,3 = 6,667

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4

Pérdida de carga total

h_f = 6,667·0,05738 = 0,3825 m

h_m = 7,4·0,05738 = 0,4246 m

Δz = h_f + h_m = 0,8071 m

Respuesta

Δz = 0,8071 m

7.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: P_shaft = 38,26 kW

Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: P_shaft = P_h/η_pump, y el motor absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.

Potencia hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·52 = 30,61 kW

Potencia en el eje

P_shaft = P_h/η = 30,61/0,8 = 38,26 kW

Respuesta

P_shaft = 38,26 kW

8.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: P_shaft = 5,671 kW

Velocidad

V = Q/A = 0,04/0,03142 = 1,273 m/s

V²/(2g) = 0,08263 m

Pérdidas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (9 + 8)·0,08263 = 1,405 m

Altura de la bomba

H = Δz + h_L = 9 + 1,405 = 10,4 m

Potencia en el eje

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,04·10,4/0,72 = 5,671 kW

Respuesta

P_shaft = 5,671 kW

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